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QUESTIONARIO 1 e ragione
la somma di n termini in progressione geometrica di primo termine
1. Indicata con S n 2
S
1 n
si calcoli il lim
→ ∞
2 n
n
2. Una piramide ha la base quadrata e l’altezza uguale a . Quanti piani paralleli alla base
8cm
dividono la piramide in due parti i cui volumi sono nel rapporto 7:1? Quali sono le distanze di tali
piani dal vertice della piramide? di liquido. Se è un parallelepipedo a base quadrata, quali ne
3. Un recipiente contiene 1000 litri
sono le dimensioni minime?
4. Quale è il cilindro di volume massimo inscrivibile in una sfera assegnata? −
1
è ? Come si calcola la derivata della funzione inversa ? Fai
5. Quando una funzione f invertibile f
un esempio.
6. Spiegare come utilizzare il teorema di Carnot per trovare la distanza tra due punti accessibili ma
separati da un ostacolo. ⎛ ⎞
⎛ ⎞
2 1
+
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
7. Trovare il periodo della funzione : sin sin
y x x
⎝ ⎠
⎝ ⎠
3 4
8. Dimostrate che la somma di qualsiasi numero reale positivo e del suo reciproco è almeno 2
___________________________
Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.
Non è ammesso lasciare l’aula degli esami prima che siano trascorse tre ore dalla dettatura del tema.
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PROBLEMA 1 ( ) = − +
3 2
f x x 6 x k
La funzione f è definita da dove k è una costante arbitraria.
Punto 1
Si trovino, in funzione di k, i valori di minimo e massimo relativo di f .
( ) = − +
3 2
La funzione f x x 6 x k è una cubica definita in tutto R le cui derivate prima e seconda
( ) ( )
= − = −
2
f ' x 3 x 12 x e f ' ' x 6 x 12 . In particolare si ha:
sono rispettivamente
( ) ( ) ( )
= − > ⇒ < ∨ > ∞ ∪ +∞
2
f x x x x x
' 3 12 0 0 4 cioè la funzione è strettamen
te crescente in - ,0 4,
( ) ( )
= − < ⇒ < <
2 in 0,4
f x x x x
' 3 12 0 0 4 cioè la funzione è strettamen
te decrescent
e
( ) = − = ⇒ = ∨ =
2
' 3 12 0 0 4
f x x x x x
( ) = − = ⇒ =
' ' 6 12 0 2 è ascissa di flesso a tangente obliqua
f x x x
( ) = − < =
⎧ ⎧
' ' 0 12 0 0 ascissa di massimo relativo proprio
f x
⇒
⎨ ⎨
( ) = > =
⎩ ⎩
' ' 4 12 0 4 ascissa di minimo relativo proprio
f x ( ) = − +
3 2
f x x 6 x k presenta un
Dalle considerazioni sopra effettuate deduciamo che la funzione
( ) ( )
≡ ≡ −
M 0
, k m 4
,.
k 32
massimo relativo in , un minimo relativo in e un flesso a tangente obliqua
( )
≡ −
in .
F 2
,.
k 16
Punto 2
Per quali valori di k, f ha tre zeri reali distinti? ⎧ = −
2 3
y x x
6 = −
2 3
⎨
Per rispondere al quesito risolviamo il sistema seguente: . La cubica y 6 x x è
=
⎩ y k
definita in tutto R, interseca l’asse delle ascisse in (0,0) e (6,0), quello delle ordinate in (0,0), è
≤
positiva o uguale a zero per , non presenta asintoti e presenta un minimo in (0,0), un massimo
x 6 =
y k è una retta parallela all’asse delle
in (4, 32) ed un flesso a tangente obliqua in (2,16). La retta = −
2 3
y x x
6 e le rette di
ascisse. Rappresentiamo in un unico sistema di riferimento la cubica
= = = = −
y 30
, y 32
, y 33
, y 2 :
equazione
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Dal grafico soprastante si evidenziano le seguenti soluzioni:
< ∨ > <
1. 1 soluzione per . In particolare per l’unica soluzione è positiva mentre
k 0 k 32 k 0
>
per è negativa;
k 32 = ∨ = =
2. 3 soluzioni di cui due coincidenti per . In particolare per le tre soluzioni
k 0 k 32 k 0
= = = = −
=
x 0 doppia e x 6 x 4 doppia e x 2
sono , mentre per le tre soluzioni sono ;
k 32
< <
3. 3 soluzioni distinte per di cui due positive ed una negativa.
