vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
Sessione ordinaria 1998 Liceo di ordinamento Soluzione di De Rosa Nicola
1
= − −
La seconda equazione la possiamo riscrivere in questo modo: , ed essendo a<0, b sarà
b 2 a
certamente un valore negativo. 4
= −
a che sostituita nella prima dà:
Dalla seconda equazione ricaviamo 2
b ( )( ) ( )( )
64 2 2
+ − = → − + = → + − + = → + − =
3 2 2
b 6 2 0 b 6 2
b 64 2 0 b 2 2 b 8 2
b 32 0 b 2 2 b 4 2 0
2
b = − =
b 2 2 , b 4 2 con
Le soluzioni sono allora
=
b 4 2 non accettabil
e per quanto detto prima. Per cui il valore accettabil
e è
1
= − = −
b 2 2 a
da cui 2
La curva allora è: 1
= − + −
3
y x 3 x 2 2
2
c) ( ) ( )
− −
2 ,
0 2 , 4 2
, un minimo in ed un flesso in
Questa curva come già detto ha un massimo in
( )
−
0
, 2 2
d)
L’area cercata è:
⎡ ⎤ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
2 2
1 1
∫ ∫
= − + =
= − − + − ⎜⎝ ⎟⎠
⎜⎝ ⎟⎠
3 3
⎢⎣ ⎥⎦
0 3 2 2 3 2 2
A x x dx x x dx
2 2
− −
2 2 2 2
2
⎡ ⎤ 27
4 3 1
x − + = − + − + + =
2
⎢ ⎥
2 2 3 4 8 12 8
x x 2
⎣ ⎦
8 2 2
− 2 2 2
www.matematicamente.it
Sessione ordinaria 1998 Liceo di ordinamento Soluzione di De Rosa Nicola
2. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è
assegnata la curva C’ di equazione: −
2 1
x
= .
y 2 x
a) Studiarla e disegnarne l’andamento, indicando con A e B i punti in cui la curva
> x ).
seca l’asse x (x A B
b) Trovare l’equazione della circonferenza C’’ tangente a C’ in A e passante per B.
c) Disegnare C’’ sullo stesso piano di C’ dopo aver determinato il raggio e il centro
di C’’ e inoltre le coordinate dell’ulteriore punto in cui C’’ seca C’.
d) Determinare l’angolo sotto cui C’ e C’’ si secano in B.
e) Calcolare le aree delle regioni in cui C’ divide il cerchio delimitato da C’’.
1) ( ) ( )
≠ → = − ∞ ∪ +∞
Dominio
: x 0 D , 0 0
, ( ) ( )
= → = ± = = −
Intersezioni asse x : y 0 x 1
, A 1
, 0 , B 1
, 0
Intersezioni asse y :non ce ne sono
Parità o disparità :la funzione è dispari
Positività
:la si studia col falso sistema studiando separatamente numeratore e denominatore
= − > → < − ∪ >
2
( ) 1 0 1 1
N x x x x
= > → >
( ) 2 0 0
D x x x
Mettendo questi risultati sulla stesa retta dei reali si ricava
−
2 ( ) ( )
1
x
= > → ∈ +∞ ∪ −
0 1
, 1
,
0
y x
2 x −
− 1 1
= = = −∞ = = +∞
Asintoti verticali 0
, lim ( ) , lim ( )
: x f x f x
+ −
+ −
→ →
0 0
x x
0 0
Asintoti orizzontali: non ce ne sono
Asintoti obliqui:
= +
y mx q
f x
( ) 1
= =
m lim
→ ±∞ x 2
x ⎛ ⎞
x 1
= − = − =
⎜ ⎟
q f x
lim ( ) lim 0
⎝ ⎠
→ ±∞ → ±∞ x
2 2
x x
x
=
y è un asintoto obliquo
Quindi 2
Crescenza e decrescenza
:
+
2
( ) { }
x 1
= > ∀ ∈ −
I
y x x R
0 0 per cui non ci sono estremanti
2
x
2
( ) 1
= −
II
y x per cui non ci sono flessi
3
x
Il grafico è rappresentato sotto: 3
www.matematicamente.it
Sessione ordinaria 1998 Liceo di ordinamento Soluzione di De Rosa Nicola
b)
La tangente in A=(1,0) alla curva C’ ha equazione
= −
y m x
( 1
),
