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Sessione suppletiva LS_ORD 2003 Soluzione di De Rosa Nicola
PROBLEMA 1
Del triangolo ABC si hanno le seguenti informazioni:
l = °
AB=3cm; AC=2cm; C AB 60 .
l
Si tracci la bisettrice di C AB e se ne indichi con D l'intersezione con il lato BC.
a) Si calcoli la lunghezza del lato BC e delle parti in cui esso risulta diviso dal punto D.
b) Si determinino il coseno dell'angolo in B, la misura di AD e, disponendo di un calcolatore, le
misure approssimate degli altri due angoli interni di vertici B e C.
c) Si trovi sul lato AD, internamente a esso, un punto P tale che la somma s dei quadrati delle sue
2
distanze dai vertici A, B e C sia m essendo m un parametro reale dato.
d) Si discuta tale ultima questione rispetto al parametro m.
Soluzione
Si consideri la figura sottostante che raffigura la geometria del problema:
1)
Il lato BC si può calcolare attraverso il teorema di Carnot, per cui:
( )
= + − ⋅ ⋅ =
ˆ
2 2
BC AC AB 2 AC AB cos C A
B
( ) 1
= + − ⋅ ° = + − ⋅ = − =
4 9 12 cos 60 4 9 12 13 6 7
2
Ora per il noto teorema della bisettrice di un angolo interno ad un triangolo, vale la seguente
= = −
= CD x , DB 7 x la proporzione si scrive:
. Ponendo
proporzione: AC : AB CD : DB
( ) 2 7 3 7
= − → = − → = = = − =
2 : 3 x : 7 x 3 x 2 7 2 x CD x , DB 7 x
5 5
2)
Per il teorema di Carnot vale la seguente equazione:
( ) + − + −
2 2 2 9 7 4 2 7
AB CB AC
= = =
ˆ
cos C B
A ⋅
2 7
AB CB 6 7
ed ancora per lo stesso teorema si ha: 1
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( )
= + − ⋅ ⋅ =
ˆ
2 2 2 cos
AD AB DB AB DB C B
A
63 3 7 2 7 63 36 108 6 3
= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − = =
9 2 3 9
25 5 7 25 5 25 5
Ora ( ) ⎛ ⎞
2 7 2 7
⎜ ⎟
= ⇒ = ≅ °
ˆ ˆ
cos C B
A C B
A arccos 40 53
'
36
' '
⎜ ⎟
7 7
⎝ ⎠
= ° − ° − ° ≅ °
ˆ
B
C A 180 60 40 53
'
36
' ' 79 06
'
24
'
3) 6 3
= ≤ ≤ .
Poniamo AP x ,
0 x 5
Applicando il teorema di Carnot due volte si ha:
( ) 3
= + − ⋅ ⋅ ° = + − ⋅ ⋅ ⋅ = − +
2 2 2 2 2
2 cos 30 4 2 2 2 3 4
PC AP AC AP AC x x x x
2
( ) 3
= + − ⋅ ⋅ ° = + − ⋅ ⋅ ⋅ = − +
2 2 2 2 2
2 cos 30 9 2 3
PB AP AB AP AB x x x 3 3 x 9
2
Si ha allora: = + + = − + =
2 2 2 2 2
s AP PC PB 3 x 5 3 x 13 m
e cioè si deve discutere il seguente sistema: ⎧
⎪ = − +
2
⎧ − + = y x x
3 5 3 13
2 2
x x m
3 5 3 13 ⎪
⎪
⎪ ⇔ = 2
⎨ ⎨ y m
6 3
≤ ≤ ⎪
⎪ x
0
⎩ 6 3
⎪
5 ≤ ≤
x
0
⎪
⎩ 5
= − +
2
y 3 x 5 3 x 13 è una parabola con concavità rivolta verso l’alto e vertice
La prima equazione
⎛ ⎞
5 3 27
⎜ ⎟
= = 2
nel punto V , , mentre la seconda y m è l’equazione di una retta parallela all’asse
⎜ ⎟
6 4
⎝ ⎠
delle ascisse.