0 k 32
( ) = − +
< < 3 2
Quindi per la funzione f x x 6 x k ha 3 zeri reali distinti.
0 k 32
Punto 3
Si trovi il valore di k tale che il valor medio di f nell’intervallo chiuso [-1, 2] sia 1.
( )
Il valor medio di una funzione nell’intervallo chiuso [a,b] è definito come
f x
b ( )
1 ∫
= . Per il caso in esame i ha:
V f x dx
−
b a a 2
⎡ ⎤
( )
2 4
x
1 1
∫
= − + = − + =
3 2 3
⎢ ⎥
V x x k dx x kx
6 2
⎣ ⎦
3 3 4
− −
1 1
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
( )
1 1 1 57
= − + − + − = −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎥
k k k
4 16 2 2 3
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
3 4 3 4
⎛ ⎞
⎛ ⎞
1 57 57 23
= ⇒ − = ⇒ =
−
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3 1 3 3
k k k .
Imponendo si ha
V 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 4 4 4
Punto 4
Si determini l’area della regione finita delimitata dal grafico di f e dall’asse x quando k=32.
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( ) ( )
= − +
= ≡
3 2
Se la funzione f x x 6 x k presenta un massimo relativo in , un minimo
k 32 M 0
,
32
( ) ( )
≡ ≡
relativo in e un flesso a tangente obliqua in .
m 4
,. 0 F 2
,. 16
L’area da calcolare è rappresentata in verde nella figura sottostante:
L’area vale: 4
⎡ ⎤
( )
4 4 ( ) ( )
x
∫
= − + = − + = − + − + − =
3 2 3
⎢ ⎥ .
S x 6 x 32 dx 2 x 32 x 64 128 128 4 16 64 108
⎣ ⎦
4
− −
2 2
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PROBLEMA 2 λ = + = −
2
y x 1 y x 1
Siano date la parabola e la retta r d’equazioni rispettive e
Punto 1 λ
Quale è la distanza minima tra e r ? E quale ne è il valore?
( ) ( )
λ ≡ + ≡ +
2 2
Un generico punto della parabola è P a , a 1 . La distanza di P a , a 1 dalla retta di
− + >
2
a a 2 0
+ − + − +
2 2 − +
a a a a
1 1 2 2
in quanto
( ) ( ) a a 2
Δ = <
− + = = = ⎯
⎯ ⎯
⎯
→ =
-7 0
equazione y x 1 0 è . La
d a d a
2 2 2
− +
2
( ) a a 2
= è una parabola con concavità verso l’alto per cui raggiunge il
funzione distanza d a 2 ( )
1 7 2
= → = . La retta perpendicolare alla
suo minimo nell’ascissa del vercice, ergo a d a
min min
2 8
⎛ ⎞
⎛ ⎞
1 5 1 5 7
= − = − − + = − +
≡ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
y x 1 P , s : y x x
ha equazione . Nel grafico
e passante per
retta ⎝ ⎠
⎝ ⎠
2 4 2 4 4
λ
sottostante vengono mostrate nello stesso riferimento cartesiano la parabola , la retta r e la retta
7
= − +
s: y x 4
Punto 2 λ con la retta s d’equazione y = x + 3, si determini il
Siano A e B i punti d’intersezione di
punto P appartenente all’arco AB tale che il triangolo ABP abbia area massima
I punti A e B di intersezione sono:
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( )
≡ −
⎧ = + ⎧
2 1
, 2
A
1
y x ( )( )
→ − − = − + = →
2
⎨ ⎨
, :
A B 2 2 1 0
x x x x ( )
≡
= + ⎩
⎩ 2
,
5
B
3
y x ( )
λ ≡ +
2
P a a
è , 1 .
