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Tema di matematica svolto assegnato all'esame di maturità per il liceo scientifico nelle scuole italiane all'estero (Europa)
Sessione ordinaria 2007 LS_ORD Europa Soluzione di De Rosa Nicola
( )
− 2
( ) ( ) a b
2
− + − = ⇒
2 2
a b
1 2 5
( ) ( ) ( )
− + + − + − − = ⇒
2
2 2
a a b b a b
5 2 1 5 4 4 2 0
( ) ( ) ( )
− + + − + − + − = ⇒
2 2 2 2
a a b b a b ab
5 2 1 5 4 4 4 4 0
( )
+ + − + + = ⇒
2 2
a b ab a b
4 4 10 ( 2 ) 25 0
[ ]
+ − = ⇔ + − = ⇔
2
a b a b
( 2 ) 5 0 ( 2 ) 5 0
− +
a 5
=
b 2
Quindi il luogo geometrico, posto =
⎧ a x
⎨ =
⎩
b y
sarà: −
5 x
Λ =
: y 2 −
5 x
Λ =
= : y altrimenti il punto
Ovviamente il punto A (
1
, 2 ) non dovrà appartenere al luogo 2
di tangenza corrisponderebbe col centro e si avrebbe una circonferenza degenere con raggio
nullo.
Il grafico sottostante rappresenta quattro situazioni corrispondenti a 4 centri differenti della
circonferenza; in ognuno dei grafici è rappresentata la parabola, la circonferenza, la retta
−
5 x
− =
= Λ = .
t x y ed il luogo
tangente in A (
1
, 2 ) di equazione : 2 0 : y 2 4
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Punto 3 1 1
= =
g x
Studiamo la funzione ( ) + 2
f x
( ) 1 x
Dominio:R;
Intersezione asse delle ascisse: non ce ne sono;
= → =
x 0 y 1
Intersezioni asse delle ordinate: ; 1 1
− = = =
g x
( ) g ( x )
Eventuali simmetrie: è una funzione pari, infatti ;
( ) +
+ − 2 2
1 x
x
1
1
= > ⇒ ∀ ∈
( )
Positività: g x 0 x R ;
+ 2
1 x
Asintoti verticali: non ce ne sono visto che il dominio è tutto R;
1 =
=
Asintoti orizzontali: per cui la retta y 0 è asintoto orizzontale;
lim 0
+ 2
→ ±∞ 1 x
x 1
=
Asintoti obliqui: essendo g x una funzione razionale fratta, la presenza degli
( ) + 2
1 x
asintoti orizzontali esclude la presenza di asintoti obliqui (e viceversa); ( )
2 x
= − > ⇒ ∈ − ∞
Crescenza e decrescenza: la derivata prima è g ' ( x ) 0 x ,
0 per
( )
2
+ 2
1 x
( ) ( )
− ∞ +∞
cui la funzione è strettamente crescente in e strettamente decrescente in ;
, 0 0
, 5
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( ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + 2 1 3 1 3
x
2 1 3 1 ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟
= = ⇒ = ± , , ,
per cui
la derivata seconda è g x
' ' ( ) x
0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
( )
3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ 4 4
2 3 3
3
x
1 = − <
g ' ' ( 0
) 2 0 ( 0
,
1
)
sono due flessi a tangente obliqua; inoltre per cui è un massimo
relativo ed assoluto. Il grafico è sotto presentato:
Punto 4 t [ ]
1
∫
= = =
t
F (
t ) dx arctan( x ) arctan(
t )
+ 0
2
1 x
0
π
= +∞ =
Quindi lim ( ) arctan( )
F t che geometricamente rappresenta l’area sottesa dalla curva
→ +∞ 2
t 1 1
= =
g x nel primo quadrante.
