2005 - Liceo scientifico di ordinamento sessione straordinaria

Sessione straordinaria LS_ORD 2005 Soluzione di De Rosa Nicola

2

  ( )

9 25

− + − = ⇒

2

 

x y 2

 

2 4

 

81 25

+ − − + + − = ⇒

2 2  

9 4 4 0

x y x y  

4 4

+ − − + =

2 2

x y 9 x 4 y 18 0

come già precedentemente trovato.

Il tutto è sotto rappresentato: 5

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PROBLEMA 2.

Nel piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di

equazione: = + + +

4 3 2

[1] .

y x ax bx c

a) Dimostrare che, nel punto in cui secano l’asse y, hanno tangente parallela all’asse x.

b) Trovare quale relazione deve sussistere fra i coefficienti a, b affinché la curva [1] volga la

concavità verso le y positive in tutto il suo dominio.

c) Determinare i coefficienti a, b, c in modo che la corrispondente curva [1] abbia, nel punto in cui

seca l’asse y, un flesso e la relativa tangente inflessionale la sechi ulteriormente nel punto di

coordinate (2,2).

d) Indicata con K la curva trovata, stabilire com’è situata rispetto all’asse x, fornendo una

esauriente spiegazione della risposta.

e) Dopo aver verificato che la curva K presenta un secondo flesso, calcolare l’area della regione

finita di piano delimitata da K e dalle due tangenti inflessionali.

Soluzione

a) = + + +

4 3 2

Per dimostrare che la curva di equazione presenta una tangente orizzontale,

y x ax bx c

, basta calcolare la sua derivata e vedere se si annulla in

cioè parallela all’asse delle ascisse, in ( 0

, )

c

= 0 , perché questo significherà ( 0

, ) sarà o un massimo o un minimo o un flesso, cioè in ( 0

, )

x c c

la curva presenterà una tangente orizzontale. = + + +

4 3 2

La derivata prima della funzione è

y x ax bx c

( )

= + + = + +

3 2 2

' 4 3 2 4 3 2 per cui essa si annulla nei punti

y x ax bx x x ax b

− ± −

2

3

a 9 a 32

b

= =

x 0

, x , cioè essa sia annulla anche nel punto ( 0

, ) , che è l’unico punto in

c

8

cui essa interseca l’asse delle ordinate.

b)

Quando si parla di concavità e convessità bisogna sempre far riferimento alla derivata seconda. Nel

= + + +

4 3 2

nostro caso la derivata seconda della funzione della funzione è

y x ax bx c

( )

= + + = + +

2 2

' ' 12 6 2 2 6 3 . Ora la funzione presenterà concavità verso l’alto se e solo

y x ax b x ax b

se la derivata seconda risulta sempre negativa. Cioè il discriminante dell’equazione

( ) ( ) ( )

+ + = ∆ = − = − < ⇔ − <

2 2 2 2

6 3 0 deve essere negativo, cioè 9 24 3 3 8 0 3 8 0 .

x ax b a b a b a b

( ) ( )

∆ = − = − > ⇔ − >

2 2 2

Infatti se 9 24 3 3 8 0 3 8 0 la funzione avrebbe concavità verso il

a b a b a b

basso in tutto il suo dominio e non verso l’alto; mentre se

( ) ( )

∆ = − = − = ⇔ − =

2 2 2

9 24 3 3 8 0 3 8 0 , la derivata prima sarebbe pari

a b a b a b 6

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2

3 a

=

b  

2

3

a

8

= + + = + + =

 

3 2 2

a , essa si annullerebbe solo in 0 , poiché

' 4 3 2 4 3

y x ax bx x x ax x

 

4

 

2

3

a

+ + > ∀ ∈ > <

2 0 , sarebbe positiva per 0 e negativa per 0 , in altre parole la

4 3

x ax x R x x

4 =

curva presenta un minimo in 0 , e non possiede né massimi né flessi (essendo il discriminante

x

dell’equazione derivante dalla derivata seconda nullo). Quindi anche quando

( ) ( )

∆ = − = − = ⇔ − =

2 2 2

9 24 3 3 8 0 3 8 0 la curva possiede concavità verso l’alto in tutto il

a b a b a b

suo dominio. In conclusione la curva presenta concavità verso l’alto in tutto il suo dominio R se e

( )

− ≤

2

solo se 3 8 0 .

a b

c)

Esistono tre tipi di flessi: a tangente obliqua, a tangente orizzontale ed a tangente verticale.