Un generico punto della parabola = + =
2 2 mentre l’altezza è la distanza di
La base AB del triangolo APB misura AB 3 3 3 2 ( )( )
− − + −
2
( ) a a 2 a a
1 2
( )
≡ + = =
2 h a
P a a y x
, 1 dalla retta = + 3. L’altezza misura e poiché
2 2
− < < deduciamo che
geometricamente deve aversi 1 a 2
( )
( )( )
− − + −
2 − − −
a a 2 2
a a
1 2
( ) a a 2
= = =
h a . L’area del triangolo APB è massima quando è
2 2 2
( ) ( )
− − − − − −
2 2
( ) ( )
2 2
a a a a
= =
; l’altezza non è altro che una parabola
massima l’altezza h a h a
2 2
con concavità verso il basso che raggiunge il suo massimo nell’ascissa del vertice, per cui l’area
9 2
⋅
3 2
( ) ( )
1 9 2 27
8
= → = = =
a h a S a
da cui .
massima si ha per max max max
2 8 2 8
Punto 3 4
Si determini l’area del segmento parabolico di base AB e si verifichi che essa è dell’area del
3
triangolo ABP.
L’area del segmento parabolico di base AB è data dall’integrale seguente:
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[ ] [ ]
( )
2 2
∫ ∫
= + − + = − + + =
2 2
S x x dx x x dx
3 1 2
. .
Sett Par AB − −
1 1
2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤
3 2
x x 8 1 1 10 7 9
= + =
− + −
= − + + = − + +
⎢ ⎥
x
2 2 4 2
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
3 2 3 3 2 3 6 2
−
1 9
S 4
2
= =
. .
Sett Par AB
Il rapporto tra l’area del settore parabolico e quella del triangolo APB è .
27
S 3
APB 8
Punto 4
Si determini il volume del solido generato dalla rotazione completa del segmento parabolico di
base AB attorno all’asse x.
Il volume del solido generato dalla rotazione completa del segmento parabolico di base AB attorno
all’asse x è dato dall’integrale seguente:
[ ]
( )
2 2
[ ]
∫ ∫
π π 2
= + − + =
2 2
3 1
S x dx x dx
. .
Sett Par AB − −
1 1
( ) 2
⎡ ⎤ 2
⎡ ⎤
+ 3 5 3
3 2
x x x
π π
= =
− + +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
x
⎣ ⎦
⎣ ⎦
3 5 3 −
− 1
1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
125 8 32 16 1 2
π π
= − − + + − − − − =
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 1
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3 3 5 3 5 3
π
⎡ ⎤ 78 117
206 28
π π π π
= − + = − =
39 39
⎢ ⎥
⎣ ⎦
15 15 5 5
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QUESTIONARIO
Quesito 1 1
S la somma di n termini in progressione geometrica di primo termine e
Indicata con n 2
S
1 n
ragione si calcoli il .
lim
→ ∞
2 n
n 1 1
= =
a q
La somma S di n termini in progressione geometrica di primo termine e ragione è
1
n 2 2
⎡ ⎤
n
⎛ ⎞
n 1
⎛ ⎞
1 − ⎜ ⎟
⎢ ⎥
− 1
⎜ ⎟ 1 ⎝ ⎠
⎢ ⎥
− n 2 ⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎣ ⎦
⎝ ⎠
n S 1 1
1 1
q 1
2 = = − =
= = = − ⎜ ⎟ n
lim lim lim 0
S a . Ora
1 .
⎢ ⎥⎦
− ⋅
n 1 ⎝ ⎠ ⎣ n
1 → ∞ → ∞ → ∞
1 2
q 2 n n n 2
n
n n n
− 1
2
Quesito 2
Una piramide ha la base quadrata e l’altezza uguale a 8cm. Quanti piani paralleli alla base
dividono la piramide in due parti i cui volumi sono nel rapporto 7:1? Quali sono le distanze di
tali piani dal vertice della piramide?