( ) + 2
f x
( ) x
1 6
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PROBLEMA2
Punto 1
Il grafico della funzione ⎧ − 2
x
3 ≤
⎪ x 1
⎪ 2
= ⎨
f x
( ) ⎪ 1 ≥
x 1
⎪
⎩ x ] ]
− ∞
è l’unione di due grafici; il primo nell’intervallo è il grafico di una parabola con concavità
,
1 ( )
⎛ ⎞
3 −
= ⎜ ⎟
verso il basso, vertice in 3 ,
0 , mentre il
V 0
, e che interseca l’asse delle ascisse in
⎝ ⎠
2 =
secondo è il ramo nel primo quadrante di iperbole equilatera di equazione 1 . Il grafico della
xy
funzione richiesta è rappresentato nella figura seguente:
Nella figura soprastante sono stati rappresentati entrambi i grafici delle due funzioni componenti la
f (x ) ; in particolare la parte tratteggiata sottilmente rappresenta la parte di grafico di
funzione [ [
+∞
iperbole equilatera da non considerare in quanto non facente parte dell’intervallo , mentre la
1
,
parte di grafico tratteggiata meno sottilmente rappresenta la parte di grafico della parabola da non
] ]
− ∞
considerare in quanto non facente parte dell’intervallo . Il grafico in rosso è quello che
,
1
rappresenta la funzione richiesta.
Punto 2
Il teorema di Lagrange (o del valor medio) afferma che se una funzione reale di variabile reale è
continua in un intervallo [ ; ] e derivabile in ( ; ), esiste almeno un punto interno all'intervallo in
a b a b 7
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cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla retta che congiunge i punti del grafico
corrispondenti agli estremi dell'intervallo [a;b]. Questa è l’interpretazione geometrica del teorema di
Lagrange.
In modo più formale:
→
• f : [ a , b ] R
Sia
• continua in [a, b]
• derivabile in (a, b) −
( ) ( ) ( ) ( )
f b f a
∃ ∈ =
'
allora in queste ipotesi .
, :
c a b f c −
b a
Dopo aver enunciato il teorema di Lagrange ed averlo interpretato geometricamente, mostriamo
come esso sia applicabile alla funzione ⎧ − 2
3 x ≤
⎪ 1
x
⎪ 2
= ⎨
( )
f x ⎪ 1 ≥ 1
x
⎪
⎩ x
=
La funzione è continua in ; infatti
x 1 1
= =
f x
lim ( ) lim 1
+ +
→ → x
x x
1 1 − 2
x
3
= =
f x
lim ( ) lim 1
− +
→ → 2
x x
1 1
Inoltre la derivata della funzione è − ≤
⎧ x x 1
⎪
= ⎨
f x
' ( ) 1
− ≥
x 1
⎪⎩ 2
x
per cui ⎛ ⎞
1 = −
= −
⎜ ⎟
lim f ' ( x ) lim 1
⎝ ⎠
2
+ +
→ → x
1 1
x x ( )
= − = −
lim f ( x ) lim x 1
− +
→ →
1 1
x x
= . Quindi la funzione f (x ) è continua e derivabile
da cui si ricava la derivabilità in x 1
nell’intervallo chiuso e limitato [0,2]; ergo ad essa è applicabile il teorema di Lagrange.
Per ricavare i valori medi forniti dal teorema suddetto, suddividiamo l’intervallo [0,2] in due
= ∪ e separatamente
sottointervalli la cui unione fornisce l’intervallo [0,2], cioè [ 0
, 2
] [ 0
,
1
] [
1
, 2 ]
ricaviamo i valori medi nei due sottointervalli. 8
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• Consideriamo l’intervallo [0,1]: applicando il teorema di Lagrange si ha:
1 1
− = − = − ⇒ =
c f (
1
) f ( 0
) c
2 2
1
=
che risulta accettabile in quanto è incluso in [0,1].