4) = 2
Il valore minimo che può assumere la retta y m è in corrispondenza del vertice della parabola e
27 6 3
= = ≤ ≤
2 0 x i valori assunti
y m ; inoltre agli estremi dell’intervallo di analisi
cioè quando 4 5 2
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199
= = = = =
2 2 2
dalla retta 13
,
y m sono y m y m .
= 0
x 6 3 25
=
x 5
Il tutto è sotto rappresentato:
Il sistema allora ammette le seguenti soluzioni:
27 199 3 3 199
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
2
2 soluzioni per m m ;
4 25 2 5
199 199
< ≤ ⇔ < ≤
2 13
1 soluzione per m m 13 .
25 5 3
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Soluzione
Si consideri la figura seguente:
1)
Le due piramidi, quella iniziale VABCD e quella sezionata VA’B’C’D’ sono simili, per cui i
quadrati delle altezze stanno come le aree di base cioè vale la seguente
= che può essere anche riscritta nel modo seguente:
proporzione: a : b VH : VH ' bh
= + ⇒ + ⋅ = ⋅ ⇒ =
a : b ( h VH ' ) : VH ' bh b VH ' a VH ' VH ' .
−
a b
Ora il volume del tronco di piramide può essere calcolato come differenza tra i volumi delle due
piramidi e cioè ⎛ ⎞
⎛ ⎞
bh bh
1 1 =
− ⋅
= − = ⋅ + ⎜ ⎟
⎜ ⎟
2 2
V V V a h b −
−
' ' ' '
tronco VABCD VA B C D ⎝ ⎠
⎝ ⎠
a b a b
3 3
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
b b a b
1 1
= + − = − =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 2 2 2
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
h a b h a b
1 − − − −
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
a b a b a b a b
3 3 ( )
( )
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
− − + + ( )
3 3 3 3 2 2
a b a b a b a b ab
1 1 1 1
= − = = = + +
2 2
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
h h h h a b ab
− − − −
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
a b a b a b a b
3 3 3 3 4
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2)
La piramide è a base quadrata, per cui, vista la particolare simmetria, il piede dell’altezza VH della
piramide VABCD cade nel centro del quadrato di base e l’apotema è la mediana e l’altezza del
2
a a
= −
= 2
e VH VK .
triangolo isoscele VBC. Quindi HK 2 4 3 , e ricordando che la superficie
Inoltre per ipotesi sappiamo che la superficie laterale vale
laterale si calcola come semiperimetro di base moltiplicato per l’apotema VK si ha
−
2 4
3 a 3 a
3
= − =
⋅ = ⇒ = da cui VH . Il volume della piramide sarà
VK 2 a 3 VK 2
2 a 4 2 a
a
4
− −
4 4
( ) ( ) a a a
1 3 3
= = ⋅ ⋅ =
2 .
allora: V a f a a
VABCD a
3 2 6 − ≥ ⇒ − ≤ ≤
4 4 4
3 a 0 3 a 3 , ed essendo lo
Ora l’esistenza del volume impone la condizione ≥ , da cui viene fuori la condizione
spigolo di base una lunghezza si deve ulteriormente imporre a 0
≤ ≤ 4
0 a 3 . − 4
( ) ( ) a a
3
= =
Studiamo allora la crescenza e decrescenza della funzione volume V a f a
VABCD 6
≤ ≤ 4
0 a 3 . La derivata prima è:
nell’intervallo ⎤ ⎤
⎡ ⎡
⎛ ⎛
⎞ ⎞
− −
3 4
1 2 a 1 1 a
⎜ ⎜
⎟ ⎟
= − + =
⎥ ⎥
⎢ ⎢
4
f ' ( a ) 3 a a , per cui
⎜ ⎜
⎟ ⎟
− −
⎥ ⎥
⎢ ⎢
6 2
⎝ ⎝
⎠ ⎠
4 4
⎦ ⎦
⎣ ⎣
3 a 3 a
⎤
⎡
⎛ ⎞
− 4
1 1 a
⎜ ⎟
= ≥ ⇔ ≤ ≤
⎥
⎢ 4
f ' ( a ) 0 1 a 3 , cioè la funzione volume è crescente nell’intervallo
⎜ ⎟
− ⎥
⎢
2 ⎝ ⎠
4 ⎦
⎣ 3 a
≤ ≤ ≤ ≤ =
4
1 a 3 e decrescente in . Cioè il volume è massimo per e vale
0 a 1 a 1
( ) ( ) 2
= = = = 3
V a 1 f a 1 dm .
