2002 - Liceo scientifico di ordinamento - problema 1 sessione straordinaria

+ + =

 a b c

4 2 2

 + + =

 a b c

64 8 8

 − =

2

b 4 ac 0



 b

− >

 0

 a

2 + = → = −

Sottraendo la prima e la seconda l’una dall’altra si ricava: 10 a b 1 b 1 10 a da cui

= − − = − + − =

c 2 2

b 4 a 2 2 20 a 4 a 16 a

Ora sostituendo nella terza equazione si ha: ±

( ) ( ) 10 8 1 1

− − = → − + = → = → = =

2 2

1 10 a 4 a 16 a 0 36 a 20 a 1 0 a a , a

36 2 18

Da cui 1

= → = −

a b 4

2

1 1

= → =

a b

18 9

b

− >

Poiché deve aversi 0 allora la soluzione accettabile è:

2 a  1

=

a

 2

 = −



b 4

 =

c 8





Cioè la parabola ha equazione 2

x

= − +

p : y 4 x 8

2

Il tutto viene presentato nel grafico sottostante:

L’area delimitata dalla parabola e la bisettrice è:

 

   

8 8

2 2

x x

∫ ∫

= − − + = − + −

 

 

A x 4 x 8 dx 5 x 8 dx

 

 

2 2

   

 

2 2

8

 

3 2

x 5 x 256 4 252

= − + − = − + − + − + = − =

8 x 160 64 10 16 102 18

 

6 2 3 3 3

  2

Calcoliamo ora i punti di intersezione tra la circonferenza e la parabola:

( ) ( )

 − + − =

2 2

x 8 y 2 36 2 2

   

 2 2

( ) ( )

x x

− + − + − = − + − + =

   

⇒ ⇒ ⇒

2 2

 x 8 4 x 8 2 36 x 8 4 x 6 36

   

2

x

= − +    

2 2

 y 4 x 8

 2 ( )

( )( )

− + − + = → − − − + = → = = = ±

4 3 2 2

x 16 x 92 x 256 x 256 0 x 2 x 8 x 6 x 16 0 x 2

, x 8

, x 3 i 7

= =

Quindi come anticipato nella traccia gli unici punti in comune sono i punti M ( 2

, 2 ), N (

8

,

8

) .

A completamento del problema vanno calcolate le aree in cui la parabola divide la circonferenza.

Consideriamo la figura sottostante:

Per il calcolo delle aree dobbiamo innanzitutto esplicitare l’equazione della circonferenza:

( ) ( ) ( )

− + − = → = ± − −

2 2 2

x 8 y 2 36 y 2 36 x 8 =

S

Ora per il calcolo di visto che la circonferenza si trova al di sopra della retta y 2 , l’arco di

1 ( )

= + − − 2

y 2 36 x 8 , per cui

circonferenza è descritto dall’equazione

 

   

8 8 8

2 2

( ) ( )

x x

 

∫ ∫ ∫

= + − − − − + = − − + − + − = +

 

2 2

 

S 2 36 x 8 4 x 8 dx 36 x 8 dx 4 x 6 dx S S

 

   

 

1 1

,

1 1

, 2

2 2

   

 

2 2 2

8 ( )

 

∫

= − − 2

S 36 x 8 dx

 

1

,

1 2  

8 2

x

∫

= − + −

S 4 x 6 dx

 

1

, 2 2

 

2

Ora 8

   

8 2 3

x x 256 4 252

∫

= − + − = − + − = − + − + − + = − =

2

S 4 x 6 dx 2 x 6 x 128 48 8 12 84 0

   

1

, 2 2 6 3 3 3

   

2 2

8 ( )

 

∫

= − − 2

Per il calcolo di S 36 x 8 dx seguiamo la strada seguente:

 

1

,

1 2

Effettuiamo la sostituzione