c 2 ⎛ ⎞
3
⎜ ⎟
0
, , (
1
,
1
) ha
Ora la retta passante per i punti estremi dell’intervallo [0,1] e cioè per i punti ⎝ ⎠
2
⎛ ⎞
1 11
x 3
= − + ⎜ ⎟
equazione , mentre la retta tangente alla parabola nel punto , ha equazione
y ⎝ ⎠
2 8
2 2
⎛ ⎞
1 1 11 x 13
= − − + ⇒ = − +
⎜ ⎟
y x y ; da ciò si nota che le due rette, quella passante per i punti
⎝ ⎠
2 2 8 2 8
⎛ ⎞
3
⎜ ⎟
0
, , (
1
,
1
) , e quella tangente alla parabola nel punto medio ricavato col teorema di Lagrange
⎝ ⎠
2
sono parallele;
• Consideriamo l’intervallo [1,2]: applicando il teorema di Lagrange si ha:
1 1 1
− = − = − = − ⇒ = ⇒ = ±
2
( 2
) (
1
) 1
f f c 2 c 2
2 2 2
c =
di cui l’unico accettabile è in quanto incluso in [1,2].
c 2 ⎛ ⎞
1
⎜ ⎟
Ora la retta passante per i punti estremi dell’intervallo [1,2] e cioè per i punti (
1
,
1
), 2
, ha
⎝ ⎠
2
⎛ ⎞
x 3 2
⎜ ⎟
= − +
y , mentre la retta tangente alla parabola nel punto
equazione 2 , ha equazione
⎜ ⎟
2 2 2
⎝ ⎠
( ) x
1 2
= − − + ⇒ = − +
y x y
2 2 ; da ciò si nota che le due rette, quella passante per i
2 2 2
⎛ ⎞
1
⎜ ⎟
(
1
,
1
), 2
, , e quella tangente alla parabola nel punto medio ricavato col teorema di
punti ⎝ ⎠
2
Lagrange sono parallele.
Il grafico sottostante evidenzia l’interpretazione geometrica del teorema di Lagrange: 9
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Punto 3 − 2
x
3
=
g x
La funzione può essere espressa in forma implicita nel modo seguente:
( ) 2
= ± − e la determinazione negativa è quella che a noi interessa in quanto facente parte del
x 3 2 y
secondo quadrante. 3
= − − ≤ ≤
l y y y
La sezione piana del solido è il quadrato di lato e la cui area è
( ) 3 2 con 0 2
( ) ( ) 3
2
= − − = − ≤ ≤
A y y y y , per cui il volume del solido richiesto è:
( ) 3 2 3 2 con 0 2
3 [ ]
3
2 ( ) 9 9 9
∫
= − = − = − =
2 2
V y dx y y
3 2 3 0 2 4 4
0 10
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QUESTIONARIO
Quesito 1 −
⋅ =
x x
1
L’equazione da risolvere è 5 3 10 . Essa può essere riscritta e risolta nel modo seguente:
x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ( ) ( )
5 10 10 5
−
⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ = = + = +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
x x x
5 3 3 10 log log log 2 1 log 2 .
5 5 5 5
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 3 3 3
3 3 3 3
Quesito 2 = x
y
I grafici da disegnare si possono tutti ricondurre al grafico della funzione 2 sotto presentato:
Studiamo i 4 grafici.
+
= = ⋅ = =
x x x
1
f x y y
( ) 2 2 2 2 per cui il grafico lo si ricava dal grafico di 2
1. moltiplicando ogni ordinata per 2 :
= + = + =
x x
g x y y
( ) 2 1 1 per cui il grafico lo si ricava dal grafico di 2 traslandolo
2. rigidamente verso l’alto di una unità, cioè aggiungendo una unità ad ogni ordinata del
= x
y 2 :
grafico di 11
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⎧ ≥
⎪ x
2 0
x −
= = =
x x
⎨
( ) 2
h x . Ora la funzione ( ) 2 non è altro che la funzione pari
k x
3. ⎪⎩ − <
x
2 0
x −
= = =
x x x
2 , per cui il grafico di ( ) 2 lo si ricava da quello di 2
della funzione y k x y
rendendolo simmetrico rispetto all’asse delle ordinate come sotto presentato:
−
= =
x x
4. ( ) 2 : come detto nel punto 3 tale grafico lo si ricava da quello di 2
k x y
rendendolo simmetrico rispetto all’asse delle ordinate: 12
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Quesito 3
In generale il numero di cifre di un numero nella rapprersentazione in base è pari a
K N M
[ ]
{ ( ) } ( )
= + ⋅
dove la funzione è la funzione parte intera di un numero. Nel caso di
1 int log int
K N
M [ ]
{ ( ) } [ ] [ ]
{ ( ) } { }
= = = + = + ⋅ = + + =
60 60
si ha .
7 , 10
N M 1 int log 7 1 int 60 log 7 1 int 50
.
7 1 50 51
K 10 10
Quesito 4
Per dimostrare quanto richiesto, ricordiamo la formula del teorema binomiale o del binomio di
Newton. Tale formula si scrive nel seguente modo: ⎞
⎛ n
n
( ) ∑ −
⎟
⎜
+ =
n n k k
a b a b
⎟
⎜ ⎠
⎝ k
= 0
k n
⎛ ⎞
1
+
⎜ ⎟
1 si ha:
Sfruttando tale formula, ed applicandola alla successione ⎝ ⎠
n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
n
⎛ ⎞ n n n n
1 1 1 1 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ = + + + + + =
⎜ ⎟ "
"
1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ 2 3 n
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
n
1 2 3
n n n n n
n n n n
! ! ! 1 !
= + + + + =
"
"
1 ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ n
n n n n n n n n n n
1
! ( 1
)! 2
! ( 2 )! 3
! ( 3
)! ! n
⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅
"
n n n n n n n n n
! 1 ( 1
) 1 ( 1
) ( 2 ) 1 ( 1
) ( 2 ) 2 1
= + + + + + =
"
"
1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ n
n n n n n n n
1
! ! 2
! 3
! ! n
− − ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅
"
n n n n n
1 1 ( 1
) 1 ( 1
) ( 2 ) 1 ( 1
) ( 2 ) 2 1
= + + + + + =
"
"
1 −
⋅ n 1
n n n n
1
! 2
! 3
! ! n −
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ n
1 1 1 1 1 2 1 1 2 1
−
= + + − + − − + + − −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
"
" "
1 1 1 1 1 1 1
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
n n n n n n n
1
! 2
! 3
! !
Se ora applichiamo il limite ad ambo i membri si ha:
⎡ ⎤
− n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 1 1 1 1 2 1 n
1 2 1 1
+ + − + − − + + − − − = +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
"
" "
⎢ ⎥
lim 1 1 1 1 1 1 1 lim 1
⋅ ⋅
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
→ +∞ → +∞
1
! 2
! 3
! !
n n n n n n n n
n n 13
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n
⎞
⎛ 1 =
+ ⎟
⎜
Ora, sapendo per ipotesi che e
lim 1 si ricava:
⎠
⎝
→ +∞ n
n ⎤
⎡ − ⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
1 1 1 1 1 2 1 1 2 1
n =
−
−
+ + −
−
+ −
+ + − ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ "
" " ⎥⎦
⎢
lim 1 1 1 1 1 1 1
⋅
⋅ ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎣
→ +∞ 1
! 2
! 3
! !
n n n n n n n
n n
1 1 1 1 1
∑
= + + + + + = =
"
"
1 e
1
! 2
! 3
! ! !
n k
=
k 0
come volevasi dimostrare.
Quesito 5 ( )
{ } + + + =
= 2 2 2
Indichiamo con le due radici dell’equazione x 2 h 1 x m h 0 . Innanzitutto
x , x 2 x
1 2 1
dobbiamo imporre che le due radici siano reali altrimenti non avrebbe senso la relazione d’ordine
richiesta dalla traccia, per cui va imposto che il delta sia strettamente positivo:
( ) ( )
( )
Δ + + +
2
( ) h
h 1 h 1 1
= + − > ⇔ < ⇒ − < <
2 2 2 2 . Per avere una radice doppia
h 1 m h 0 m m
2
4 h h
h
dell’altra va imposto che: = = −
≠ x 0
, x 2
altrimenti avremo due soluzioni non accettabili;
1. h 0 ( )
= = − +
≠ x 0
, x 2 h 1
altrimenti avremo due soluzioni non accettabili;
2. m 0 = ± ⋅
≠ − altrimenti avremo due soluzioni complesse coniugate
3. x m i
h 1 + + =
2
x sx p a somma delle soluzioni