Tralasciando quelli a tangente verticale, che si hanno in presenza di punti di non derivabilità e che

non esistono nel caso in oggetto visto che la funzione è un polinomio di quarto grado sempre

continuo e derivabile, i flessi a tangente obliqua presentano una tangente inflessionale obliqua e li si

hanno nelle ascisse di punti che annullano la derivata seconda e non la prima; quelli a tangente

orizzontale hanno tangente inflessionale orizzontale e si hanno in presenza di ascisse di punti in cui

si annullano le derivate di ordine pari (seconda, quarta etc) e non quelle di ordine dispari (prima,

la curva presenta una tangente orizzontale per

terza etc). Nel nostro caso sappiamo che in ( 0

, )

c

a)

quanto dimostrato nel punto , per cui affinché ( 0

, ) sia di flesso a tangente orizzontale e non un

c = e questo è vero se

estremo relativo, la derivata seconda deve annullarsi in 0

x

[ ]

= + + = =

⇒

2

' ' 12 6 2 0 0 , e non deve annullarsi la derivata terza, come effettivamente

y x ax b b

= 0

x ( )

= + = ≠ =

accade visto che ' ' ' 24 6 6 0 ; quindi se 0 , ( 0

, ) è un flesso a tangente

y x a a b c

= 0

x =

orizzontale. Ora la tangente inflessionale orizzontale di equazione seca la curva in ( 2

, 2 ) se e

y c

= = + + +

4 3 2

solo se 2 ; inoltre imponendo il passaggio della curva per ( 2

, 2 ) si ha

c y x ax bx c

+ + + =

l’ulteriore condizione 16 8 4 2 . Si deve risolvere quindi il sistema:

a b c

= = −

 

b 0 a 2

 

= =

⇒

 

c 2 b 0

 

+ + + = =

16 8

a 4

b c 2 c 2

 

= − +

4 3 .

La curva è quindi 2 2

y x x 7

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d) = − + <

4 3

La curva di equazione 2 2 per 0 è ovviamente positiva perché somma di tre

y x x x

< <

termini tutti positivi per 0 , per cui per 0 il suo grafico è al di sopra dell’asse delle ascisse.

x x

( )

− + = +∞

≥ 4 3

lim x 2 x 2

Vediamo per 0 . Innanzitutto ; inoltre la derivata prima risulta essere

x → ±∞

x    

( ) 3 3

= − = − +∞

3 2 2   

' 4 6 2 2 3 , per cui in la funzione è decrescente mentre in è

y x x x x 0

, ,



   

2 2

( )

 

3 3

=

= − = >

2

 

crescente. Inoltre per cui in la funzione presenterà un

x

' ' 12 12 9 0

y x x 3

=

x

  2

2 2 15

= >

y 0 allora si

minimo assoluto e poiché l’ordinata corrispondente al minimo assoluto è 3

= 16

x 2

≥

deduce che anche per 0 la funzione sarà posizionata al di sopra dell’asse delle ascisse. Quindi la

x

= − +

4 3

funzione 2 2 è sempre positiva.

y x x

e) = − +

4 3

La curva di equazione 2 2 ha come dominio tutto l’asse dei reali, non interseca mai

y x x

l’asse delle ascisse, interseca quello delle ordinate in (0,2), è sempre positiva, non presenta alcun

 

3 15

  e presenta due flessi: il primo a tangente orizzontale in

asintoto, ha minimo assoluto in ,

 

2 16

(0,2) ed il secondo nell’altro punto in cui si annulla la derivata seconda

( )

= − = − =

2

' ' 12 12 12 ( 1

) cioè in 1 , per cui l’ulteriore flesso è in (

1

,

1

) con tangente

y x x x x x

= − + = = − = − +

⇒

inflessionale obliqua pari a ( 1

) 1

, ' (

1

) 2 2 3 . Il grafico è sotto

y m x m y y x

presentato: 8

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Si consideri la figura sottostante per il calcolo dell’area richiesta:

= + +

L’area richiesta è .

S S S S

1 2 3

Calcoliamo i punti A e D. 9

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= − +

  

2 3

y x 1

=

⇒  



: , 2

D D

=  

 2

y 2

= − +

 y 2 x 3 ⇒



A : = − +

4 3

 y x 2 x 2

− + = − + − + − =

⇒ ⇒

4 3 4 3

x 2 x 2 2 x 3 x 2 x 2 x 3 0

( )( )

+ − = = ± = −

⇒ ⇒

3

x 1 x 1 0 x 1 A ( 1

,

5

)

1 1

= = =

S CD ed altezza 1

è l’area del triangolo BCD di base BC per cui S .

L’area 1 1

2 4

= − +

S

L’area è l’area delimitata dalla tangente inflessionale di equazione y 2 x 3 e dalla curva

2

nell’intervallo [-1,0]: [ ] [ ]

0 0

∫ ∫

= − + − + − = − + − + =

4 3 4 3

S 2 x 3 x 2 x 2 dx x 2 x 2 x 1 dx

2 − −

1 1

0

 

5 4 1 1 7 13

x x

= − + − + = − − + + = − =

2 1 1 2

x x

 

5 2 5 2 10 10

  −

1

L’area S è l’area delimitata dalla tangente inflessionale orizzontale e dalla curva nell’intervallo

3

[0,2]: [ ] [ ]

2 2

∫ ∫

= − + − = − + =

4 3 4 3

S 2 x 2 x 2 dx x 2 x dx

3 0 0

2

 

5 4

x x 32 8

= − + = − + =

8

 

 

5 2 5 5

0

Per cui in conclusione 1 13 8 63

= + + = + + =

S S S S

1 2 3 4 10 5 20 10

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QUESTIONARIO.

