vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
Sessione ordinaria Estero 2001 Soluzioni a cura di Nicola De Rosa
QUESTIONARIO
1. Enunciare il teorema di de L’Hôpital e applicarlo per dimostrare che:
7
x
lim x
→ +∞ 2
x
2. Mostrare, eventualmente anche con esempi, che la derivata del prodotto di due o più funzioni
non è il prodotto delle derivate. ( )
( )
− m p' x
3. Dimostrare che se un polinomio p(x) è divisibile per allora è divisibile per
x a
( ) −
− m 1
x a
4. Calcolare la derivata della funzione: x −
arcsin arctan x
+ 2
1 x
Dal risultato quali conseguenze se ne possono trarre per la f(x)? E’ una costante?
5. Si ricavi la formula che dà il numero delle combinazioni semplici di n elementi a k a k.
6. Verificare che: 2 ( )
e 2
( ) e
∫ = −
2
log 3 1
x x dx e
4
e
7. Siano a e b due numeri positivi diversi da 1. Dimostrare che:
⋅ =
log log 1
b a
a b
8. La somma di due numeri non negativi è 16. Quale è il valore più basso che assume la somma
dei loro quadrati? Quale il valore più alto?
La prova richiede lo svolgimento di uno dei due problemi proposti e le risposte a quattro
domande scelte all’interno del questionario.
Durata massima della prova : 6 ore
E’ consentito l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile e la consultazione del
vocabolario d’Italiano.
www.matematicamente.it 2
Sessione ordinaria Estero 2001 Soluzioni a cura di Nicola De Rosa
PROBLEMA 1
E’ assegnato un cilindro equilatero Q il cui raggio di base misura a.
Punto 1
Si determini il cono C di volume minimo circoscritto al cilindro ( C e Q hanno basi
complanari);
Si consideri la figura sottostante raffigurante in sezione il cono circoscritto al cilindro.
C
G K F
A B
D H E
= = =
>
CH x FE DE 2 a
con
Poniamo x 2 a . Il cilindro è equilatero per cui . I triangoli CHB e
( ) ax
= =
= −
CH : HB CK : KF . Il
HB
x : HB x 2 a : a da cui
CKF sono simili per cui e cioè −
x 2 a
)
( π 2 3
( ) a x
1 2
π
= ⋅ ⋅ =
V x HB CH
volume del cono è . La minimizzazione del volume la
( )
Cono − 2
3 3 x a
2
effettuiamo tramite derivazione. La derivata prima del volume è:
( ) ( ) ( )
π π π
− − − − −
2
2 2 3 2 3 2 2 2
( ) a 3 x x 2 a 2 x x 2 a a x 6 ax a x x 6 a
= = =
' per cui
V x ( ) ( ) ( )
Cono − − −
4 3 3
3 3 3
x 2 a x 2 a x 2 a
( )
π
−
2 2
( ) ( ) ( )
a x x 6 a
= > > + ∞
⇒ ⇒
'
V x 0 x 6 a V x strettamen
te crescente in 6 a,
( )
Cono Cono
− 3
3
x 2 a
( )
π
−
2 2
( ) ( ) ( )
a x x 6 a
= < < <
⇒ ⇒
' 0 2 6 strettamen
te decrescent
e in 2 , 6
V x a x a V x a a
( )
Cono Cono
− 3
3
x 2 a
( )
π
−
2 2
( ) a x x 6 a
= = =
⇒
'
V x 0 x 6 a ascissa di minimo relativo proprio
( )
Cono − 3
3
x 2 a ( )
π π
3
2 3
( ) a 6 a 9 a
= = =
Quindi il volume minimo lo si ha per x 6 a e vale V 6 a ( )
Cono − 2
3 2
6 a 2 a
Punto 2
Si determini il valore di a per il quale il volume di C, approssimato alla prima cifra decimale,
3
è 31,4 dm ; π 3
9 a 20 20
π
π = = =
= ⇒ ⇒
3
3 3 10 a a dm
Il volume di C è 31
, 4 dm 10 dm se .
3
2 9 9
www.matematicamente.it 3
Sessione ordinaria Estero 2001 Soluzioni a cura di Nicola De Rosa
Punto 3
Si determini il volume della sfera S circoscritta a C.
