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La prova di matematica nelle sperimentazioni autonome
Sessione suppletiva Sperimentazioni Autonome 2001 Soluzioni a cura di Nicola De Rosa
Un solido viene trasformato mediante una similitudine di rapporto 3. Dire come variano il suo
10.
volume e l’area della sua superficie.
La prova richiede lo svolgimento di uno dei due problemi proposti e le risposte a cinque domande
scelte all’interno del questionario.
__________________________
Durata massima della prova : 6 ore
E’ consentito l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile e la consultazione del vocabolario
d’Italiano. 3
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Sessione suppletiva Sperimentazioni Autonome 2001 Soluzioni a cura di Nicola De Rosa
PROBLEMA 1
Punto 1
Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali monometriche (x, y), si consideri il luogo
γ
geometrico dei punti P che vedono il segmento di estremi A(0, 1) e B(2, 1) sotto un angolo
ˆ π 4
A
P
B di ampiezza e se ne disegni il grafico.
Si consideri la figura sottostante: − − 1
1
y y
= =
Il coefficiente angolare della retta AP è mentre quello della retta PB è .
m m −
AP PB 2
x x
Ricordiamo che date due rette la tangente dell’angolo tra di esse è data dalla formula
− −
1 1
y y
−
π
− ⎞
⎛
' −
( ) m m 2
x x
α = =
⎟
⎜
tan e nel nostro caso si ha da cui
tan −
−
+ ⋅ ⎞
⎛
⎞
⎛ 1 1
1 ' 4 ⎠
⎝ y y
m m ⋅
+ ⎟
⎜
⎟
⎜
1 − 2 ⎠
⎝
⎠
⎝ x x
( )
− −
2 1
y ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2 2
− − − − + − −
− 1 1
2 1 1 1
2 y y x y
x x = = = ⇔ = ⇔
2
2 1 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −
2 2 2 2
− − + − − + − − 1
1 2 1 1 1 1 y
y x x y x y
+
1 ( )
− 2
x x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⎧ ⎧
2 2 2 2
− + − − = − ≥ − + − = ≥
1 1 1 2 1 se 1 1 2 2 se 1
⎪ ⎪
x y y y x y y
⇔ ⇔
⎨ ⎨
( ) ( ) ( ) ( )
⎪⎩ ⎪⎩
2 2 2
− + − − = − − < − + = <
2
1 1 1 2 1 se 1 1 2 se 1
x y y y x y y ( )
= e raggio
Quindi il luogo geometrico descritto da P è dato dalla circonferenza di centro 1
, 2
C
1
( )
≥ <
= 1
, 0
se 1 , e dalla circonferenza di centro e raggio se 1 . Si può anche
2 2
C
y y
2
procedere in maniera alternativa. Ad esempio l’area del triangolo APB è
4
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π
⎛ ⎞
1 1
( )
( ) = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
⎜ ⎟ . Con le convenzioni usate si
ed è anche uguale a
sin
S APB AP PB S APB AB h
2 4 2
⎝ ⎠
ha: ( ) 2
= + −
2 1
AP x y
( ) ( )
2 2
= − + −
2 1
PB x y
= − 1
h y
= 2
AB
per cui π
⎛ ⎞
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + − ⋅ − + −
2
⎜ ⎟
sin 1 2 1
S APB AP PB x y x y
2 4 4
⎝ ⎠
1
( ) = ⋅ ⋅ = − 1
S APB AB h y
2
Imponendone l’uguaglianza si ha:
2 ( ) ( ) ( )
2 2 2
⋅ + − ⋅ − + − = − ⎯
⎯ ⎯ ⎯ ⎯
⎯
→
Elevando al quadrato
2 1 2 1 1
x y x y y
4
[ ] [ ]
1 ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
+ − ⋅ − + − = − ⇔
2 1 2 1 1
x y x y y
8
[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 4 2
− + + − − + − − − = ⇔
2 2
2 2 1 1 8 1 0
x x x x y y y
[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 4
− + + − − − + − = ⇔
2 2
2 2 8 1 1 0
x x x x y y
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
2 2 4
− + − − − + − = ⇔
2 2
2 2 2 2 1 1 0
x x x x y y ( ) ( )
⎧
[ ] [ ] 2 2
− + − =
1 2 2
⎪⎨ x y
( ) ( ) ( )
2 2 2
− + − − ⋅ − + − = ⇔
2
1 2 2 1 2 0
x y x y ( )
⎪⎩ 2
− + =
2
1 2
x y
Il grafico seguente mostra il luogo geometrico. 5
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Punto 2a > =
1
y y k
Nel semipiano delle ordinate si tracci la retta , se ne indichino con C e D le
γ e con C’ e D’ le loro proiezioni ortogonali su AB.