1. Si considerino un tronco di piramide quadrangolare regolare, la cui base maggiore abbia

area quadrupla della minore, e un piano a equidistante dalle basi del tronco. Dire se i dati

sono sufficienti per calcolare il rapporto fra i volumi dei due tronchi in cui il tronco dato è

α

diviso dal piano .

2. Sia ABC un qualsiasi triangolo. Sui suoi lati ed esternamente ad esso si costruiscano i tre

quadrati ABDE, BLFG e CAHL. Dimostrare, col metodo preferito, che i triangoli AHE,

BDG e CFL sono equivalenti al triangolo ABC.

3. Luca e Claudia devono calcolare il valore di una certa espressione contenente logaritmi.

+ +

log 27 log 12 2 log 81

Trovano come risultati rispettivamente: , .

2 2 2

Ammesso che il risultato ottenuto da Luca sia esatto, si può concludere che quello ottenuto

da Claudia è sbagliato? Fornire una risposta esaurientemente motivata.

= + +

2 2

4. Dimostrare che ogni funzione del tipo y a sin ( x ) b sin( x ) cos( x ) c cos ( x ) , dove a, b,

c sono numeri reali non contemporaneamente nulli, ha di regola per grafico una sinusoide.

C’è qualche eccezione? n

∑ k

5. Determinare il più grande valore dell’intero n per cui l’espressione non supera 10000.

3

=

k 0

6. Dimostrare che il limite di cos x, per x tendente a 0, è 1, esplicitando ciò che si ammette.

= −

2

7. Determinare il dominio di derivabilità della funzione f ( x ) x 1 .

2

∫ =

8. f ( x ) dx 4

Sia f(x) una funzione continua per ogni x reale tale che . Dei seguenti integrali:

0

1 1  

x

∫ ∫  

f ( 2 x ) dx f dx

e 2

0 0

se ne può calcolare uno solo in base alle informazioni fornite. Dire quale e spiegarne la

ragione.

9. Dimostrare la seguente formula: ,

dove n, k sono numeri naturali tali che 0<k<n.

Essa spiega una delle regole sulle quali è basata la costruzione del "triangolo di Tartaglia"

Tartaglia

(da Niccolò Fontana, detto , 1505 ca. – 1557): enunciarla.

10. Calcolare quante sono le possibili "cinquine" che si possono estrarre da un’urna contenente i

numeri naturali da 1 a 90, ognuna delle quali comprenda però i tre numeri 1, 2 e 3. 11

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Soluzione

1)

Si consideri la figura sottostante che rappresenta la geometria del problema:

α

= = =

Sia VK ' h ' , K ' K ' ' h , K ' ' K h dal momento che il piano rende equidistante per ipotesi due

basi della piramide VABCD e VA’B’C’D’. Ora poiché l’area di base S della piramide VABCD è

quadrupla dell’area di base S ' della piramide VA’B’C’D’, e poiché le aree di base stanno come i

2

+ +

 

h ' 2 h h ' 2 h

= = =

⇒ ⇒

 

quadrati delle altezze, allora 4 2 h ' 2 h . Se si applicano le stesse

 

h ' h '

considerazioni alle piramidi VA’’B’’C’’D’’ e VABCD si avrà la seguente proporzione:

9 9 9

= = = = =

⇒

2 2

S : ( 4 h ) S ' ' : (

3

h ) S ' ' S e sapendo che S 4S ' si ha S ' ' S S ' .

16 16 4

V

Ora il volume del tronco di piramide inferiore è

1

( )    

  ( )

h h 9 9 hS ' 9 37 hS '

 

= + + = + + = + + =

   

V S S ' ' SS ' ' 4 S ' S ' S ' 4 S ' 4 3 , mentre il volume

 

1    

3 3 4 4 3 4 12

 

V del tronco di piramide superiore è

2 ( )    

  V 37

h h 9 9 hS ' 9 3 19 hS '

  =

= + + = + + = + + =

    1

V S ' S ' ' S ' S ' ' S ' S ' S ' S ' 1 , per cui . Per

 

2     V 19

3 3 4 4 3 4 2 12

  2

cui i dati sono sufficienti per il calcolo del rapporto richiesto. 12

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2)

Si consideri la figura seguente:

Gli angoli seguenti hanno l’ampiezza sotto specificata: γ γ

= ° − ° − ° − = −

ˆ 360 90 90 180

E

A

H β β

= ° − ° − ° − = −

ˆ

L C F 360 90 90 180

α α

= ° − ° − ° − = −

ˆ

D

B

G 360 90 90 180

Ora per la nota formula trigonometrica per la quale l’area di un triangolo è pari al semiprodotto di

due lati per il seno dell’angolo compreso si ha:

( ) ( )

1 1

α α

= ° − =