Consideriamo la figura seguente: C
O H
A B
L 2
CB
2 2 2 2
= ⋅ → = = +
. Ora dove
Il triangolo CLB è rettangolo per cui CB CH CL CL CB CH HB
CH 2
a
153
2
2 2
a a CB a
51
3a 9 153
2 2 2 4
= + = + = = = =
= 2
CB CH HB a CL
HB per cui 36 per cui a
2 4 4 6 8
CH
CL a
51
= =
R
per cui il raggio della sfera è ed il volume è
2 16
3
51
a
π
4
π π
3
4 R 44217 44217 20 24565
16 π π
= = = = ⋅ =
3 3
V a dm
Sfera
3 3 1024 1024 9 256
www.matematicamente.it 4
Sessione ordinaria Estero 2001 Soluzioni a cura di Nicola De Rosa
PROBLEMA 2
Nel piano riferito ad un sistema di riferimento ortogonale monometrico è data la curva G di
equazione: 3
x
= −
y x
2 2
Punto 1
Si studi e si rappresenti G;
Dominio: la funzione è definita in tutto R; ( )
3
x
= − = − = = = ±
⇒ ⇒
2
Intersezioni asse ascisse: y 2 x 0 x 4 x 0 x 0
, x 2 ;
2
= =
⇒
Intersezioni asse ordinate: x 0 y 0 ; ( )
−
3 3
( ) ( ) ( )
x x
− = − − = − − = −
y x 2 x 2 x y x
Simmetrie: la funzione è dispari in quanto
2 3
( )
3 ( ) ( )
x
= − > → − > ∈ − ∞ − ∪
⇒
2
y 2 x 0 x 4 x 0 x , 2 0
, 2 ;
Positività: 2
Asintoti: la funzione non ha né asintoti verticali, né orizzontali né obliqui;
3
x
− = ∞
x
lim 2
Comportamento agli estremi del dominio: ;
m
→ ±∞ 2
x 2
3 x
= −
y ' 2 per cui
Crescenza e decrescenza: La derivata prima è 2
2 3
3 2 3 2 3 2 3 2 3
x x
= − > − < < → = − −
⇒
y ' 2 0 x y 2 x è strettamen
te crescente in ,
2 3 3 2 3 3
2 3
3 x 2 3 2 3 x 2 3 2 3
= − < < − ∨ > → = − − ∞ − ∪ +∞
⇒
' 2 0 2 è strettamen
te crescente in , ,
y x x y x
2 3 3 2 3 3
2
3 2 3
x
= − = = ±
⇒
' 2 0
y x
2 3 ( )
= − = =
⇒ 0
,
0
y x x per cui è un flesso a
Concavità e convessità: la derivata seconda è ' ' 3 0 0
2 3 2 3
= − = > = − <
tangente obliqua con tangente y 2 x . Inoltre , per
y ' ' 2 3 0
, y ' ' 2 3 0
3 3
2 3 8 3 2 3 8 3
− −
cui è un minimo relativo e è un massimo relativo.
, ,
3 9 3 9
Il grafico è di seguito presentato:
www.matematicamente.it 5
Sessione ordinaria Estero 2001 Soluzioni a cura di Nicola De Rosa
Punto 2
Considerata la retta r di coefficiente angolare m passante per il punto A(2, 0), si determini, al
variare di m, il numero delle intersezioni di r con G; ( )
= −
y m x 2
La retta di coefficiente angolare m passante per il punto A(2,0) ha equazione .
= =
Sicuramente la retta e la cubica hanno in comune la soluzione x 2 . La soluzione x 2 può essere
( )
= −
y m x 2
singola o doppia: è doppia nel momento in cui la retta di equazione è tangente alla
3
( ) x
= − = −
y m x 2 è tangente alla cubica 2 quando
cubica. In particolare la retta y x 2
2
( ) ( )
3 x
= = − = − ≠ −
=
' 2 2 4 m 4
m y . Cerchiamo allora quante soluzioni differenti da x 2
2
=
x 2 3
( ) x
− = −
hanno in comune la retta e la cubica. Intersecando la retta r con la cubica si ha m x 2 2 x 2
( )
− =
x 2
da cui, dividendo per il fattore in quanto si stanno cercando soluzioni differenti da x 2 , si
( )
− +
x x 2
=
y
( ) ( )
2
− + − +
x x 2 x x 2
= = =
m . Si tratta quindi di risolvere il sistema y m . La curva y è
ha 2 2
≠ −
m 4
1
−
che interseca l’asse delle ascisse in
una parabola con concavità verso il basso e vertice in 1
,
2
www.matematicamente.it 6
Sessione ordinaria Estero 2001 Soluzioni a cura di Nicola De Rosa
( ) ( )
− =
0
,
0 , 2
,
0 ; la retta di equazione è parallela all’asse delle ascisse. Il grafico seguente
y m 1 1
= =
mostra nello stesso riferimento cartesiano la parabola e le rette di equazione y , y . Da esso
2 4
≠
si notano il numero delle soluzioni x 2 :
1
>
1. m ;
nessuna soluzione per 2 1
= − =
2. due soluzioni coincidenti e pari a x 1 per m ;
2
1
≠ < ∧ ≠ −
x 2 per m m 4 .
due soluzioni distinte
3. 1
, 2 2 =
In conclusione tenendo in conto anche la soluzione x 2 , singola o doppia che sia, si ha:
1
= >
una soluzione
1. , x 2 , per m ;
2 1
= − = = =
tre soluzioni coincidenti
2. di cui due x 1 e una x 2 se m o due coincidenti x 2 e
2
= − = −
una x 4 se m 4 ; 1
< ∧ ≠ −
tre soluzioni distinte
3. per m m 4 .
