2004 - Liceo scientifico di ordinamento sessione straordinaria

Sessione straordinaria LS_ORD 2004 Soluzione di De Rosa Nicola

( )

=

S 2 h , h

 

2 h

 

=

R , h

 

3

 

Ora, vista la simmetria in gioco, l’area della regione VSR la si può calcolare come semidifferenza

( )

1

= −

tra l’area della regione VRR’ e VSS’, cioè A A A . Ora le due aree A , A le

' ' ' '

VSR VRR VSS VRR VSS

2 2

calcoliamo applicando il principio di Archimede, per cui l’area del segmento parabolico è i 3

dell’area del rettangolo circoscritto. In tal modo ( )

2

=

A 2 h 2 h

'

VRR 3  

2 2 h

 

=

A 2 h

 

'

VSS 3 3

 

per cui  

( )

1 1 2 2 h

 

= − = − =

2 2 2

A A A h h h

 

VSR VRR ' VSS '

2 2 3 3

 

3 3 3 3 ( )

   

3 1 3 1 1

− 2 2 2 2

2 2 1 2

h h

 

= − = − = −

 

2 2 2 2 2

2 2 3 1 3 3

h h  

  2

 

3 3 3

  3

3 3 ( ) ( ) 3 3 3 3

2 2

h 2 8

= − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =

3

2 2 2 2

A 3 3 3 3 h 2 2 h 2 h 2

Ora VSR 2 9

3

d) =

La distanza h 2 è ovviamente un numero razionale. 4

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PROBLEMA 2.

In un piano, riferito a un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve

di equazione:

+

1 a sin( x )

=

y cos( x )

dove a è un parametro reale. π

2

a) Dimostrare che si tratta di curve periodiche con periodo , che hanno in comune infiniti punti dei

quali si chiedono le coordinate.

b) Tra le curve assegnate determinare quelle che hanno come tangente orizzontale la retta di equazione

3

=

y .

2

c) Controllato che due curve soddisfano alla condizione precedente, dimostrare che sono l’una simmetrica

π π

− ≤ ≤

x

dell’altra rispetto all’asse y e disegnarle nell’intervallo , dopo aver spiegato, in particolare,

perché nessuna di esse presenta punti di flesso. Soluzione

a) +

1 sin( ) 1

a x

= = +

La funzione la possiamo riscrivere come tan( ) . La funzione

y y a x

cos( ) cos( )

x x

1

π π

cos( ) è periodica di 2 per cui anche la funzione sarà periodica di 2 , mentre la

x cos( )

x +

1 sin( )

a x

π =

funzione tan( ) è periodico di , per cui il periodo della funzione è il minimo

y

x cos( )

x

( )

π π π

= =

T m

.

c

.

m 2 , 2

comune multiplo tra i periodi delle funzioni componenti, per cui .

+ +

1 ' sin( ) 1 ' ' sin( )

a x a x

= =

Indichiamo con , due curve della famiglia al variare del

y y

a ' a ' '

cos( ) cos( )

x x

parametro .

a

Ora 1 1

= + = + = ⇔

' tan( ) ' ' tan( )

y a x a x y

a ' a '

cos( ) cos( )

x x

( )

= ⇔ − = ⇔

' tan( ) ' ' tan( ) ' ' ' tan( ) 0

a x a x a a x

π

= ⇔ =

tan( ) 0

x x k (

( ) ) ( )

π π

+ −

2 k 1 , 1 , 2 k ,

1

Per cui i punti in comune tra le funzioni della famiglia sono infiniti e del tipo .

b)

I punti che hanno tangente orizzontale sono i punti stazionari, cioè i punti in cui si annulla la

derivata prima perché l’annullamento della derivata prima comporta che i punti in gioco o sono dei

minimi relativi o dei massimi relativi o dei flessi a tangente orizzontale; per cui l’annullamento

della derivata prima è condizione sufficiente perché la funzione abbia tangente o tangenti

5

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orizzontali. Calcoliamo allora la derivata prima:

− + − +

cos( ) cos( ) (

1 sin( ))( sin( )) sin( )

a x x a x x a x

= =

' ( )

f x

a 2 2

cos ( ) cos ( )

x x

π π + = <

≠ + a sin( x ) 0

, a 1

Supponendo la derivata prima si annulla se e solo se . Quindi le

x k

2 = − <

sin( x ) a , a 1

ascisse dei punti in cui si annulla la derivata prima si ricavano dall’equazione in

− 2

1 a

= = ± − 2

corrispondenza dei quali le rispettive ordinate saranno y 1 a . Ora imponendo

± − 2

1 a

3 3 3 1

= − = − = = ±

⇒ ⇒

2 2

y si ha 1 1

a a a per cui le due curve della famiglia che hanno

2 2 4 2

3

=

y sono

tangente orizzontale pari a 2 1

+

1 sin( x ) +

2 sin( x )

2

= =

y 1

= cos( x ) 2 cos( x )

a 2 1

−

1 sin( x ) −

2 sin( x )

2

= =

y 1

= − cos( x ) 2 cos( x )

a 2 +

2 sin( x )

=

y

Applichiamo alla prima curva di equazione la trasformazione

1

= 2 cos( x )

a 2 = −

 x ' x

 =

 y ' y

si ha : + + − −

2 sin( x ' ) 2 sin( x ) 2 sin( x )

= = = =

'

y y

−

1 1

= = −

2 cos( x ' ) 2 cos( x ) 2 cos( x )

a a

2 2

= −

 x ' x

 , simmetriche cioè rispetto

cioè le due curve sono simmetriche rispetto alla trasformazione =

 y ' y

all’asse delle ordinate.

c) + [ ]

2 sin( x ) π π

= −

y ,

Studiamo la funzione in e poi tracciamo il grafico dell’altra funzione

1

= 2 cos( x )

a 2 6

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−

2 sin( x )

=

y ricordando la simmetria tra le due sopra evidenziata.

1

= − 2 cos( x )

a 2 π π π π

     

π π

≠ ∈ − − ∪ − ∪

⇒

Dominio: ;

2 cos( x ) 0 x , , ,

     

     

2 2 2 2 + > ∀ ∈

Intersezione asse delle ascisse: non esistono visto che sin( x ) 2 0 x R ;

= → =

Intersezione asse delle ordinate: x 0 y 1 ;

Eventuali simmetrie: la funzione non presenta simmetrie, non è né pari né dispari;

( )

π

± = −

Valori assunti agli estremi: y 1 ;

1

=

a 2 π π

+  

2 sin( x )

= > ⇔ > ∈ −

⇒

Positività: y 0 cos( x ) 0 x , ;

 

1  

= 2 cos( x ) 2 2

a 2

Asintoti verticali:

+ +

2 sin( x ) 3 2 sin( x ) 3

= = +∞

= = −∞

lim , lim

− +

+ −

π π

2 cos( x ) 2 cos( x )

0 0

→ →

x x

2 2

+ +

2 sin( x ) 1 2 sin( x ) 1

= = +∞ = = −∞

lim , lim

+ −

+ −

π π

2 cos( x ) 2 cos( x )

0 0

→ − → −

x x

2 2

π

= ±

Quindi le rette x sono due asintoti verticali;

2

Asintoti orizzontali ed obliqui: non ce ne sono;

Crescenza e decrescenza:

La derivata prima è: π π π

+    

2 sin( x ) 1 5 π

= > ⇔ + > ≠ ∈ − − ∪ − −

⇒

y ' 0 2 sin( x ) 1 0

, cos( x ) 0 x , ,

   

1 2    

= 6 2 2 6

2 cos ( x )

a 2 + +

2

sin ( x ) sin( x ) 1

=

La derivata seconda è: y ' ' . Tale derivata non si annulla mai per cui la

1 3

= cos ( x )

a 2 +

2 sin( x )

=

y

funzione non ha flessi. Inoltre

1

= 2 cos( x )

a 2

π π

+ + + +

   

   

2 2

sin ( x ) sin( x ) 1 5 sin ( x ) sin( x ) 1

− = > − = <

   

y ' ' 0

, y ' ' 0 per

   

1 1

3 3

   

= =

   

6 6

cos ( x ) cos ( x )

π π

a a 5

= − = −

2 2

x x

6 6

π π

   

3 5 3

   

− − −

cui il punto è un minimo relativo mentre è di massimo relativo.

, ,

   

6 2 6 2

   

Il grafico è sotto presentato: 7

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−

2 sin( x )

=

y

Il grafico di ricordando la simmetria è:

1

= − 2 cos( x )

a 2

Mettiamo su uno stesso sistema di riferimento i due grafici ed otteniamo: 8

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QUESTIONARIO

1) Calcolare l’ampiezza dell’angolo diedro formato da due facce consecutive di un ottaedro regolare, espressa

in gradi sessagesimali e approssimata al secondo.

2) Dimostrare che, se due piani sono perpendicolari, ogni retta perpendicolare a uno di essi è parallela all’altro

o è contenuta in esso.

Si può concludere che ogni retta parallela a uno dei due piani è perpendicolare all’altro? Fornire un’esauriente

spiegazione della risposta. = − +

3) f ( x ) ln(

1 2 x x ) .

Determinare il dominio della funzione

+ ∞

x

4) Il limite di per tendente a :

tgx

+ ∞

A) è ;

π ;

B) è 2

C) non esiste;

D) esiste ma non si riesce a calcolare

Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata.

5) Dimostrare il seguente teorema: «Condizione sufficiente ma non necessaria affinché la funzione reale di

f (x )

variabile reale sia continua nel punto a è che sia derivabile in a».

6) Utilizzando il calcolo integrale, dimostrare la formula che fornisce il volume di una sfera di raggio assegnato.

1 1

7) S

Indicata con la somma di n termini in progressione geometrica, di primo termine e ragione , calcolare

n 2 2

S n

lim .

→ ∞ n

n + + + +

2 2 2 2

K

8) 1 2 3 100 .

Calcolare il valore della seguente somma:

9) In una classe di 25 alunni bisogna estrarre a sorte una rappresentanza di 3 elementi. Calcolare quante

sono le possibili terne di rappresentanti.

10) Alla finale dei 200 m piani partecipano 8 atleti, fra i quali figurano i nostri amici Antonio e Pietro. Calcolare

il numero dei possibili ordini di arrivo che registrino i nostri due amici fra i primi tre classificati. 10

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Soluzione

1)

Si consideri l’ottaedro sotto rappresentato. Esso è costituito da un quadrato di base di lato l e da

facce che sono triangoli equilateri. Sia AO la retta perpendicolare condotta da A al quadrato di base

BEDC. l

=

Per costruzione e simmetria OH , mentre AH, essendo l’altezza del triangolo equilatero AEC di

2

l 3

=

lato l sarà AH . Ora il triangolo AOH è rettangolo per cui

2

( ) ( ) OH 1 1

α α α α

= = = = − = −

⇒ 2

OH AH cos cos da cui, essendo cos( 2 ) 2 cos ( ) 1 si ha

AH 3

3

 

1

α = − ≅ °

  .

2 arccos 109 28

' 16 ' '

 

3

2)

La figura seguente rappresenta la questione geometrica del quesito: 11

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α β β

L’intersezione tra i due piani , è la retta r. Prendiamo un punto P appartenente a e da esso

α β

. La retta s apparterrà ovviamente al piano perché in

conduciamo la retta s perpendicolare ad

caso contrario conducendo da P la perpendicolare alla retta r essa sarebbe perpendicolare pure al

α

piano , per cui da uno stesso punto P sarebbe possibile condurre due perpendicolari allo stesso

β

piano, cosa questa assurda. Per cui s non può non appartenere al piano .

β

Analogamente condotta da un punto R non appartenente al piano una retta t perpendicolare al

α , tale retta t sarà parallela alla retta s dal momento che entrambe perpendicolare ad uno

piano β

stesso piano; in tal caso allora la retta t sarà parallela al piano . Quindi è stato provato che ,se due

piani sono perpendicolari, ogni retta perpendicolare a uno di essi è parallela all’altro o è contenuta

in esso.

Se, invece prendiamo una retta parallela ad uno dei due piani, non è detto che essa sia

perpendicolare all’altro: infatti la retta k, passante per R e parallela alla retta r risulta essere

parallela ad entrambi i piani.

3) ≥

 x 0

= − + 

Il dominio della funzione f ( x ) ln(

1 2 x x ) è .

− + >



1 2 x x 0

− + > ⇔ > −

Risolviamo la disequazione irrazionale 1 2 x x 0 x 2 x 1 . Le soluzioni di tale

disequazione sono l’unione delle soluzioni dei due sistemi seguenti:

− ≥

− < 

 2 x 1 0

2 x 1 0 ∪

  ( )

≥ > − 2

 x 0  x 2 x 1

Risolvendoli si ha: 12

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− <

 2 x 1 0 1

⇔ ≤ <

 0 x

≥

 x 0 2

mentre  1

≥

 1 x

− ≥ 

≥

 2 1 0

x  

x 1

2 ⇔ ≤ <

⇔ ⇔

   1

x

2

( )

> − 2 1 2

 x 2 x 1   < <

− + <

2 1

x

 4 5 1 0

x x 

 4

1 1

− + > ⇔ ≤ < ∪ ≤ < ⇔ ≤ <

1 2 x x 0 0 x x x .

Quindi 1 0 1

2 2

Per cui il dominio sarà: ≥

 x 0 ⇔ ≤ <

 0 x 1

≤ <



0 x 1

4)

Per calcolare il limite suddetto basta ricordare la teoria delle successioni. Infatti se per ogni

= +∞ = =

successione x tale che lim x si ha lim f ( x ) l allora si deduce che lim f ( x ) l .

n n n

→ +∞ → +∞ → +∞

n n x π

 

α π α π α

= + = − + ∈  

Prendiamo a tal proposito due successioni x n , x n con si ha

0

,

1

, n 2 , n  

2

( ) ( )

α π α α π α α

= +∞ + = − + = − = −

ovviamente lim x , ma lim tan n tan( ), lim tan n tan( ) tan( )

(

1

, 2 ) n

→ +∞ → +∞ → +∞

n n n

per cui essendo i due limiti differenti si deduce la non esistenza del limite richiesto, per cui la

risposta corretta è la C.

5) + −

f ( a h ) f ( a )

= =

x a

Una finzione è derivabile in se esiste finito il limite lim f ' ( a ) . Ora si

→ h

h 0

+ −

f ( a h ) f ( a )

+ = + h ; passando al limite si ha:

consideri la seguente identità f ( a h ) f ( a ) *

h

+ −

 

f ( a h ) f ( a )

+ = + =

lim ( ) lim ( ) * h

f a h f a

 

 

→ → h

h 0 h 0 + −

 

f ( a h ) f ( a )

= + == + =

f ( a ) lim lim h f ( a ) f ' ( a ) * 0 f ( a )

 

 

→ →

h

h 0 h 0

+ = + =