2003- liceo scientifico - sessione ordinaria America Latina

Sessione ordinaria America Latina 2002 - 2003 Soluzione a cura di Nicola De Rosa

SCUOLE ITALIANE ALL’ESTERO

ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

Sessione Ordinaria 2003

Calendario australe

SECONDA PROVA SCRITTA

Tema di Matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

Nel piano riferito a coordinate cartesiane, ortogonali e monometriche (x,y), studiate la curva G di

equazione: x 3

=

y ( )

− 2

x

2 1

1. Tracciatene il grafico e denotate con s il suo asintoto obliquo.

2. Indicate con A e B i punti in cui s incontra rispettivamente l’asse y e la curva G . Sul segmento AB

prendete un punto P in modo che, detto Q il punto di G avente la stessa ascissa di P, sia massima

l’area del triangolo APQ.

3. Determinate l’area della regione finita di piano delimitata da G e dalla bisettrice del primo e terzo

quadrante.

4. Determinate l’equazione della curva S simmetrica di G rispetto alla bisettrice del II e IV

quadrante.

PROBLEMA 2

Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali e monometriche (x, y), siano:

S il punto di coordinate (0,4); P un punto della retta r di equazione 2x – y – 2 = 0 ; n la retta per S

perpendicolare alla congiungente S con P; Q il punto di intersezione di n con la retta s parallela per P

all’asse y.

Trovate l’equazione cartesiana del luogo G descritto da Q al variare di P su r.

Studiate G , disegnatene il grafico e spiegate con considerazioni geometriche quanto si riscontra,

analiticamente, per x=3

Si calcoli l’area della regione di piano racchiusa tra G , il suo asintoto obliquo, l’asse y e la retta x=2

Si trovi l’equazione del luogo K simmetrico di G rispetto alla retta x=2

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QUESTIONARIO ( ) π π

= − x

f x x ? Quale ne è il segno della derivata prima e

1. Quale è il dominio della funzione π

=

x

quale quello della derivata seconda nel punto ?

2. Calcolate il rapporto tra la superficie totale di un cilindro equilatero e la superficie della sfera ad

esso circoscritta.

3. Dimostrate che ( ) 1

+ =

x e

lim 1 x

→

x 0

4. Dimostrate che la somma di qualsiasi numero reale positivo e del suo reciproco è almeno 2

5. I gradi sessagesimali, i radianti e i gradi centesimali sono le più comuni unità per la misura degli

angoli. Date di ciascuna di esse una esauriente definizione.

6. Sia APB un angolo la cui misura in radianti è data dal numero e di Nepero, base dei logaritmi

naturali. Quale è la misura in gradi sessagesimali di APB e quale quella in gradi centesimali?

Motivate la vostra risposta.

7. Calcolate la derivata della funzione −

x

( ) 1

= −

f x x

arctan arctan +

x 1

Quali conclusioni ne potete trarre per la f(x)? La funzione è una costante? Se sì, quale è la costante?

− −

= +

x

y e x 1 è invertibile e detta g la funzione inversa,

8. Verificate che la funzione:

( )

−

+

g e 1

' 1 .

calcolate

______________________________________________________________________

Durata massima della prova : 6 ore

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

E’ consentito l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile.

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PROBLEMA 1

Nel piano riferito a coordinate cartesiane, ortogonali e monometriche (x,y), studiate la curva G

di equazione: x 3

=

y ( )

− 2

x

2 1

Punto 1

Tracciatene il grafico e denotate con s il suo asintoto obliquo.

x 3

=

y

Studiamo la funzione ( )

− 2

x

2 1

⎛ ⎞

⎛ ⎞

1 1

∪ +∞

∈ − ∞ ⎜ ⎟

⎜ ⎟

Dominio: x , ;

,

⎝ ⎠

⎝ ⎠

2 2 x 3

= = ⇒ =

Intersezioni asse ascisse: y x

0 0 ;

( )

