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SOLUZIONE DI DE ROSA NICOLA
a) ( )
−
2
f ( x ) ed x 1 , può essere sempre ricondotta ad
La divisione tra due polinomi, nel nostro caso
una equazione del tipo: ( )
( ) ( ) ( )
= − +
2
f x x 1 * Q x R x
( ) ( ) ( ) ( )
= =
dove Q x è il quoziente ed R x è il resto. Nel nostro caso Q x R x x per cui
( ) = 3
f x x
b) 3
x
=
Studio di y −
2
x 1 ( ) ( ) ( )
∀ ∈ − ≠ → ≠ ± − ∞ − ∪ − ∪ +∞
2
Dominio : x R | x 1 0 x 1 cioè il dominio risulta essere , 1 1
,
1 1
,
3
x
= = → =
Intersezio ne asse x : y 0 x 0
−
2
x 1
= → =
Intersezio ne asse y : x 0 y 0
3
x >
Positività : 0 la si risolve col metodo del falso sistema,
−
2
x 1
studiando separatame
nte numeratore e denominato
re
( ) ( )
= > → > = − > → < − ∪ >
3 2
In tal caso N x x 0 x 0 mentre D x x 1 0 x 1 x 1
Per cui mettendo i risultati sulla stessa retta dei reali
3 ( ) ( )
x > → ∈ − ∪ +∞
Otteniamo che 0 x 1
, 0 1
,
−
2
x 1
= ±
Asintoti verticali: x 1
Infatti: 3 3
x 1 x 1
= = +∞ = = −∞
lim , lim
+ −
− −
2 2
+ −
→ →
x 1 0 x 1 0
1 1
x x
− −
3 3
x 1 x 1
= = +∞ = = −∞
lim , lim
− +
− −
2 2
+ −
→ − → −
x 1 0 x 1 0
x 1 x 1
Asintoti orizzontali : non ce ne sono perché
3 3
x x
= +∞ = −∞
lim , lim
− −
2 2
→ +∞ → −∞
x 1 x 1
x x
Asintoti obliqui :
= +
y mx q 3
x 3
− x
2
x 1
= = =
m lim lim 1
−
3
→ ±∞ → ±∞
x x x
x x
3
x x
= − = =
q x
lim lim 0
− −
2 2
→ ±∞ → ±∞
x x
1 1
x x
=
Per cui y x è asintoto obliquo doppio
Crescenza e decrescenza :
( ) ( )
− − −
2 2 3 2 2
( ) 3 x * x 1 x * 2 x x x 3
= =
I
y x ( ) ( )
2 2
− −
2 2
x 1 x 1
Ora il segno della derivata si studia in generale come fatto per la positività :
2
x
tuttavia notiamo che nel dominio di definizion
e la quantità ( )
2
−
2
x 1
=
è sempre positiva tranne che per x 0 ( )
−
2
in cui si annulla per cui il segno della derivata prima si riconduce al segno del fattore x 3 .
Cioè ( ) ( ) ( )
− ( )
2 2
( ) x x 3
= > ⇔ − > → − ∞ − ∪ +∞
I 2
y x x
0 3 0 , 3 3 ,
( )
2
−
2
x 1 ( ) ( )
− ∞ − ∪ +∞
per cui la nostra funzione è crescente negli intervalli , 3 3 ,
( ) ( )
∪
e decrescent
e in - 3 , 0 0
, 3
Allo stesso modo si calcola la derivata seconda e si ricava :
( )
+
2
( ) 2 x x 3
=
II
y x ( )
3
−
2
x 1
Ora :
( )
3 23 3 3
= > →
II
y 3 0 3 , è un minimo mentre
2
( )
3 3 3 3
− = − < → − −
II
y 3 0 3 , è un massimo
2 2
( ) = ⇔ =
II
Inoltre y x 0 x 0
( ) ( )
= − →
III
y 0 6 0
, 0 è un punto di flesso
Il grafico è sotto rappresentato:
c)
Retta tangente:
( )
− = −
y y m x x
0 0
dove −
1 1 11
−
( )
3
−
2 2
x x 11
1 3 4 4 16
= = = = = −
I
m y ( )
2 2
9
− 9
2
2 1
x 1 1 −
= 1
x 16
2
4
1
3
x 1
8 = −
= =
( )
mentre y
−
0
2 1 6
x 1 1 −
= 1
x 2
4
per cui la retta diventa
1 11 1 11 4
+ = − − → = − +
y x y x
6 9 2 9 9