⎛ ⎞
+
2
x 1
⎜ ⎟
= = =
m y ' (
1
) 1
⎜ ⎟
2
⎝ ⎠
x
2 =
x 1
Per cui la tangente alla curva C’ è y=x-1 + + + + =
2 2
La circonferenza ha equazione generica: 0
x y ax by c
Imponendo il passaggio per A=(1,0) e B=(-1,0) si ricavano due condizioni:
− + =
⎧
1 a c 0
⎨ + + =
⎩
1 a c 0
=
⎧ a 0
⎨
Da cui si ricava subito = −
⎩
c 1 + + − =
2 2
Per cui l’equazione diventa 1 0
x y by
Ora si impone che la retta y=x-1 sia tangente anche alla circonferenza, per cui si deve risolvere
innanzitutto il sistema ⎧ + + − =
2 2 1 0
x y by
⎨ = −
⎩ 1
y x
Da cui, sostituendo la seconda nella prima si ricava l’equazione:
( )
+ − − =
2
2 x x b 2 b 0 4
www.matematicamente.it
Sessione ordinaria 1998 Liceo di ordinamento Soluzione di De Rosa Nicola
Ora si impone la condizione di tangenza:
( ) ( )
∆ = − + = + + = + = → = −
2 2
2
2 8 4 4 2 0 2
b b b b b b
+ − − =
2 2 che può essere riscritta come
Per cui la circonferenza ha equazione 2 1 0
x y y
( )
+ − =
2
2 1 2
x y =
r 2
Per cui la circonferenza ha centro (0,1) e raggio
c)
L’ulteriore punto di intersezione lo si ricava imponendo il sistema:
⎧ + − − =
2 2 2 1 0
x y y
⎪
⎨ −
2 1
x
=
⎪ y
⎩ 2 x
E quindi sostituendo la seconda nella prima si ricava:
2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − −
( )
2 2 2
1 1 1 1
x x x
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ − − = → − + − = →
2 2
2 1 0 1 1 0
x x
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
x x x
4 x
( )
( )( ( )( ) ( )
− − + − +
) 2
2 2 ( )( )
1 1 1 1 5 1 1
x x x x x
− − = + − = → = → = ± = −
2 x x
5 4 1 5 1 1 0 0 1
,
x x x x
2 2 2 5
x x x
4 4 4 5
www.matematicamente.it
Sessione ordinaria 1998 Liceo di ordinamento Soluzione di De Rosa Nicola
⎛ ⎞
12
1
= −
⎜ ⎟
Per cui l’ulteriore punto è ,
D ⎝ ⎠
5 5
d)
Calcoliamo la retta tangente r’ a C’ e passante per B=(-1,0)
Essa ha equazione = +
( 1
),
y m x ⎛ ⎞
+
2 1
x
⎜ ⎟
= − = =
' ( 1
) 1
m y ⎜ ⎟
2
⎝ ⎠
2 x = − 1
x
Per cui la tangente a C’ in B=(-1,0) è r’:y=x+1
Calcoliamo la retta tangente r’’ a C’’ e passante per B=(-1,0)
= +
Essa ha equazione y m ( x 1
) e per calcolare m imponiamo prima l’intersezione tra
circonferenza e retta r’’ e poi la condizione di tangenza: si ottiene tale equazione:
( ) ( )
+ + − + − − =
2 2 2 2
x m 1 2 x m m m 2 m 1 0
Ed imponendo la condizione di tangenza si ricava:
( ) ( )( ) ( )
2
∆ = − − + − − = + = → = −
2
2 2 2
m m m 1 m 2 m 1 m 1 0 m 1
Per cui la tangente r’’ ha equazione y=-x-1
Quindi le due tangenti nel punto B=(-1,0) sono tra di loro perpendicolari, per cui le curve C’ e C’’ si
secano in B sotto un angolo di 90°
e)
Per il calcolo delle aree consideriamo la figura sottostante: 6
www.matematicamente.it
Sessione ordinaria 1998 Liceo di ordinamento Soluzione di De Rosa Nicola
L’area S la possiamo calcolare come differenza tra l’area del settore circolare di ampiezza
S
min ˆ
D
C
B
α = −
=
ˆ S S S
angolare e l’area del triangolo mistilineo DCB, S : .