− 2

x

2 1

= ⇒ =

x y

Intersezioni asse ordinate: 0 0 ; >

x 0

>

x 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

x 3 0 1 1

∪ +∞

= > ⇒ → ⇒ ∈ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

y x

Positività: 0 0

, ,

1

( ) ( ) ∀ ≠

− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x

− >

2

x 2

x 2 2

2 1 2 1 0 2

x 3 1

=

= +∞ x

Asintoti verticali: è asintoto verticale;

lim per cui

( )

− 2

± x 2

2 1

1

→

x 2 x 3 = ±∞

Asintoti orizzontali: lim

non ve ne sono in quanto ;

( )

− 2

x

→ ±∞

x 2 1 x 3

( ) ( )

− 2

f x x 1

2 1

= = =

= + m

Asintoti obliqui: y mx q

hanno equazione con e

lim lim

x x

→ ±∞ → ±∞

x x 4

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

−

x x x x

3 2

[ ]

( ) 4 1

= − = − = =

q f x mx ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ per cui l’asintoto

lim lim lim

( ) − +

− x x

2 2

x

→ ±∞ → ±∞ → ±∞ ⎣ ⎦

x x x

⎣ ⎦

4 4

16 16 4

2 1

+

x 1

=

s y

: ;

obliquo ha equazione 4

Crescenza e decrescenza: la derivata prima della funzione è:

( ) ( ) ( )

− − − −

2

x x x x x x

2 3 2

3 2 1 4 2 1 2 3

= =

y ' per cui

( ) ( )

− −

4 3

x x

2 1 2 1

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3

>

x

( )

( ) − >

x x

− 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

x x

2 2 3 0 ( )

2 3 1 3

2

= > ⇒ → ⇒ ∈ − ∞ ∪ ∪ +∞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

y x

' 0 ,

0 0

, , per cui la

( ) ( )

− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− >

3

x 3

x 1 2 2

2 1 2 1 0 >

x 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

( ) 1 3

− ∞ ∪ ∪ +∞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

,

0 0

, e strettamente decrescente

,

funzione è strettamente crescente in ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

altrove.

Concavità e convessità: la derivata seconda è

( ) ( )

( ) ( )

− − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

3 2

x x x x x x x

2 3 2

6 6 2 1 6 2 3 2 1 6 1 1

= = > ⇒ ∈ ∪ +∞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

y x

' ' 0 0

, , per

( ) ( )

− − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 4

x x 2 2

2 1 2 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1

∪ +∞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

0

, , . Dall’analisi della derivata

cui la funzione presenta concavità verso l’alto in ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

( )

− +

x ( ) ( )

6 6 1

= = ≠

y y

' ' '

terza, , deduciamo che per cui in la funzione

' ' ' 0 6 0 0

, 0

( )

− 5

x

2 1 ⎛ ⎞ ⎞

⎛

3 9 3 27

= >

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

y

presenterà un flesso a tangente orizzontale. Inoltre ' ' 0 per cui , è un

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 16 2 32

minimo relativo.

Il grafico è di seguito presentato: +

x 1

=

s y

: .

Come ricavato precedentemente l’asintoto obliquo ha equazione 4

Punto 2

Indicate con A e B i punti in cui s incontra rispettivamente l’asse y e la curva G . Sul segmento

AB prendete un punto P in modo che, detto Q il punto di G avente la stessa ascissa di P, sia

massima l’area del triangolo APQ.

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+ ⎞

⎛

x 1

1

= ⎟

⎜

A

s y incontra l’asse delle ordinate in

L’asintoto 0

, . Per calcolare l’intersezione

: ⎠

⎝ 4

4

dell’asintoto con la curva dobbiamo risolvere l’equazione

+ ⎛ ⎞

x x

3 ( ) ( ) 1 1

1 1

= → = − + → = − + → = ⎜ ⎟

2 B

x x x x x x x

3 3 3 ,

4 4 2 1 1 4 4 3 1 .

da cui

( )

− ⎝ ⎠

2

x 4 3 3 3

2 1 + +

⎛ ⎞

x x

1 1

= ⎜ ⎟

s y P x

: per cui il punto P avrà coordinate generiche

La retta AB ha equazione ,

⎝ ⎠

4 4

⎞

⎛ x 3 1

⎟

⎜ < <

x

Q x 0 . La figura seguente evidenzia la geometria del problema.

