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Sessione straordinaria LS_ORD 2003 Soluzione di De Rosa Nicola
PROBLEMA 2
La base minore, la base maggiore e il perimetro di un trapezio isoscele misurano nell'ordine:
( )
+
6cm, 10cm, 4 4 5 cm.
a) Dire, giustificando la risposta, se il trapezio è circoscrittibile a una circonferenza.
b) Spiegare perché il trapezio è inscrittibile in una circonferenza k.
c) Dopo aver riferito il piano del trapezio a un conveniente sistema di assi cartesiani ortogonali,
trovare l'equazione di k.
d) Trovare l'equazione della parabola p passante per gli estremi della base minore del trapezio e
avente l'asse perpendicolare a tale base e il vertice nel centro di k.
e) Calcolare le aree delle regioni piane in cui la parabola p divide il trapezio.
f) Calcolare le aree delle regioni piane in cui la parabola p divide il cerchio delimitato da k.
Soluzione
a) = =
Il trapezio è sotto rappresentato: i lati obliqui misureranno 2 5 :
AD CB
Per essere circoscrittibile ad una circonferenza un qualsiasi quadrilatero deve avere la somma dei
( ) ( )
+ = ≠ = +
16 4 5
lati opposti uguale: in questo caso , per cui il trapezio isoscele
AB CD AD BC
suddetto non è circoscrivibile ad una circonferenza.
b)
Condizione necessaria e sufficiente per l‘inscrivibilità di un quadrilatero è che gli angoli opposti
siano supplementari.
Nel caso del trapezio isoscele si ha: ˆ ˆ
=
D
A
B A
B
C
ˆ
ˆ =
A
D
C B
C D
ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ,
ed inoltre gli angoli e sono supplementari in quanto coniugati interni. Ecco
D
A B A
D
C A
B
C B
C D
per cui che gli angoli opposti sono supplementari ed è soddisfatta la condizione necessaria e
sufficiente per l’inscrivibilità del trapezio isoscele. 5
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c)
Consideriamo come sistema di riferimento un sistema che ha l’origine nel punto medio della base
maggiore del trapezio, con la suddetta base sull’asse delle ascisse, come di seguito presentato:
( )
2
= − = =
2
Il trapezio ha altezza che misura per il teorema di Pitagora 2 5 2 16 4 .
CH
Con tale sistema di riferimento i vertici del trapezio hanno le seguenti coordinate:
= −
( 5
,
0
)
A = (
5
,
0
)
B = (
3
, 4 )
C = −
( 3
, 4
)
D + + + + =
2 2 . Per trovare i tre parametri
L’equazione di una generica circonferenza è : 0
k x y ax by c
restanti, imponiamo il passaggio per i tre punti A,B e C, ottenendo il sistema seguente:
− + + =
⎧ 5 25 0
a c
⎪ + + =
5 25 0
⎨ a c
⎪ + + + =
3 4 25 0
⎩ a b c
= − =
Ora sommando le prime due equazioni si ottiene , mentre sottraendole si ottiene .
25 0
c a
=
Dalla terza equazione si ottiene .
0
b + =
2 2 .
L’equazione risultante è quindi : 25
k x y 6
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d) =
Il centro della circonferenza coincide col centro del sistema di riferimento cioè ( 0
,
0 ) . La
O
= 2
parabola avrà equazione generica allora del tipo : , ed imponendo il passaggio per C o D
p p y ax
4 4
= → = = 2
4 9 da cui :
si ottiene a a p y x
9 9 7
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e)
Le aree da calcolare sono sotto raffigurate in due tonalità di grigio (scuro e chiaro):
L’area del settore parabolico delimitato dalla parabola e dalla base minore del trapezio si calcola
facilmente attraverso il teorema di Archimede secondo cui l’area di un settore parabolico è pari ai
2 dell’area del rettangolo circoscritto.
3 = ⋅ =
In tal caso l’area del rettangolo circoscritto è , per cui l’area del settore parabolico
6 4 24
A
R
2
= ⋅ =
sarà 24 16 .
A
1 3
Un altro modo per calcolare l’area del settore parabolico è utilizzare il calcolo integrale per cui
INTEGRANDO 3
3 3
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
4 4 4 [ ]
PARI
∫ ∫
= − = − = − = − =
2 2 3
4 2 4 2 4 2 12 4 16 come già
A x dx x dx x x
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦
1 9 9 27
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
− 0
3 0
precedentemente calcolato. ( ) ⋅
16 4
= − = − =
16 16 .