Consideriamo la figura sottostante raffigurante una piramide, supposta retta, a base quadrata di lato
= =
ed altezza :
AB a VH 8 cm
Il poligono , ottenuto sezionando la piramide retta ABCDV con un piano parallelo alla
A
' B ' C ' D ' = <
ed è quindi anch’esso un quadrato di lato . Si
base, è simile al quadrato di base ABCD A
' B ' b a
H ' il punto in cui l’altezza incontra la sezione . Per un teorema di
indica con VH A
' B ' C ' D '
geometria euclidea nello spazio è noto che, se si seziona una piramide con un piano parallelo alla
base, la sezione e la base sono poligoni simili e i lati di questi poligoni sono proporzionali alle
distanze del loro piano dal vertice V. Dal parallelismo delle due basi discende che
= < < è altezza della piramide e che l’altezza del tronco di piramide è
VH ' h con 0 h 8 A
' B ' C ' D ' V
( )
= −
HH ' 8 h .
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( )
a 8 1
= → = = 2
A
' B ' C ' D ' V
h : 8 b : a . Il volume della piramide ' ' ' '
è V A B C D V b h
Quindi si ha: b h 3
( )
= −
HH ' 8 h è
ed altezza
mentre il volume del tronco di piramide di base ABCD
( )
( )
1
= − + +
2 2
V 8 h a b ab , per cui il rapporto tra i volumi è
tronco 3 ⎡ ⎤
− 2
⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ a 8
=
V 8 h a a
= = + + ⎯
⎯
⎯
→
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎥
tronco b h
R 1
( ) ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝
⎢ ⎥
' ' ' '
V A B C D V h b b
⎣ ⎦
( )
( )
⎡ ⎤ − + + −
− 2 ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 3
8 h 8 8 8 h h 8
h 64 512 h
+
+ = =
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎥
R 1
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 3
⎢ ⎥
h h h h h
⎣ ⎦ 1
=
= =
o ricaviamo
Tale rapporto può essere o R . Imponendo
R 7 R 7
7
− 3 [ ]
512 1
h = → = → = → = =
3 3
7 8
h 512 h 64 h 4 cm R ricaviamo
mentre imponendo
3 7
h
− 3 [ ]
512 1
h = → = ⋅ → = ⋅ → =
3 3 3
8
h 7 512 h 7 64 h 4 7 cm . In conclusione i piani paralleli alla
3 7
h
base che dividono la piramide in due parti i cui volumi sono nel rapporto 7:1 sono due e il vertice
[ ] [ ]
=
= 3
oppure h 4 7 cm .
della piramide dista da essi h 4 cm
Quesito 3
Un recipiente contiene 1000 litri di liquido. Se è un parallelepipedo a base quadrata, quali ne
sono le dimensioni minime?
Sia il lato della base quadrata del parallelepipedo ed la sua altezza. Il volume del
a h
= ⋅ = ⋅ = 3
2
parallelepipedo è V A h a h e dovendo essere 1000 litri 1 m si ricava (esprimendo le
Base V 1
= = . La superficie totale del parallelepipedo è
dimensioni in metri) h 2 2
a a
1
( ) ⎞
⎛
=
( ) ( ) 2
h
= + ⎯
⎯
⎯
→ = + ⎟
⎜
2
2 2
a
S a h a ah S a a . La minimizzazione della superficie totale la
, 2 2 2
T T ⎠
⎝ a
effettuiamo tramite calcolo delle derivate:
⎛ ⎞
−
3
( ) a 1
⎜ ⎟
=
' 4
S a ⎜ ⎟
T 2
⎝ ⎠
a
⎛ ⎞
+
3
( ) a 2
⎜ ⎟
=
S ' ' a 4
⎜ ⎟
T 3
⎝ ⎠
a
Si ha:
