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Sintesi


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Sessione ordinaria Estero 2002 - 2003 Soluzione a cura di Nicola De Rosa

SCUOLE ITALIANE ALL’ESTERO

ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

Sessione Ordinaria 2003

Calendario australe

SECONDA PROVA SCRITTA

Tema di Matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

Considerate le funzioni − −

+ −

t t t t

( ) ( )

e e e e

= =

f t g t

,

2 2

1. Tracciate nel piano (t; y) i loro rispettivi grafici F e G. ( )

− =

2 2 f t

2. Provate che un punto qualsiasi dell’iperbole 1

x y avente per ascissa ha per ordinata

1

( ) .

g t 1

3. Siano P e Q i punti rispettivamente di F e G aventi la medesima ascissa t . Stabilite se la distanza

0

tra P e Q assume un valore di minimo o di massimo assoluto per qualche particolare valore di t .

0

= −

4. Calcolate l’area della regione limitata da F, G, dall’asse y e dalla retta di equazione e quella

t 1

= .

della regione limitata da F, G, dall’asse y e dalla retta di equazione t 1

PROBLEMA 2 = − + +

2 abbia il vertice in A(1; 6).

Determinare b e c affinché la parabola di equazione y x bx c =

xy k passi per A.

Determinare altresì il parametro k in modo che l’iperbole di equazione

1. Disegnare le due curve e determinare le coordinate dei loro ulteriori punti comuni indicando con B

quello appartenente al primo quadrante.

2. Calcolare l’area della parte di piano limitata dai due archi AB della parabola e dell’iperbole.

3. Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione completa, attorno all’asse y della

medesima parte di piano.

www.matematicamente.it 1

Sessione ordinaria Estero 2002 - 2003 Soluzione a cura di Nicola De Rosa

QUESTIONARIO

1. Cosa si intende per funzione periodica ? Quale è il Periodo della funzione

( ) ( ) ( )

= + ?

f x tan 2 x cos 2 x + + + =

3 2

ax bx cx d 0

2. Provate che se l’equazione ha due soluzioni entrambe di valore k, allora k è

+ + =

2

3

ax 2

bx c 0 .

anche soluzione dell’equazione

3 Provate che la curva di equazione −

+ + + +

"

1

n n

a x a x a x a

= −

0 1 1

n n

y −

+ + + +

"

1

n n

b x b x b x b

0 1 1

n n a

= 0

con a e b reali non nulli, ammette per asintoto la retta di equazione y

0 0 b

0

x 2

e x ?

4. Quale è il flesso della funzione = + + +

3 2

5. Provate che una qualsiasi curva di equazione y ax bx cx d presenta uno e un solo flesso

e che questo è il centro di simmetria della curva. =

6. Per quale x la tangente alla curva di equazione y arcsin x ha coefficiente angolare 1?

( ) ( )

=

= − =

2 y x

7. F(x) e G(x) sono due primitive rispettivamente di y x e . Sapendo che è ,

G F

0 0 3

( ) ( )

quanto vale ?

G F

1 1

8. Tra i coni circolari retti di apotema 3 dm quale è quello di capacità massima? Esprimete in litri tale

capacità massima.

______________________________________________________________________

Durata massima della prova : 6 ore

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

E’ consentito l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile.

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Sessione ordinaria Estero 2002 - 2003 Soluzione a cura di Nicola De Rosa

PROBLEMA 1

Considerate le funzioni − −

+ −

t t t t

( ) ( )

e e e e

= =

f t g t

,

2 2

Punto 1

Tracciate nel piano (t; y) i loro rispettivi grafici F e G.

+

t t

( ) e e

=

f t

Studiamo la funzione 2

Dominio: R ;

Intersezioni asse ascisse: non ve ne sono;

= ⇒ =

Intersezioni asse ordinate: t y

0 1 ;

+

t t

( ) e e

= > ⇒ ∀ ∈

Positività: f t t R

0

2

Asintoti verticali: non ve ne sono; −

+

t t

e e = +∞

Asintoti orizzontali: non ve ne sono in quanto ;

lim

→ ±∞ 2

t De

− −

+ −

t t

t t L ' Hospital

e e e e

= = ±∞

Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto ;

lim lim

→ ±∞ → ±∞

t

2 2

t

t −

t t

( ) e e

=

f t

Crescenza e decrescenza: la derivata prima della funzione è: per cui

' 2

t t

( ) e e −

= > ⇒ > ⇒ > − ⇒ >

t t

f t e e t t t

' 0 0 per cui la funzione è strettamente crescente

2

( )

+∞ e strettamente decrescente altrove.

in 0

, −

+

t t

( ) e e

= > ⇒ ∀ ∈

Concavità e convessità: f t t R

la derivata seconda è ' ' 0 per cui la

2

( ) ( )

= > per cui è un

funzione presenta sempre concavità verso l’alto. Inoltre y ' ' 0 1 0 0

,

1

minimo relativo ed assoluto.

t t

( ) e e

=

g t

Studiamo la funzione 2

Dominio: R ; −

t t

( ) e e −

= = ⇒ = ⇒ = − ⇒ =

t t

Intersezioni asse ascisse: g t e e t t t

0 0 ;

2

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= ⇒ =

Intersezioni asse ordinate: t y

0 0 ;

t t

( ) e e −

= > ⇒ > ⇒ > − ⇒ >

t t

Positività: g t e e t t t

0 0

2

Asintoti verticali: non ve ne sono; −

t t

e e = ±∞

Asintoti orizzontali: non ve ne sono in quanto ;

lim

→ ±∞ 2

t De

− −

− +

t t

t t L ' Hospital

e e e e

= = +∞

Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto ;

lim lim

→ ±∞ → ±∞

t

2 2

t

t −

+

t t

( ) e e

=

g t

Crescenza e decrescenza: la derivata prima della funzione è: per cui la

' 2

funzione è strettamente crescente in tutto R.

Concavità e convessità: la derivata seconda è

t t

( ) e e −

= > ⇒ > ⇒ > − ⇒ >

t t

g t e e t t t

' ' 0 0 per cui la funzione presenta concavità verso

2

( ) ( )

+∞ . Inoltre per cui è un flesso a tangente obliqua.

l’alto in 0

, 0

,

0

− −

− +

t t t t

( ) ( )

e e e e

= =

g t f t

non è altro che la derivate prima di ed

Notiamo che la curva 2 2

− −

+ −

t t t t

e e e e −

= ⇒ =

t

e

inoltre non si intersecano mai in quanto 0 e quest’ultima equazione

2 2

non presenta soluzioni reali.

Di seguito vengono presentati i due grafici in un unico riferimento cartesiano:

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Punto 2 ( )

− =

2 2

x y 1

Provate che un punto qualsiasi dell’iperbole avente per ascissa ha per ordinata

f t

1

( ) .

g t 1 ( ( ) ( )

)

Un primo modo per dimostrare che la coppia è un punto dell’iperbole, basta sostituire

f t , g t

1 1

( ) ( )

l’ascissa e l’ordinata e controllare che ricaviamo una identità. In questo modo si ha

f t g t

1 1

2 2 ⎞

⎛ − − − −

+ −

+ +

+

t t t t 2 t 2 t 2 t 2 t

2 2 1 1

e e e e e e e e

1 1 1 1 1 1 1 1 ⎟

⎜ = + =

=

− 1 come volevamo

⎜ ⎠

⎝ 2 2 4 4 2 2

⎧ ⎛ ⎞

+

t t

( ) e e

1 1

⎜ ⎟

= =

⎪ x f t ⎜ ⎟

1

⎪ ⎝ ⎠

2

dimostrare. Un altro modo di proseguire è il seguente. Siano . Sommando e

⎛ −

⎪ t t

( ) e e

1 1 ⎟

= =

y g t ⎟

⎪ 1 ⎠

⎝ 2

⎧ + = t

⎪ x y e 1

⎨ e moltiplicando membro a

sottraendo membro a membro le due espressioni, si ottiene: ⎪⎩ −

− = t

x y e 1

( )( )

+ − = − =

2 2

x y x y x y 1 .

membro otteniamo

Punto 3 t

Siano P e Q i punti rispettivamente di F e G aventi la medesima ascissa . Stabilite se la

0

distanza tra P e Q assume un valore di minimo o di massimo assoluto per qualche particolare

t .

valore di 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− −

+ −

t t t t

e e e e

0 0 0 0

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

I punti P e Q hanno coordinate e la distanza tra essi è pari a

P t Q t

, , ,

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

0 0

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− −

+ −

t t t t

( ) e e e e

0 0 0 0

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −

= − = − = =

t t

d t y y e e . La funzione distanza è la funzione

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0

0 P Q ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

esponenziale con esponente negativo, è sempre positiva ed assume valore di minimo assoluto quando

( )

→ +∞ + ∞ =

t e il minimo assoluto vale ed assume valore di massimo assoluto quando

d 0

0 ( )

→ −∞ − ∞ = +∞

t e il massimo assoluto vale .

d

0

Punto 4 = −

Calcolate l’area della regione limitata da F, G, dall’asse y e dalla retta di equazione e

t 1

= .

quella della regione limitata da F, G, dall’asse y e dalla retta di equazione t 1

Le aree da calcolare sono di seguito raffigurate in verde e celeste:

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⎡ ⎤

⎞ ⎛

⎛ [ ]

− −

+

0 0

t t t t

e e e e

∫ ∫

⎟ ⎜

⎜ 0

− −

= = − = −

= t t

⎢ ⎥

S dt e dt e e 1 , mentre quella in

L’area in verde è ⎟

⎟ ⎜

⎜ −

1

1 ⎠

⎠ ⎝

⎝ 2 2

⎣ ⎦

− −

1 1

⎡ ⎤

⎞ ⎛

⎛ [ ]

− − −

+

1 1

t t t t

e e e e e 1

∫ ∫

⎟ ⎜

⎜ 1

− − −

= = − = − =

= 1

t t

⎢ ⎥

S dt e dt e e

1 .

celeste è ⎟

⎟ ⎜

⎜ 0

2 ⎠

⎠ ⎝

⎝ e

2 2

⎣ ⎦

0 0

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PROBLEMA 2 = − + +

2

y x bx c

Determinare b e c affinché la parabola di equazione abbia il vertice in A(1; 6).

=

xy k passi per A.

Determinare altresì il parametro k in modo che l’iperbole di equazione

b b b

= − = = = =

L’ascissa del vertice è x ed imponendo x 1 ricaviamo . Imponendo il

b 2

V V

2 a 2 2

+ = = − = − =

da cui . L’equazione della parabola è

passaggio per A(1,6) si ricava b c 7 c 7 b 7 2 5

= − + + =

2

y x x . Affinché l’iperbole equilatera di equazione xy k passi per A(1,6) si deve

allora 2 5 =

= xy 6

cui corrisponde l’equazione .

imporre k 6

Punto 1

Disegnare le due curve e determinare le coordinate dei loro ulteriori punti comuni indicando

con B quello appartenente al primo quadrante.

= − + +

2

La parabola y x 2 x 5 ha vertice in A(1,6), concavità verso il basso ed interseca l’asse delle

( )( ) ( )

+ −

1 6 ,

0 , 1 6 ,

0 .

e quello delle ordinate in

ascisse in 0

,

5

{ } ( )

= +∞ =

xy 6 è definita in , positiva in , e presenta come asintoto

L’iperbole equilatera R / 0 0

, x 0

=

y 0 come asintoto orizzontale. E’ strettamente decrescente per cui non presenta estremi

verticale e

relativi e non presenta flessi.

Le intersezioni tra le due curve si ricavano risolvendo l’equazione

( )

A 1

, 6

( )

( )( )( )

6

− + + = ⇒ − − + = − + − = ⇒

2 3 2

x 2 x 5 x 2 x 5 x 6 x 1 x 2 x 3 0 B 3

, 2

x ( )

− −

C 2

, 3

Il grafico di seguito.

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Punto 2

Calcolare l’area della parte di piano limitata dai due archi AB della parabola e dell’iperbole.

L’area è raffigurata in verde:

Tale area vale: 3

⎡ ⎤

⎡ ⎤

( ) ⎛ ⎞

3 3

6 x

= − + + − = − + + − =

⎜ ⎟

2 2

⎢ ⎥

⎢ ⎥ 5 6 ln

2 5

S x x dx x x x

⎝ ⎠

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3

x

1 1

[ ] 1 28 18 ln 3

=

= − + + − − − + +

9 9 15 6 ln 3 1 5

⎢ ⎦

⎣ 3 3

Punto 3

Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione completa, attorno all’asse y della

medesima parte di piano. = + −

L’arco di parabola AB del primo quadrante è rappresentabile come per cui il volume

x 1 6 y

vale: ⎡ ⎤

( ) 2 ⎞

⎛ 6

6 6 36

∫ ∫

2

π π ⎟

⎜ =

= − + − −

= + − −

⎢ ⎥

S 1 6 y dy 7 y 2 6 y dy

⎜ ⎟

⎜ 2

⎢ ⎥

⎝ ⎠

y y

⎣ ⎦ 2

2 ( ) 6

⎡ ⎤ π

⎡ ⎤

− ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞

2 ( )

y 7 4 36 1 25 32 11 31 32

3

π π π

= − − − + = − + − − − + = + =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

6 y 6 18

2 ⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

⎣ ⎦

2 3 y 2 2 3 2 6 3

2

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QUESTIONARIO

Quesito 1

Cosa si intende per funzione periodica ? Quale è il Periodo della funzione

( ) ( ) ( )

= + ?

f x tan 2 x cos 2 x ( )

= >

Una funzione reale di variabile reale si dice periodica di periodo T, con , se, per

y f x T 0

( ) ( )

= + per ogni x del dominio di f. La somma di funzioni

qualsiasi numero k intero, si ha: f x f x kT

periodiche ha come periodo il m.c.m. dei periodi delle singole funzioni. π

( ) ( ) =

= è T mentre il periodo di

Nel caso in esame il periodo della funzione f x tan 2 x 1

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

π

= = = +

è per cui il periodo di è

f x cos 2 x T f x tan 2 x cos 2 x

2 2

π

⎛ ⎞

( ) π π

=

= = ⎜ ⎟

T m c m T T m c m .

. . , . . ,

1 2 ⎠

⎝ 2

Quesito 2 + + + =

3 2

ax bx cx d 0

Provate che se l’equazione ha due soluzioni entrambe di valore k, allora

+ + =

2

3

ax 2

bx c 0

k è anche soluzione dell’equazione .

+ + + =

3 2

Se l’equazione ax bx cx d 0 ha due soluzioni entrambe di valore k, essa è esprimibile come

( ) ( ) ( ) ( )

− + = + + + = − +

2 2

3 2

a x k x m 0 con a , b

, c , d , k , m tali che ax bx cx d a x k x m . La funzione

( ) ( ) ( )

= + + + = − +

2

3 2

p x ax bx cx d a x k x m ha come derivata prima

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

= + + = − + + − = − + −

2

2

p x ax bx c a x k x m a x k a x k x m k

' 3 2 2 3 2 e si annulla anch’essa

=

x k

per come volevasi dimostrare.

Quesito 3

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