2
www.matematicamente.it 7
Sessione ordinaria Estero 2001 Soluzioni a cura di Nicola De Rosa
=
Nell’immagine sottostante viene rappresentata la cubica con la retta tangente in x 2 di equazione
( ) ( )
1
= − − = −
= −
y 4 x 2 y x e la retta di equazione
2
, la retta tangente in x 1 di equazione 2
( )
3
= −
y x 2
2
Punto 3
Si calcoli l’area della regione finita di piano R, del primo quadrante, delimitata da G e
dall’asse x;
L’area da calcolare è raffigurata in verde nella figura sottostante:
www.matematicamente.it 8
Sessione ordinaria Estero 2001 Soluzioni a cura di Nicola De Rosa
2
2 3 4
x x
∫
= − = − = − =
2
L’area vale S 2 x dx x 4 2 2
2 8
0 0
Punto 4
Si determini il volume del solido generato da R in un giro completo intorno all’asse x.
Il volume vale 2
2 2
3 6
x x
π π
∫ ∫
= − = − + =
4 2
V x dx x x dx
2 2 4
2 4
0 0
2
7 5 3
x x x
2 4 32 64 32 256
π π π
= − + = − + =
28 5 3 7 5 3 105
0
www.matematicamente.it 9
Sessione ordinaria Estero 2001 Soluzioni a cura di Nicola De Rosa
QUESTIONARIO
Quesito 1
Enunciare il teorema di de L’Hôpital e applicarlo per dimostrare che:
7
x
lim x
→ +∞ 2
x
Enunciamo la regola di de L’ Hôpital:
( ) ( ) + ∞
f x g x
Se due funzioni e definite in un intorno di , sono derivabili in tale intorno, con
( ) ≠ → +∞ ∞
g ' x 0 ; se le due funzioni, per x tendono entrambe a 0 o a e se esiste il limite del
( )
f ' x
rapporto delle derivate delle funzioni date, , allora esiste anche il limite del rapporto delle
( )
g ' x
( ) ( ) ( )
f x f x f ' x
=
e vale lim lim .
funzioni ( ) ( ) ( )
→ +∞ → +∞
g x g x g ' x
x x
Nel caso in esame è possibile applicare tale teorema e, dopo averlo applicato 7 volte si ha
⋅ ⋅ ⋅
7 6 5
x 7 x 7 6 x 7
!
= = = = =
lim lim lim lim 0
L
( ) ( )
⋅ ⋅ ⋅
x x 2 7
→ +∞ → +∞ → +∞ → +∞
x x
2 ln 2 2
x x x x
ln 2 2 ln 2 2
[ ] [ ] ( )
= ≥ = ⋅
n
n n n x x .
Si osservi anche che D x n
! se n 1
, e D 2 ln 2 2
7
7
x x x
=
lim lim , calcolando il limite lim si ha:
In alternativa, poiché
x x x
→ +∞ → +∞ → +∞
2
x x x
7 7
2 2
De
L ' Hopital
x 1
= =
lim lim .
0
x x
→ +∞ → +∞
x x ln 2
⋅
7 7
2 2 7
Quesito 2
Mostrare, eventualmente anche con esempi, che la derivata del prodotto di due o più funzioni
non è il prodotto delle derivate. ( ) ( ) ( )
= ⋅
y x f x g x
Dimostriamo che la derivata del prodotto di due funzioni è
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= ⋅ + ⋅
y ' x f ' x g x f x g ' x . La derivata per definizione è il limite del rapporto incrementale
( ) ( ) ( ) ( )
+ ⋅ + − ⋅
( ) f x h g x h f x g x
=
per cui y ' x lim riscrivibile come
→0 h
h ( ) ( )
⋅ +
aggiungend o e sottraendo la stessa quantità f x g x h
6
4
4
4
4
4
7
4
4
4
4
4
8
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅
( ) f x h g x h f x g x h f x g x h f x g x
=
y ' x lim . Spezziamo il limite
→ h
h 0
in due parti e otteniamo:
www.matematicamente.it 10