eventuali intersezioni con
Si determinino i valori di k che rendono massime rispettivamente le seguenti grandezze:
il lato obliquo del trapezio isoscele ABDC;
Si consideri la figura sottostante: 6
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< < +
I punti C e D sono distinti se ed hanno coordinate
1 2 2
k
) )
( (
= + − − = − − −
2 2
1 4 2 , , 1 4 2 , . Il lato del trapezio isoscele misura
C k k k D k k k
)
( 2
( ) ( ) 2
= = − − − + − = − − −
2 2
1 4 2 1 2 2 4 2 . La massimizzazione della
AD f k k k k k k k
( )
( ) +
= − − −
2 in
funzione 1
, 2 2 è equivalente alla massimizzazione del
2 2 4 2
f k k k k
( ) = − − −
2
2 2 4 2 e la effettuiamo mediante derivazione. La derivata prima è
radicando R k k k k )
(
− − − + −
2
4 2 2 4 2 2
( ) k k k k
= − =
' 2 . Imponiamo
R k − − − −
2 2
4 2 4 2
k k k k
)
( − − + −
2
2 4 2 2
( ) k k k
= > ⇒ − − > −
2
' 0 4 2 2 . Tale disequazione è soddisfatta per
R k k k k
− −
2
4 2
k k
< ≤ + = +
, per cui il massimo del lato obliquo viene assunto quando cioè quando i
1 2 2 2 2
k k
punti C e D coincidono.
Punto 2b
Si determinino i valori di k che rendono massime rispettivamente le seguenti grandezze:
la diagonale del rettangolo CDD’C’;
La traccia non dice se il rettangolo deve essere tutto interno al luogo geometrico o meno, per cui si
considereranno le due diverse situazioni. La situazione mostrata nella figura soprastante mostra un
≤ < + .
rettangolo interno al luogo e questo lo si ha per 3 2 2
k
) )
( (
= + − − = − − −
2 2
I punti C’ e D’ sono ' 1 4 2 ,
1 , ' 1 4 2 ,
1 per la diagonale misura
C k k D k k
( )
( ) ( ) 2
= = − + − − = − + −
2 2 . La massimizzazione di
' 1 4 4 2 3 14 7
d k CD k k k k k
( )
( ) +
= − + −
2 1
, 2 2 è equivalente alla massimizzazione del radicando
3 14 7 in
d k k k
( ) ( )
= − + − = − + −
2 2
3 14 7 . Il radicando 3 14 7 è una parabola con concavità rivolta
R k k k R k k k 7
=
verso il basso che raggiunge il suo massimo nell’ascissa del vertice . Questo valore non è
k 3
≤ < +
accettabile in quanto non soddisfa la condizione e in tal caso la diagonale è massima
3 2 2
k
( ) ( ) ( )
2
= = − + − =
per e vale . Se, invece, consideriamo anche un eventuale
3 3 3 3 14 3 7 2 2
k d 7
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rettangolo con due vertici sul luogo ed altri due sulla retta AB ma esterni ai punti A e B, cioè
2 ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
7 7 7 7 7
= = − + − =
< ≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
, la soluzione è accettabile e la diagonale vale 3 14 7 2
1 3 k d
k 3 3 3 3 3
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Punto 2c
Si determinino i valori di k che rendono massime rispettivamente le seguenti grandezze:
il cilindro generato dalla rotazione di CDD’C’ attorno all’asse del segmento AB.
