2004 - liceo scientifico - scuole italiane in America

Sessione Ordinaria in America 2004 Soluzioni di Nicola De Rosa

QUESTIONARIO

1. La coppia (1, 2) è la soluzione di un sistema lineare di due equazioni in due incognite. Quale può

essere il sistema? 3

( ) x 9

α α

= − ≥

α

2. Sia f x x

tale che la funzione risulti crescente. Provare che

+ 2 8

1 x ( )

π sin x

= π π

3. Mostrare che le tangenti alla curva y in x = e x = - si intersecano ad angolo retto.

x

4. Nei saldi di fine stagione, un negozio ha diminuito del 30% il prezzo di listino di tutti gli articoli.

Se il prezzo scontato di un abito è di 275 euro quale era il suo prezzo di listino?

5. Calcolare: π ( )

∫ x

e cos x dx

0 ( )

x =

6. Si dica quante sono le soluzioni reali dell’equazione sin x e si indichi per ciascuna di esse

10

un intervallo numerico che la comprende.

− + = − + =

2

2

α β α β

7. Se tg e tg sono radici di x px q 0 e ctg e ctg sono radici di x rx s 0 , quanto

vale il prodotto rs espresso in funzione di p e q?

8. Un professore interroga i suoi alunni a due per volta. Stabilire quante possibili coppie diverse può

interrogare, sapendo che la classe è di 20 studenti.

___________________________

Durata massima della prova: 6 ore.

È consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.

Non è ammesso lasciare l’aula degli esami prima che siano trascorse tre ore dalla dettatura del tema.

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PROBLEMA 1

Tra i coni circolari retti inscritti in una sfera di raggio 10 cm, si determini:

Punto 1

Il cono C di volume massimo e il valore, espresso in litri, di tale volume massimo.

Consideriamo la figura sottostante rappresentante la sezione di un cono inscritto in una sfera:

= −

= < < HD 20 x

Poniamo VH x , con 0 x 20 . Con queste assunzioni e poiché il triangolo VDB è

rettangolo in quanto inscritto in una semicirconferenza, per il teorema di Euclide

( ) π [ ]

( ) ( ) ( )

1 2

2 π

= ⋅ = ⋅ − = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −

2

HB VH HD x x V x HB VH x 20 x con

20 . Il volume del cono è 3 3

< <

0 x 20 . La massimizzazione del volume la effettuiamo attraverso le derivate:

π [ ]

( ) = ⋅ − 2

V ' x 40 x 3 x

3

π [ ]

( ) = ⋅ −

V ' ' x 40 6 x

3

Si ha: π [ ]  

( ) ( )

40 40

= ⋅ − > < <

⇒ ⇒

2  

V ' x 40 x 3 x 0 0 x V x strettamen

te crescente in 0

,

 

3 3 3

π [ ]  

( ) ( )

40 40

= ⋅ − < < <

⇒ ⇒

2  

V x x x x V x

' 40 3 0 20 strettamen

te decrescent

e in , 20

 

3 3 3

π π

[ ]

( ) 40 40

= ⋅ − = − < =

Inoltre V ' ' x 40 6 x 0 , per cui il volume è massimo per x e vale

40

=

x

3 3 3

3

 

π π [ ] [ ] [ ]

2

      [ ]

40 40 40 32000

= ⋅ ⋅ − = = =

3

      3 -3 3 -3

 

V 20 cm . Ma 1 cm 10 dm 10 litri per cui il

     

 

3 3 3 3 81

  π

  [ ] [ ]

40 32

= ≅

 

volume massimo il litri è V litri 1 . 241 litri

 

3 81

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Punto 2

Il valore approssimato, in gradi sessagesimali, dell’angolo del settore circolare che risulta

dallo sviluppo piano della superficie laterale di C;

Lo sviluppo piano della superficie laterale del cono determina il settore circolare di raggio pari

800 1600 20 6

2 2

= + = + =

VB HB VH

all’apotema del cono rappresentato in figura.

9 9 3

La lunghezza dell’arco è pari alla misura della circonferenza della base del cono

AB 40 2 π π

40 2 2

3

α α

π π = = ≅

⋅ =

2 HB , pertanto la misura in radianti dell’angolo è 3 . 627 rad e

3 20 6 3

3

( )

2

α ° = ⋅ ° ≅ ° = °

in gradi sessagesimali è 180 207 . 84 207 50 '

24 ' ' .

3

Punto 3

Il raggio della sfera inscritta nel cono C e la percentuale del volume del cono che essa occupa.