B
C D ˆ
min DCB
DCB D C B
1 1
α α α
= = =
L’area del settore circolare è S BC * CD * * 2 * 2 * .
ˆ
D
C B 2 2
α
Ora bisogna calcolare e lo si calcola attraverso il teorema di Carnot applicato al triangolo DCB:
( ) ( ( )
) ( ( )
)
α α α
= − = − = −
2 2 2 2
2 2 cos 2 1 cos 4 1 cos
BD BC BC BC
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 160 32
12 1
= + − + = =
2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
con 1
BD ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 25 5 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
( ( )
) ( )
32 3 3 3
α α α
= − → = − → = − → = −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
ar S ar
per cui l' equazione diventa 4 1 cos cos cos cos
ˆ
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
D
C B
5 5 5 5
Ora dobbiamo calcolare l’area del triangolo mistilineo S :
DCB
1
− ⎛ ⎞
−
2
5 1 1 12 1 1 7 1
x
∫ ⎜ ⎟
= + − − = + − − =
* * * * 1 * 1
S S S S S dx
⎜ ⎟
DBC BFD DFOE CED BOC ⎝ ⎠
2 5 5 2 5 5 2
x
−
1
1
−
⎡ ⎤ ⎛ ⎞
2 1 12 7 1 1 1 1 1 12 7 1 1 2
x 5
− + − − = − − + − − = −
⎜ ⎟
⎢ ⎥
ln ln ln 5
x
= ⎝ ⎠
⎣ ⎦
4 2 25 50 2 100 2 5 4 25 50 2 2 5
−
1 ( )
⎛ ⎞
3 1 2 2
π π
= − − + = − = −
⎜ ⎟
cos ln 5
Per cui S ar da cui si ricava S * 2 S 2 S
min max min min
⎝ ⎠
5 2 5 7
www.matematicamente.it
Sessione ordinaria 1998 Liceo di ordinamento Soluzione di De Rosa Nicola
3)
Consideriamo la figura seguente che rappresenta la geometria del problema:
Il volume richiesto non è altro che il volume del tronco di cono di raggi di base GB ed EC ed
altezza EG, cui vanno sottratti i volumi dei due coni, il primo con raggio di base BG ed altezza AG
ed il secondo con raggio di base EC ed altezza EA.
In tal modo si ha: ( ) ( )
= =
AG AB cos x 2 a cos x
( ) ( )
= =
BG AB sin x 2 a sin x
Inoltre 8
www.matematicamente.it
Sessione ordinaria 1998 Liceo di ordinamento Soluzione di De Rosa Nicola
( ) π
⎛ ⎞ ( )
= = − =
ˆ ⎜ ⎟
sin sin cos
EC AC C A
E AC x AC x
⎝ ⎠
2 16
−
( )
( ) 1
α
α − 2
1 cos
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
sin 25
α
= = = =
cos cos cos 2 cos
ABtg x AB x AB x a x
( )
( )
α α 4
cos cos 5
3 ( ) ( )
3
a
5
= =
2 cos cos
a x x
4 2
5 ( ) ( ) ( )
3
a
= = =
ˆ sin
EA ECtg A
C E ECtg x x
2
Quindi ⎡ ⎤
( ) ( ) ( )
a 3
3
= + = + = +
EG EA AG x a x a x sin x
sin 2 cos 2 cos
⎢ ⎥
⎣ ⎦
4
2
Il volume del tronco di cono di raggi di base R ed r, sfruttando la formula che si dimostrerà nel
punto d) è: ( ) ( )
1 1
π π
= + + = + + =
2 2 2 2
* *
V h R r Rr EG BG EC BG EC
tronco con
o 3 3
⎡ ⎤
⎡ ⎤ 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 3 9 a
π + + +
2 2 2 2
⎢ ⎥
* 2 cos sin 4 sin cos 3 sin cos
a x x a x x a x x
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3 4 4
π ⎤ ⎡ ⎤
⎡
3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 16 4