con

mentre , ⎟

⎜ ( )

− 2

x ⎠

⎝ 3

2 1 ⎛ ⎞

1

⎜ ⎟

A

Il triangolo APQ ha base PQ ed altezza pari alla proiezione di 0

, sulla retta PQ. In particolare

⎝ ⎠

4

+ − −

1

x x x x

3 < <

1 1 3 1 3

x

0

= − = ⎯

⎯

⎯

→ =

PQ PQ

3 , mentre l’altezza misura

( ) ( ) ( )

− − − 2

2 2

x x x

4 2 1 4 2 1 4 2 1

1

< <

x

0

= − = = ⎯

⎯

⎯

→ =

h x x x x h x

3 per cui l’area del triangolo APQ vale

Q A Q

( )

⋅ −

PQ h x x

1 3

= =

S . La massimizzazione dell’area del triangolo APQ la effettuiamo mediante

( )

− 2

x

2 8 2 1 ( ) ( )

− −

x x x 1

1 3 4 1

= = < <

S S x

è per cui nell’intervallo

'

derivazione. La derivata prima di 0

( ) ( )

− −

2 3

x x 3

8 2 1 8 2 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1 1

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

0

, ,

la funzione è strettamente crescente in e strettamente decrescente in ; inoltre la

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 4 3

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( )

− ⎞

⎛

x 1

1 8 = − <

= ⎟

⎜

S S ' ' 4 0

' ' per cui

derivata seconda è per cui l’area massima la si ha per

( )

− ⎠

⎝

4

x 4

4 2 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1

1 5 1 1

1 =

=

= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

P Q S S

x , , ,

cui corrispondono e .

max

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

⎝

4 4 32

4 16 4 16

Punto 3

Determinate l’area della regione finita di piano delimitata da G e dalla bisettrice del primo e

terzo quadrante. x 3 =

= y x

y

Intersechiamo la curva di equazione ottenendo:

con la retta

( )

− 2

x

2 1 ( )

O 0

,

0

x 3 ( )( ) ( )

= ⇒ − + = − − = ⇒

x x x x x x x C

3 2

3 4 3 1 1 0 1

,

1

( )

− 2

x

2 1 ⎞

⎛ 1 1 ⎟

⎜

B , ⎠

⎝ 3 3

L’area da calcolare è raffigurata in verde nella figura sottostante:

x 3

=

y

Innanzitutto la funzione è scomponibile come

( )

− 2

x

2 1

x x

3 1 3 1

= = + + +

y .

( )

( ) ( )

−

− −

x

2 2

x x

4 4 8 2 1 8 2 1

2 1

Tale area vale

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1

1 ⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎛ ⎞

x x

3

3 3 1 3 1

∫ ∫ ⎜ ⎟

= − = = − + + + =

S x dx S x dx

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎜ ⎟

( )

( ) ( )

−

− −

x

2 2

x x

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎝ ⎠

4 4 8 2 1

⎣ ⎦

8 2 1

2 1

0 0

1 ⎡ ⎤

x

3 3 1 3 1

∫

= − − − =

dx

⎢ ⎥

( ) ( )

− −

x 2

x

⎣ ⎦

4 4 8 2 1 8 2 1

0 1

⎡ ⎤

x x

2

3 3 1 3

= − − − + =

x

⎢ ⎥

ln 2 1 ( )

−

x

⎣ ⎦

8 4 16 16 2 1 0 ( )

⎡ ⎤ −

⎡

⎛ ⎞ ⎤ ( )

1 1 3 1 3 1 1 3 9 ln 3 8

− −

= − − − = − + =

⎜ ⎟

⎢ ⎥

ln ln 3

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎝ ⎠

⎣ ⎦

24 12 16 3 16 16 6 16 48

Punto 4

Determinate l’equazione della curva S simmetrica di G rispetto alla bisettrice del II e IV

.

quadrante

La simmetrica rispetto alla bisettrice del II e IV quadrante si ottiene mediante la trasformazione

( )

= −

⎧ −

X y 3 Y

Y 3

− = ⇒ =

S X X

⎨ per cui la curva S ha equazione

seguente: : [ ] ( )

( )

= − − − +

Y x 2 2

Y Y

⎩ 2 1 2 1

x 3

=

y

Il grafico sottostante mostra in rosso il luogo G di equazione , in blu il luogo S di

( )

− 2

x

2 1

y 3

=

x ed in celeste la bisettrice del secondo e quarto quadrante di equazione

equazione ( )

+ 2

y

2 1

= −

y x : 8

6

4

2

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

-2

-4

-6

-8

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PROBLEMA 2

Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali e monometriche (x, y), siano:

( ) − − =

x y

2 2 0

; P un punto della retta r di equazione ; n la retta

S il punto di coordinate 0

, 4

per S perpendicolare alla congiungente S con P; Q il punto di intersezione di n con la retta s

parallela per P all’asse y.

Punto 1

Trovate l’equazione cartesiana del luogo G descritto da Q al variare di P su r.

Si consideri la figura seguente. ( )

− − = −

r x y n

P t t

: 2 2 0

Il punto P, dovendo appartenere alla retta ha coordinate . La retta

, 2 2

( ) 1

= + = −

y mx m n

S 4

passante per in quanto la retta è perpendicolare

ha equazione dove

0

, 4 m SP − − −

t t

2 2 4 2 6

= =

m n

alla retta SP. Il coefficiente angolare della retta SP è per cui la retta ha

SP t t

⎛ ⎞

t =

+

= ⎜ ⎟ x t

x

y

equazione . La retta s parallela per P all’asse y ha equazione per cui il punto

4

− t

⎝ ⎠

6 2 =

⎧ x t

⎞

⎛ − + ⎪

t t t

2 2 8 24 ⎟

⎜ + =

Q t ⎨ − +

Q ha coordinate . Posto allora il luogo G è

, 4 t t

⎟

⎜ 2 8 24

− − =

t t y

⎠

⎝ 6 2 6 2 ⎪ −

⎩ t

6 2

− +

x x

2 8 24

=

y .

− x

6 2

Punto 2

Studiate G , disegnatene il grafico e spiegate con considerazioni geometriche quanto si

riscontra, analiticamente, per x=3

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− +

x x

2 8 24

=

y

Studiamo la funzione − x

6 2

( ) ( )

∈ − ∞ ∪ +∞

Dominio: x ;

,

3 3

, − +

x x

2 8 24

= = → − + =

Intersezioni asse ascisse: y x x

2

non ve ne sono in quanto 0 8 24 0

− x

6 2

Δ = − <

il cui delta è ;

32 0 = ⇒ =

Intersezioni asse ordinate: x y

0 4 ; ∀ ∈

− + >

− + x R

x x

x x 2

2 8 24 0 ( )

8 24

= > ⇒ → ⇒ ∈ − ∞

Positività: y x

0 ,

3

<

− − > x

x x 3

6 2 6 2 0

− +

x x

2 8 24 = ∞ =

∓

Asintoti verticali: x 3

per cui è asintoto verticale;

lim − x

±

→ 6 2

x 3 − +

x x

2 8 24 = ∞

∓

Asintoti orizzontali: non ve ne sono in quanto ;

lim − x

→ ±∞

x 6 2 − +

x x

2 8 24

( )

f x − x 1

6 2

= + = −

= =

Asintoti obliqui: y mx q m

hanno equazione con e

lim lim

x x

→ ±∞ → ±∞

x x 2

⎡ ⎤ − +

− + ⎤

⎡

x x x x

2

[ ]

( ) 8 24 5 24 5

=

=

= − = +

q f x mx ⎢ ⎥ per cui l’asintoto

lim lim lim ⎥

⎢ −

− x x ⎦

⎣

→ ±∞ → ±∞ → ±∞

⎣ ⎦

x x x

6 2 2 6 2 2

− +

x 5

=

y

obliquo ha equazione ;

2 ( )

−

x x

6

=

Crescenza e decrescenza: y

la derivata prima della funzione è: ' per cui

( )

− 2

x

2 3

( )

( ) − > < <

x x

− x

x x 6 0 0 6 ( ) ( )