Riferendosi sempre alla figura del triangolo inscritto nella circonferenza, il raggio della

2 S

= VAB

r

circonferenza inscritta nel triangolo VAB è dato da cioè dal rapporto tra il doppio

2 p

VAB

dell’area di VAB ed il suo perimetro. Il perimetro di VAB è

( ) ⋅

40 6 40 2 40 VH AB 800 2

= + = + = + = =

2 p 2

VB AB 6 2 mentre l’area è S per

VAB VAB

3 3 3 2 9

1600 2 ( ) π

− [ ]

2 S 40 20 3 1 32

9

= = = = =

( )

VAB

r . Il volume del cono è

cui V litri

( ) Cono

+

40

2 p 3 81

3 3 1

+

6 2

VAB 3

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( )

3

π π

−

3 [ ]

4 r 32 3 1

= =

mentre quello della sfera è V litri per cui la percentuale del volume del

Sfera 3 81

( )

3 π

−

32 3 1 ( ) ( )

V 3

81

= = = − = − ≅

Sfera

cono che essa occupa è p 3 1 6 3 10 39 . 2 %

π

% 32

V

Cono 81

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PROBLEMA 2

Sia f la funzione definita da: +

( ) ( )

x a

=

f x 1

+ +

2

bx cx 2

Punto 1

Si determinino i valori dei parametri che figurano nell’equazione (1) disponendo delle

seguenti informazioni:

a) i valori di a, b, c sono 0 o 1;

( )

− 1

,

0

b) il grafico G di f passa per ;

c) la retta y=1 è un asintoto di f.

+

( ) x a

=

f x è una funzione razionale fratta, per cui essa presenta un asintoto

La funzione + +

2

bx cx 2

orizzontale qualora il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore ed in tal caso la retta

asintoto orizzontale è la retta parallela all’asse delle ascisse pari al rapporto tra i coefficienti di

grado massimo del numeratore e denominatore della funzione stessa. Nel caso di

=

+ 

b 0

( ) x a

= = 

f x la retta y 1 è asintoto orizzontale se e solo se ; inoltre il passaggio di

=

+ +

2 

c 1

bx cx 2

+ ( )

( ) x a −

= =

1

,

0

f x per comporta a 1 . In conclusione la funzione che soddisfa i requisiti è

+ +

2

bx cx 2

+

( ) x 1

=

f x .

+

x 2

Punto 2

Si disegni G. +

( ) x 1

= = −

La funzione f x è la nota funzione omografica di asintoto verticale x 2 ed asintoto

+

x 2  

( ) 1

−

=  

1

,

0 , è

orizzontale y 1 ; essa interseca l’asse delle ascisse in e quello delle ordinate in 0

,

 

2

( ) ( )

− ∞ − ∪ − +∞

, 2 1

,

positiva in ed è sempre crescente non presentando estremi relativi ne flessi. Il

grafico è di seguito presentato:

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Punto 3

Si calcoli l’area della regione finita di piano del primo quadrante degli assi cartesiani

compresa tra l’asintoto orizzontale, il grafico G e le rette x = 0 , x = 2

L’area da calcolare è raffigurata in verde nella figura sottostante:

L’area vale: + [ ]

2 2

    ( ) ( )

x 1 1

∫ ∫

= − = = + = − = − =

2

   

S 1 dx dx ln x 2 ln 4 ln 2 2 ln 2 ln 2 ln 2

+ +

    0

x 2 x 2

0 0

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QUESTIONARIO

Quesito 1

La coppia (1, 2) è la soluzione di un sistema lineare di due equazioni in due incognite. Quale

può essere il sistema?

Una delle possibili coppie di equazioni che, messe a sistema, danno come soluzione la coppia

+ =

 x y 3

( ) ( )

≡ 

x , y 1

, 2 possono essere .

− = −

 x y 1

Quesito 2 3

( ) x 9

α α

= − ≥

f x x

Sia tale che la funzione risulti crescente. Provare che

α + 2 8

1 x 3

( ) x

α

= −

f x x

La derivata prima della funzione è

+ 2

x

1

( ) ( )

( )

+ − +

2 2 3 2 2 3

( ) ( )

3 x 1 x x 2 x x x 3 x

α α α

= − = − = −

f ' x . f x x

Affinché la funzione sia

( ) ( ) +

2 2 2

+ + x

1

2 2

1 x 1 x ( )

+

2 2

( ) x x 3

α

≥ − ≥

f ' x 0 0

crescente si deve imporre e cioè : bisogna quindi trovare la condizione

( )

2

+ 2

1 x

( ) ( )

+ +

2 2 2 2

x x 3 x x 3

α α α

− ≥ ∀ ∈ − ≥

0 x R 0

su che soddisfa la disequazione . La disequazione ,

( ) ( )

2 2

+ +

2 2

1 x 1 x

( )

2

+ ≥ ∀ ∈

2

x x R

1 0 , equivale

poiché

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

α α α α

2

+ − + ≥ ⇔ − + − + ≥

2 2 2 4 2

x x x x x

1 3 0 1 2 3 0 . Si tratta di una disequazione

= 2

biquadratica risolvibile ponendo : in tal modo la disequazione diventa di secondo grado

z x

( ) ( )

α α α

− + − + ≥

2 1 2 3 0 . Essa è sempre verificata se il delta è non positivo (negativo o uguale a

z z

zero) e il coefficiente di grado massimo è strettamente positivo, quindi se

( ) ( ) α − ≥

α α α α

 ∆ = − − − = − ≤ 

2 8 9 0

2 3 4 1 9 8 0 9

α ≥

→

  da cui si ricava come volevasi

( ) α >

α − >  1 8

 1 0

dimostrare.

Quesito 3 ( )

π sin x

=

Mostrare che le tangenti alla curva in x = e x = - si intersecano ad angolo

y π π

x

retto.

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( )

π

( ) ( ) sin x

π π

± = ± =

,

0 y m x

Le rette tangenti in hanno equazione . La derivata prima di y è

± x

( )

[ ]

( ) ( ) π

= = −

π −  m y ' 1

x cos x sin x +

= 

y ' per cui ; il prodotto tra i coefficienti angolari delle

( )

π

= − =

2 m y ' 1



x −

⋅ = −

m m 1

tangenti è , ergo le tangenti sono perpendicolari.

+ −

Quesito 4

Nei saldi di fine stagione, un negozio ha diminuito del 30% il prezzo di listino di tutti gli

articoli. Se il prezzo scontato di un abito è di 275 euro quale era il suo prezzo di listino?

− =

Il prezzo di listino si ricava dall’equazione p 0 . 3 p 275 da cui

p

275 2750

= = ≅

p 392 . 86 euro .

0 . 7 7

Quesito 5

Calcolare: π ( )

∫ x

e cos x dx

0

Si calcola innanzitutto l’integrale indefinito integrando due volte per parti:

( ) ( ) ( )

∫ ∫

= + =

x x x

e cos x dx e cos x e sin x dx

( ) ( ) ( )

∫

= + − ⇒

x x x

e cos x e sin x e cos x dx x [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

e

∫ ∫

= + = + +

⇒

x x x x

2 e cos x dx e cos x e sin x e cos x dx cos x sin x k

2

π

π π π +

   

x [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

e e 1 e 1

∫ = + = ⋅ − − ⋅ = −

 

x

e cos x dx cos x sin x 1 1

Quindi    

2 2 2 2

   

0 0

Quesito 6 ( )

x =

Si dica quante sono le soluzioni reali dell’equazione e si indichi per ciascuna di

sin x

10

esse un intervallo numerico che la comprende. ( )

x =

Osserviamo innanzitutto che l’equazione sin x :

10

=

1. presenta come soluzione banale x 0 ;

− ≤ ≤

2. ha soluzioni reali se e solo se 10 x 10 in quanto la funzione seno è una funzione

[ ]

− 1

,

1

limitata in ; x

3. presenta, qualora ve ne fossero, soluzioni simmetriche, in quanto se è soluzione anche

( ) ( ) ( )

( ) − x = − = −

− x x

x lo è in quanto sin sin

10

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( )

x =

Dalle considerazioni di cui sopra deduciamo che lo studio degli zeri di sin x può essere

10

] [

( )

−

0

,

10 10

,

0

, dal momento che le soluzioni in si ricavano da quelle

effettuato nell’intervallo

]

(

0

,

10

trovate in cambiandole di segno. ]

(

( )

x = 0

,

10

Lo studio delle soluzioni dell’equazione sin x in equivale allo studio degli zeri della

10

]

(

( ) ( )

x x

= − = −

0

,

10

funzione y sin x in . Vediamo innanzitutto dove la funzione y sin x è

10 10

( ) 1

= −

y ' cos x per cui

crescente . La derivata prima è 10 

  

( ) 1 1 1

π π π π π π

> → > < < + ∨ − + < < +

⇒    

y ' 0 cos x 2 k x arccos 2 k 2 arccos 2 k x 2 2 k

   

10 10 10

   

( ) 1 1 1

π π π

< → < + < < − +

⇒    

y ' 0 cos x arccos 2 k x 2 arccos 2 k

   

10 10 10

   

( ) 1 1 1

π π π

= → = = + ∨ = − +

⇒    

y ' 0 cos x x arccos 2 k x 2 arccos 2 k

   

10 10 10

]

(

0

,

10 si deduce che:

Nell’intervallo      

( ) 1 1 1 1

π π π π

> → > < < ∨ − < < ∨ < < +

⇒      

y x x x x

' 0 cos 0 arccos 2 arccos 2 2 2 arccos

     

10 10 10 10

     

1 1 1

π π

< → < < − ∨ + < ≤

     

y ' 0 arccos x 2 arccos 2 arccos x 10

     

10 10 10

     

1 1 1

π π

= → = ∨ = − ∨ = +

     

y ' 0 x arccos x 2 arccos x 2 arccos

     

10 10 10

   

1 1

π

= = +

   

In particolare e sono ascisse di massimo relativo mentre

x arccos x 2 arccos

   

10 10

 

1

π

= −   è ascissa di minimo relativo.

x 2 arccos  

10

π π

  ( ) x

3 = −

Ora in la funzione y sin x è strettamente decrescente e

,

  10

2 2

π π π π

   

3 3

= − > = − − <

    per cui per il primo teorema degli zeri esiste uno zero

y 1 0

, y 1 0

   

2 20 2 20

π π π π

   

( ) ( )

x x

3 3 5

= − = −

 

della funzione y sin x in ; analogamente in la funzione y sin x

,

,  

 

 

10 10

2 2 2 2

π π π π