L’altra area sarà pari a A A A
2 1
ABCD 2
f)
Le aree da calcolare sono sotto raffigurate in due tonalità di grigio (scuro e chiaro): 8
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è pari al seguente integrale:
L’area A
1 [ ] [ ]
INTEGRANDO 3
3 3
3 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
4 4
PARI
∫ ∫ ∫
= − − = − − = − −
2 3 2
2 2
25 2 25 2 2 25 8
A x x dx x dx x x dx
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
1 9 27
⎦
⎣ ⎣ ⎦
− 0
0 0
3
∫ − 2
L’integrale 25 lo risolviamo integrando per parti ottenendo:
x dx − 2
x
∫ ∫ =
− = − −
2 2
25 25 dx
x dx x x − 2
25 x
( )
− −
2
25 25
x
∫ =
= − −
2
25 dx
x x − 2
25 x
25
∫ ∫
= − + − − ⇒
2 2
25
25
x x dx x dx
− 2
25 x
− 2
25 1 25
x x
∫ ∫
− = + =
2
25 dx
x dx 2 2 − 2
25 x 1
−
− 2 2
25 1 5 25 25
x x
x x 5
∫ ∫ =
= +
= + dx
dx
2 2 2 2
2 2
⎞
⎞ ⎛
⎛ x
x −
− ⎟
⎟ ⎜
⎜
1 1
5 5 ⎠
⎠ ⎝
⎝
− 2 ⎞
⎛
25 25
x x x +
= + ⎟
⎜
arcsin K
2 2 5 ⎠
⎝
[ ] 3
⎡ ⎤
3 ⎡ ⎤
− 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
25 25 25 3
x x x
∫ − = + = +
2 ⎢ ⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Quindi 2 25 2 arcsin 2 6 arcsin da cui
⎢ ⎥
x dx 2 2 5 2 5
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
⎢ ⎥
⎣ ⎦
0 0 9
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⎡ ⎤ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
25 3 3
− = +
= + ⎜ ⎟
⎜ ⎟
2 6 arcsin 8 4 25 arcsin
⎢ ⎥
A
1 2 5 5
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎣ ⎦ ⎛ ⎞
3
( )
π π
2
= − = − − ⎜ ⎟
5 25 4 25 arcsin .
e per differenza l’altra area sarà A A
2 1 5
⎝ ⎠ 10
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QUESTIONARIO
1) Nell'insieme delle rette dello spazio si consideri la relazione così definita: "due rette si
dicono parallele se sono complanari e non hanno punti in comune". Dire se è vero o falso che
gode della proprietà transitiva e fornire un'esauriente spiegazione della risposta.
La relazione “due è una
rette si dicono parallele se sono complanari e non hanno punti in comune”
relazione che gode della proprietà di transitività.
A tal proposito consideriamo tre piani con le seguenti proprietà:
α
¾ Piano contenente le rette r ed s parallele tra loro;
β
¾ Piano contenente le rette s e t parallele tra loro;
γ
¾ Piano perpendicolare alla retta s.
β
α e , hanno quindi la retta s come intersezione.
I due piani, γ ; la retta h è la retta
Inoltre i punti H,P e K rappresentano le proiezioni delle rette r, s, t sul piano
congiungente i punti proiezioni A e B, mentre la retta k è una generica retta perpendicolare alla retta
h in un punto Q.
La figura sottostante rappresenta geometricamente quanto detto sinora.
Innanzitutto, ricordando che date due rette parallele, se un piano è perpendicolare all’una è
γ
perpendicolare anche all’altra, si ha che il piano è perpendicolare anche alle rette r e t.
Ora dimostreremo come due rette perpendicolari ad un dato piano siano parallele tra loro .
γ
↵ e per il teorema delle tre perpendicolari la retta k è perpendicolare al piano
Siccome r h↵ k γ
↵ e per il teorema delle tre perpendicolari la retta k è
contenente r ed h; analogamente t h↵ k 12
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perpendicolare al piano contenente t ed h; poiché di piani perpendicolari alla retta k passante per Q
ve ne è uno ed uno solo, deduciamo che le rette r e t sono complanari. Essendo queste ultime
complanari ed entrambe perpendicolari alla stessa retta h, esse sono parallele.
2) In un piano, riferito a un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy) è
assegnato il luogo geometrico dei punti che soddisfano alla seguente equazione:
2 2
8x +8y -4kx+8y-3k=0
dove k è un parametro reale. Calcolare per quali valori di k il luogo è costituito da:
1)un punto, 2) due punti, 3) infiniti punti, 4) nessun punto.
L’equazione del luogo può essere riscritta nel modo seguente:
⎛ ⎞
3
x =
+ + + − −
2 2 ⎜ ⎟ 0
x y y k 2 8 ⎠
⎝ ⎛ ⎞
1
= −
⎜ ⎟
0
, e la retta di
e cioè il luogo è una combinazione lineare tra una circonferenza di centro C 2
⎝ ⎠
⎛ ⎞
1
3 k
= − = −
⎜ ⎟
equazione . Il luogo si riconduce ad un fascio di circonferenze di centro , se il
C
x k 4
4 2
⎝ ⎠
raggio risulta essere un valore positivo e cioè se
2 1 3 1
k k
= + + = + + > ⇔
2 6 4 0
r k k
k 16 4 8 4
⇔ + + > ⇔ < − − ∨ > − +
2 6 4 0 3 5 3 5
k k k k
Inoltre in tal caso il fascio di circonferenze avrà come generatrici la circonferenza di equazione
3
= −
+ + =
2 2 . Ma tali due generatrici non hanno punti in
0 e l’asse radicale di equazione x
x y y 4
9 + + =
2
comune; infatti l’equazione 0 non è risolta per nessun valore reale, per cui l’asse
y y
16
radicale è esterno alla circonferenza base generatrice; da ciò si deduce che le circonferenze del
fascio non hanno punti in comune cioè non hanno punti base.