a
= + + +
2 2
cos sin cos sin
x x x x x x
sin cos
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 4 9 3
Ora i volume dei cono di raggio di base BG ed EC sono: π
[ ]
( ) 3
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 8 a
π π
= = =
2 2 2 2
2 cos 4 sin sin cos
V AG BG a x a x x x
cono ,
1 3 3 3
π
⎛ ⎞
( ) 2 3
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 3 9 9
a a a
π π ⎜ ⎟
= = =
2 2 2
sin cos
V EA EC x x sin x cos x
⎜ ⎟
cono , 2 ⎝ ⎠
3 3 2 4 8
Per cui 9
www.matematicamente.it
Sessione ordinaria 1998 Liceo di ordinamento Soluzione di De Rosa Nicola
π ⎤
⎡ ⎤ ⎡
3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 16 4
3 a +
= + + +
V x 2 2
cos sin cos sin sin cos
x x x x x x ⎥
⎢⎣ ⎥ ⎢ ⎦
⎦ ⎣
2 4 9 3
π π
⎡ ⎤
3 3
( ) ( ) ( ) ( )
8 9
a a
− + =
2 2
⎢ ⎥
sin cos sin cos
x x x x
⎣ ⎦
3 8
⎡ ⎤
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 8 9 3
+ + + + + +
3 2 2 2 3 2
cos sin cos 2 sin cos sin cos 2 sin cos sin
x x x x x x x x x x
⎢ ⎥
3 8 2
2
⎢ ⎥
π =
3
a ⎛ ⎞
⎢ ⎥
( ) ( ) ( ) ( )
8 9
− +
⎜⎝ ⎟
2 2
x x
sin cos sin cos
x x
⎢ ⎥
⎠
⎣ ⎦
3 8
⎡ ⎤
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3
π + + + =
3 3 2 3 2
a x x x x x x
cos 2 sin cos 2 sin cos sin
⎢ ⎥
⎣ ⎦
2 2
( ) ( )
⎡ ⎤
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
π + + + =
3 2 2 2 2
a x x x x x x
cos sin cos 2 sin sin cos
⎢ ⎥
⎣ ⎦
2 3
⎡ ⎤ πa [ ]
( ) ( ) ( ) ( )
3
π + = +
3cos x 4sin x
3
a x x
cos 2 sin
⎢ ⎥ 2
⎣ ⎦
2 π
⎡ ⎤
∈ 0
,
x
Ovviamente le limitazioni geometriche impongono .
⎢ ⎥
⎣ ⎦
2
b)
Riscriviamo il volume in una forma più semplice:
π π ⎡ ⎤
3 3
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
a 3 a 4
= + = +
V ( x ) 3 cos x 4 sin x cos x sin x
⎢ ⎥
⎣ ⎦
2 2 3
( ) 3
α =
Ricordiamo però che tg per cui
4 ( ) ( )
( )
π π π α
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
3 3 3
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) cos sin
3 sin 3
a a x a x
= + = + = + =
⎥
⎢ ⎢ ⎥⎦
( ) 3 cos 4 sin cos cos
V x x x x x ( )
( )
α α
⎣
⎣ ⎦
2 2 2 sin
tg
π π π
3 3 3
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3
a a 5 a
α α α α
+ = + = +
sin cos cos sin
x x sin x sin x
( )
α ⎛ ⎞
3
2 sin 2
⎜ ⎟
2
⎝ ⎠
5 α
Per cui il grafico è il classico grafico del seno traslato di un angolo verso le ascisse negative:
π π
⎡ ⎤ α
∈ = −
0
,
x assumerà il suo massimo in x , non
cioè la funzione in esame nell’intervallo ⎢ ⎥ max
⎣ ⎦
2 2
π
⎡ ⎤
∈ 0
,
x
incontrerà mai l’asse delle ascisse in perché l’incontrerebbe in
⎢ ⎥
⎣ ⎦
2
π π 3
5 a
α π α
= − < = − >
0
,
x x cioè in valori esterni all’intervallo. Inoltre il valore del massimo è ,
2 2
π
π 3 ( )
5 a 3
α π
= =
= 3
sin a
in il valore è ed in x il valore è
x 0 2 2 2
π π π
⎛ ⎞
3 3 ( )
a a
5 5
α α π
+ = =
⎜ ⎟ 3
a
sin cos 2 .
⎝ ⎠
2 2 2 10
www.matematicamente.it