Il cilindro derivante dalla rotazione di CDD’C’ attorno all’asse del segmento AB ha area di base
( )
2
π π 2
= ⋅ = ⋅ − = = − −
2
' 1 ed altezza per cui il volume è
' ' 2 4 2
A DD k h C D k k
B
( ) ( )
π 2
= ⋅ = − − −
2
2 1 4 2 . Bisogna massimizzare la funzione
V k A h k k k
Base
( ) ( ) 2
= − − −
2
1 4 2 il che è equivalente a massimizzare
g k k k k ( )
( ) ( ) ( ) 4
= = − ⋅ − −
2 2
1 4 2 . La massimizzazione la effettueremo mediante derivazione. La
f k g k k k k 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
= − ⋅ − − > ⇒ < ∨ < <
' 2 3 1 3 2 e ' 0 1 3 e tenendo conto
derivata prima è f k k k k f k k k
3
( )
< < + > ⇒ < < =
si ha . Quindi il volume è massimo per
della limitazione 1 2 2 ' 0 1 3 3
k f k k k
( ) ( ) ( ) ( )
π π
2 2
= − − − = .
e vale 3 2 3 1 4 3 3 2 8
V
Anche il tal caso la traccia può lasciar spazio a fraintendimenti. Infatti si parla di rotazione intorno
all’asse del segmento AB: si può interpretare anche come rotazione intorno all’asse del segmento
= −
= − −
2 ed altezza ed
“di “ AB. In tal caso il cilindro ha diametro di base ' 1
' ' 2 4 2 DD k
C D k k
( )
( ) ( )
π
= ⋅ = − − ⋅ −
2
4 2 1 . La massimizzazione la effettuiamo sempre
il volume vale V k A h k k k
Base [ ]
( ) ( )
( ) ( )( )
π π
= − − + − − = − + −
2 2
tramite derivate: ' 4 2 1 4 2 3 10 6 per cui la funzione
V k k k k k k k
+
5 7
< <
1 per cui il volume massimo lo si ha per
volume è strettamente crescente per k 3 ( )( )
⎛ ⎞ π
[ ]
+
+ ( )
5 7 2
5 7 ( )
⎜ ⎟ π
= − − ⋅ − = + +
= 2
4 2 1 2 7 5 7
e vale .
+
V k k k
k 5 7
⎜ ⎟ =
k
3 3 27
⎝ ⎠ 3 8
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PROBLEMA 2
Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali monometriche (x, y), si consideri la
funzione: +
3
x a
=
y ( ) 2
+
x b
Punto 1 γ
si determinino a e b in modo che il grafico della curva che ne risulta passi per il punto
( ) = − 1
2
, 0 x
e abbia per asintoto la retta ;
P +
3 ( )
x a
= = −
La curva di equazione passa per il punto se ; inoltre presenta la retta
2
, 0 8
y P a
( )
2
+
x b −
3 8
x
=
= − = . La curva è allora . Studiamo la funzione
1 1
come asintoto verticale se y
x b ( ) 2
+ 1
x
−
3 8
x
=
y ( ) 2
+ 1
x { }
−
: ;
/ 1
Dominio R ( )
: ;
2
, 0
Intersezione asse delle ascisse P = → = −
: 0 8 ;
Intersezioni asse delle ordinate x y
: non è una funzione nè pari nè dispari;
Eventuali simmetrie
−
3 8
x
= > ⇒ >
: 0 2 ;
Positività y x
( ) 2
+ 1
x −
3 8
x = −∞ = −
lim
: per cui è asintoto verticale;
1
Asintoti verticali x
( ) 2
+
± 1
→ −
1 x
x −
3 8
x = ±∞
lim
: per cui non esistono asintoti orizzontali;
Asintoti orizzontali ( ) 2
+ 1
→ ±∞
x x = +
: L’asintoto obliquo ha equazione con
y mx q
Asintoti obliqui
( ) [ ]
( )
f x
= = − . nel nostro caso si ha:
lim , lim
m q f x mx
→ ±∞ → ±∞
x
x x
−
3 8
x
= =
lim 1
m + +
3 2
2
→ ±∞ x x x
x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
− − − −
3 2
8 2 8
x x x
= − = = −
lim lim 2
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
q x
+ + − +
2 2
2 1 2 1
→ ±∞ → ±∞
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
x x x x
x x 9
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= −
per cui l’asintoto t ha equazione : 2
t y x : la derivata prima è
Crescenza e decrescenza
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
+ − − + + + + − +
2 3 3 2 2
3 1 2 8 1 3 16 4 4
x x x x x x x x x
= = =
' .