In conclusione il luogo geometrico è costituito da:
= ⇔ = − ±
1 punto se ;
0 3 5
r k
k
2 punti per nessun valore di k;
< − − ∨ > − +
Infiniti punti per 3 5 3 5 ;
k k
− − < < − +
Nessun punto per 3 5 3 5 .
k 13
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3) Dimostrare che condizione necessaria e sufficiente affinché un trapezio rettangolo abbia le
diagonali perpendicolari è che le misure della base minore, dell'altezza e della base maggiore,
prese nell'ordine e considerate rispetto alla stessa unità di misura, siano numeri in
progressione geometrica.
Consideriamo il trapezio rettangolo sottostante con base minore,altezza e base maggiore pari ad a,b
e c.
Dimostriamo prima la condizione necessaria, e cioè se le diagonali DB ed AC sono perpendicolari
=
allora vale la seguente relazione . Se i triangoli DAB e ADC sono simili per il
: :
b a c b DB↵
AC ˆ
ˆ =
primo criterio di similitudine: infatti hanno un angolo retto ambedue e poi in quanto
A
D
B D
C A
ˆ =
complementari dell’angolo . Per cui i lati omologhi saranno in proporzione e cioè .
: :
C D
B b a c b
= è anche sufficiente. In tali ipotesi per il secondo
Dimostriamo ora che la condizione : :
b a c b ˆ
ˆ =
criterio di similitudine i triangoli DAB e ADC sono simili ed in particolare ; inoltre i
A
D
B D
C A
triangoli DEC e DAB saranno simili per il primo criterio di similitudine avendo tutti gli angoli
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
= = =
uguali ed in particolare come prima dimostrato e in quanto
A
D
B D
C A A
B
D C D
B C D
E
ˆ
ˆ =
alterni interni; da ciò si deduce che e cioè le diagonali sono perpendicolari.
D
E
C D
A
B
+ + = +
2 2 3 3 3 per ogni x reale e giustificare la r isposta.
x x x
4) Dire se è vero che risulta:
La risposta è ovviamente negativa: infatti l’equazione
+ + = +
2 2 3 3 3
x x x ( ) 2
+ + = + =
2
2
può essere riscritta, ricordando che 2 3 3 3 e che , nel
( ) ( )
x x x f x f x
seguente modo: + = +
3 3
x x
+ ≥ ⇔ ≥ −
3 0 3 .
che risulta vera se e solo se x x 14
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5) Si consideri la funzione polinomiale in x:
2 n
y=a +a x+a x +...+a x .
0 1 2 n
Dimostrare che il suo grafico, rappresentato in un piano cartesiano, ha come tangente nel
punto di ascissa 0 la retta di equazione y=a +a x.
0 1
( ) −
= + + + 1
"
"
Il punto di tangenza è 0
, e la derivata della funzione è ' 2 per cui il
n
a y a a x na x
1 2
0 n
= = =
coefficiente angolare della retta tangente sarà per cui l’equazione della tangente
' ( 0 )
m y x a
1
= +
è : .
t y a a x
0 1
6)Si consideri la successione di termine generale a tale che:
n
=
⎧
1 se 1
n
= ⎨
a + >
se 1
n ⎩ a n n
−
1
n
Calcolare a .
100
Scriviamo i termini della successione:
= 1
a
1 = + = +
2 1 2
a a
2 1
= + = + +
3 1 2 3
a a
3 2
= + = + + +
4 1 2 3 4
a a
4 3
#
# = + = + + + + +
"
"
100 1 2 3 4 100
a a
100 99
Per cui la somma della serie richiesta è la somma dei primi 100 numeri naturali e cioè
( )
⋅ +
⋅
100 100 101 1
n n n
∑ ∑ =
= = 5050 avendo ricordato che .
k
a n 2 2
= =
1 1
k
n
7)Considerata la successione di termine generale:
2
=
a
n 3
n ∞
∑ a
calcolare .
n
=
1
n
Scriviamo la serie numerica in questo modo: ⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
n n
∞ ∞ ∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤
2 1 1 1 3
∑ ∑ ∑ − = − =
= = = −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 2 1 2 1 2 1 1
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
1
3 3 2
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
3 n ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ −
= = = 1
1 1 0
n n n ⎢ ⎥
⎣ ⎦
3 15
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∞ 1
∑ = <
