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QUESITO 1 MATURITA’ 1998/1999 SVOLTO DA DE ROSA NICOLA
SOLUZIONE
1) La condizione è necessaria ma non sufficiente. Come controesempio basti prendere la
= 3
funzione y x la cui derivata prima si annulla in x=0, ma x=0 è un punto di flesso e non
un estremo relativo, visto che anche la derivata seconda si annulla in x=0 e la derivata terza
è diversa da zero in x=0. Infatti condizione necessaria e sufficiente affinché x sia l’ascissa
0
( )
=
y f x
di un estremo relativo di è che le derivate di ordine dispari ( prima, terza etc) di
( )
=
y f x si annullino in x e le derivate di ordine pari (seconda, quarta etc) siano non nulle
0
in x . Cioè se
0
( ) ( ) ( ( )
) ( )
= ≠ =
' " "
f x 0 e f x 0 allora x , f x è un estremo relativo. Ma se anche f x 0 dobbiamo
0 0 0 0 0
( ) ( ( )
)
( ) ≠
3
guardare la derivata terza ed eventualme
nte la quarta : se f x 0 allora x , f x è un flesso;
0 0 0
( ) ( ) ( ( )
)
( ) ( )
= ≠
3 4
altrimenti se f x 0 e f x 0 x , f x è un estremo relativo. E così via.
0 0 0 0
2) ( )
+
2
( ) x ax b
2 3
=
'
f x ( )
+ 2
ax b
a
3 3
= + = = −
⇒ ⇒
'
f b a b
3 0 2
0
4 2
a
3 27 27 1 27 3 1
= = + = + =
⇒ ⇒ ⇒
f b 3
a 4
b 2
a
3
4 32 64 32 4 2
+
b
4
Quindi : = −
a 2
b
=
a 2
⇒
=
b -1
+ =
a b
3 4 2
Da cui : 3
( ) x
=
f x ( )
−
2x 1
( )
−
2
( ) x 4x 3
=
'
f x ( )
− 2
2x 1
3) ( )
f x
Studio della funzione :
1
∀ ∈
x
Dominio : R -
2
=
x: x
Intersezio
ne asse 0
=
Intersezio
ne asse y: y 0
( )
1
∀ ∈ + ∞ ∪ − ∞
Positività : x , ,
0
2 1
=
Asintoti verticali : x 2
3 3
x x
= +∞ = −∞
lim , lim
− −
+ −
2 x 1 2 x 1
1 1
→ →
x x
2 2
Non ci sono asintoti orizzontal
i ed obliqui
( )
−
2
( ) x 4 x 3 3
= > >
⇒
'
Crescenza e decrescenz
a : f x 0 x
( )
− 2 4
2 x 1
( )
− +
2
( ) 2 x 4 x 6 x 3 3 3 27
= = > ⇒
" "
f x per cui f 9 0 , è un minimo
( )
− 3
4 4 32
2 x 1
( )
Inoltre 0,0 è un punto di flesso.
Il grafico è sotto rappresentato: 3
x
=
y −
2 x 1
3
2
1 x
1 3
-1 2
2 4
-1
-2
4) ( )
'
f x
Studio della funzione :
1
∀ ∈
x
Dominio : R -
2 3
= =
x: x x
Intersezio
ne asse 0
, 4
=
y: y
Intersezio
ne asse 0
3
∀ ∈ + ∞
x ,
Positività :
4 1
=
x
Asintoti verticali : 2
( ) ( )
− −
2 2
x x x x
4 3 4 3
= −∞ = −∞
lim , lim
( ) ( )
− −
2 2
+ −
x x
2 1 2 1
1 1
→ →
x x
2 2
Non ci sono asintoti orizzontal
i
1
= +
y x
Asintoti obliqui : 4
( ) ( )
− − −
2 2 2
x x x x x x
4 3 1 4 3 1
= = = − = =
m q x
lim 1
, lim lim
( ) ( ) ( )
− − −
2 2 2
→ ±∞ → ±∞ → ±∞
x 4
x x x
x x x
2 1 2 1 2 1
( )
[ ] − +
2
( )
d x x x
2 4 6 3 1
= > < ∪ >
⇒
'
f x x x
Crescenza e decrescenz
a : 0 0
( )
− 3
dx 2
x
2 1
[ ] [ ]
−
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
d d
6
= = − < ⇒
' ' '
f x f f x
per cui 0 6 0 0
, 0 è un massimo per
( )
−
2 4 2
dx dx
x
2 1
( )
'
f x
Inoltre non presenta punti di flesso.