VABCD 6 2 3
= =
In tal caso l’altezza VH dm , l’apotema vale VK dm , gli spigoli di base valgono 1 e
dm
2 2 3 1
= + = + =
2 2
gli spigoli laterali valgono per il teorema di Pitagora , cioè le
VB VK KB 1 dm
4 4
facce laterali sono triangoli equilateri, per cui la piramide è quadrata e retta nello stesso tempo. 5
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3)
Si consideri la seguente figura:
Come già evidenziato nel punto precedente, le diagonali del quadrato sono il doppio dell’altezza
2
= = =
della piramide regolare a base quadrata, e cioè VH HD HB , per cui il triangolo VDB è
2
rettangolo in V ed è possibile così inscriverlo in una semicirconferenza; e la sfera circoscritta può
essere pensata come conseguente alla rotazione di tale semicirconferenza attorno al diametro DB.
2
= = = =
R VH HD HB .
Per cui il raggio della sfera è 2
4)
Il volume della sfera circoscritta alla piramide di volume massimo è:
4 4 2 2
π π π
= = =
3 3
V R dm
sfera 3 3 4 3
2 2
π π
≡ = ≡ ≅
3 3
e ricordando che V
1 dm 1 litro si ha dm litri 1,48096 litri .
sfera 3 3 6
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Questionario
2
1. Tra i rettangoli aventi la stessa area di 16m trovare quello di perimetro minimo.
Soluzione
> > x, y
Dette x 0
, y 0 le misure dei lati del rettangolo, bisogna trovare le misure che minimizzano
= + = =
2 p 2 x 2 y sapendo che l’area A xy 16 .
il perimetro
La funzione da minimizzare può essere così riscritta:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
16 16
= + = + = +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 p 2 x 2 y 2 x 2 2 x
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x x
⎞
⎛ −
⎛ ⎞ 2
x
16 16 ⎟
⎜
= − =
⎜ ⎟ che risulta essere positiva per
Calcolandone la derivata si ha: 2 p ' 2 1 2 ⎟
⎜
⎝ ⎠
2 2 ⎠
⎝
x x
< − ∪ >
x 4 x 4 . Scartando la soluzione negativa si ha che la funzione perimetro è crescente per
= =
> e decrescente altrimenti; cioè il perimetro è minimo per x y 4 cioè quando il rettangolo è
x 4
un quadrato di lato 4.
2. Cosa si intende per "funzione periodica"? Qual è il periodo della funzione f(x)=senx-2cosx?
Soluzione
⊆ → >
Una funzione f : A R R è periodica di periodo se
T 0
∈ → + ∈ = + ∀ >
con intero. Il piu’ piccolo valore di che
x A x kT A e f ( x ) f ( x kT ) k T 0
soddisfa le due condizioni è detto periodo.
Inoltre va ricordato che il periodo della somma o differenza di due funzioni periodiche è il minimo
comune multiplo dei due periodi componenti.
( ) π
2
hanno entrambe periodo pari a per
Nel caso in esame le funzioni componenti sin( x ), 2 cos( x )
π
2 come sotto presentato:
cui il periodo della funzione differenza è esattamente 7
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3. Dare un esempio di un solido la cui superficie laterale è 24π.