y ( ) ( ) ( )
4 3 3
+ + +
1 1 1
x x x
( )
( )
+ − +
2
4 4 ( ) ( )
x x x
= > ⇒ ∈ − ∞ − ∪ − +∞
Quindi ' 0 , 4 1
, . In conclusione la funzione
y x
( )
3
+ 1
x
−
3 8 ( ) ( )
x
= − ∞ − ∪ − +∞ e strettamente decrescente
è strettamente crescente in , 4 1
,
y ( )
2
− 1
x
altrove. ( )
−
6 8
( ) x
= > ⇒ >
' ' per cui in
la derivata seconda è 0 8
y x
Concavità e convessità: x
( ) 4
+ 1
x ⎛ ⎞
56
( ) = ⇒ =
+∞ ⎜ ⎟
' ' 0 8 8
, è un
la funzione ha concavità verso l’alto; inoltre per cui
8
, y x 9
⎝ ⎠
( ) ( )
− < ⇒ − −
flesso a tangente obliqua. Inoltre è un massimo relativo. Il grafico
' ' 4 0 4
, 8
y
è sotto presentato:
Punto 2
si scriva l’equazione dell’asintoto obliquo t; = −
L’asintoto obliquo, trovato nel punto precedente, ha equazione : 2
t y x
Punto 3 γ γ
α
si determini l’angolo che t forma con la tangente a nel punto di intersezione tra e t 10
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−
3 8
x = −
= : 2
L’intersezione tra la curva è data dal sistema
e l’asintoto t y x
y ( ) 2
+ 1
x
⎧ −
3 8
x ( )
= − −
3
⎪ 8 3 2
y ( )
x x
( ) ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒
2
+
: 2 0 2 2
, 0
⎨ 1
C x x C
x ( )
( ) 2 2
+ +
1 1
⎪ x x
= − 2
⎩ y x ( )
⎡ ⎤
+ +
3 2
3 16 4
( )
( ) ( ) x x
= = =
= − ' 2 e cioè
La tangente a ha equazione
2
, 0 2 con ⎢ ⎥
m y
C y m x ( )
3
+ 3
1
⎣ ⎦
x = 2
x
4 − 1 1
4 8 3
α = =
= − tan
dell’angolo tra l’asintoto è la retta tangente è da cui
. La tangente
y x 4
3 3 7
+
1 3
⎛ ⎞
1
α = ≅ °
⎜ ⎟
arctan 8 7 '
48
' ' .
7
⎝ ⎠
Punto 4 +
3
x a
=
y
si tracci il grafico di: ( ) 2
+
x b 11
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+
3 +
3
x a ( )
x a 2
+
= =
Poiché in quanto è non negativo, il grafico di
x b
y ( ) ( )
2 2
+ +
x b x b
+
3 +
+ 3
3
x a x a
x a =
= = ribaltando verso le ordinate positive le
si ricava da quello di y
y ( )
( ) ( ) 2
+
2 2
+ + x b
x b x b
porzioni di grafico al di sotto dell’asse delle ascisse. Il grafico è di seguito presentato. 12
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QUESTIONARIO
Quesito 1
Il rapporto delle aree laterali di due coni aventi basi uguali è uguale al rapporto degli apotemi
mentre il rapporto dei loro volumi è uguale al rapporto delle altezze.
Dato un cono con raggio di base , altezza ed apotema , la superficie laterale ed il volume sono
r h a
π ⋅ ⋅
2
r h
π
= ⋅ ⋅ = e e
rispettivamente . Se due coni, di apotemi ed altezze , hanno
, a a h h
S r a V 1 1
l 3