Soluzione π
= ⋅ ⋅
Un cono circolare retto di apotema a e raggio di base r ha superficie laterale pari a S r a , per
l
π π
= ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ =
cui la condizione 24 24
S r a r a ; quindi un cono con apotema pari a 8 e raggio 3
l
soddisfa alle condizioni richieste. Soluzione
+ + + =
3 2
Se l’equazione cubica ha due soluzioni coincidenti reali pari a k, questo
ax bx cx d 0
significa che tutte e tre le soluzioni sono reali, perché ad una eventuale soluzione complessa
corrisponderebbe anche la sua complessa coniugata che sommate alle due reali coincidenti
farebbero 4 soluzioni e ciò è in contrasto col fatto che le soluzioni della cubica sono 3.
Quindi, essendo tutte reali, il polinomio cubico può essere fattorizzato nel seguente
( ) ( )
= + + + = − −
2
3 2
y ax bx cx d a x k x h . La sua derivata è
modo: ( )
= − − + − = − − −
2
y ' 2 a ( x k )( x h ) a ( x k ) a ( x k ) 3 x 2 h k da cui si evince che anch’esso si annulla in
( )
= = − − + − = − −
. La derivata seconda è invece ed
x k y ' ' a 3 x 2 h k 3
a ( x k ) 2 a (
3 x h 2 k ) 8
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= − = − = ⇔ = =
, per cui y ' ' ( k ) 2 a ( k h ) 0 h k ; per cui è soluzione anche di
y ' ' ( k ) 2 a ( k h ) x k
=
y se e solo se le tre soluzioni della cubica sono reali e coincidenti.
' ' 0 Soluzione
La formula di addizione per il coseno si esprime in questo modo:
+ = −
cos( x y ) cos( x ) cos( y ) sin( x ) sin( y )
α
= =
x y si ricava
per cui ponendo ( )
α α α α α α α
= − = −
2 2
cos( 2 ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos ( ) sin
( )
α α
+ =
2 2
Ora ricordando che cos ( ) sin 1 si ricava alternativamente
( ) ( )
α α α α α
= − = − = −
2 2 2 2
cos( 2 ) cos ( ) sin 2 cos ( ) 1 1 2 sin
Ora riapplicando le stesse formule si ha:
( ) ( ) ( )
α α α α
= − = − =
2 2 2
cos( 4 ) cos 2 sin 2 2 cos 2 1
[ ] [ ]
α α α
2
= − − = − + − =
2 4 2
2 2 cos ( ) 1 1 2 4 cos ( ) 4 cos ( ) 1 1
α α
= − +
4 2
8 cos ( ) 8 cos ( ) 1
Soluzione
= + +
5
La funzione y x 10 x 1 ha le seguenti caratteristiche:
( )
+ + = +∞ ;
5
lim x 10 x 1
→ +∞
x ( )
+ + = −∞ ;
5
lim x 10 x 1
→ −∞
x = + > ∀ ∈
4
E’ sempre crescente, infatti y ' 5 x 10 0 x R = + + =
5
e queste tre caratteristiche ci assicurano che l’equazione 10 1 0
y x x ha una ed una sola
radice reale. Tale radice è calcolabile attraverso il teorema degli zeri e si trova nell’intervallo [-1,0];
( )
− = − < = > .
infatti y 1 10 0
, y ( 0 ) 1 0 9
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7. Enunciare il teorema del valor medio o di Lagrange [da Giuseppe Luigi Lagrange (1736-
1813)] e mostrarne le implicazioni ai fini della determinazione della crescenza o decrescenza
delle curve. Soluzione
Il teorema di Lagrange (o del valor medio) afferma che se una funzione reale di variabile reale è
continua in un intervallo [a; b] e derivabile in (a; b), esiste almeno un punto interno all'intervallo in
cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla retta che congiunge i punti del grafico
corrispondenti agli estremi dell'intervallo [a;b]. Questa è l’interpretazione geometrica del teorema di
Lagrange.
In modo più formale:
→
• f : [ a , b ] R
Sia
• continua in [a, b]
• derivabile in (a, b) −
( ) ( ) ( ) ( )
f b f a
∃ ∈ =
'
allora in queste ipotesi .
, :
c a b f c −
b a
Il teorema di Lagrange (o del valor medio) fornisce una condizione sufficiente per la crescenza o
decrescenza di una funzione in un intervallo.
