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Corso di ordinamento- Sessione suppletiva - a.s. 2007-2008

Soluzione di De Rosa Nicola

______________________________________________________________________________

QUESTIONARIO

Si determini la distanza delle due rette parallele:

1) + − = + + =

3 3 10 0 6 2 5 10 0

x y x y

Un trapezio rettangolo è circoscritto ad una semicirconferenza di raggio r in modo che la base

2)

maggiore contenga il diametro. Si calcoli in gradi e primi (sessagesimali) l’ampiezza x dell’angolo

acuto del trapezio, affinché il solido da esso generato in una rotazione completa attorno alla base

maggiore abbia volume minimo.

Si determinino le equazioni degli asintoti della curva:

3) ( ) = − + + + +

2

1 2 2

f x x x x

Si calcoli il limite della funzione:

4) ( ) ( )

cos cos 2

x x

( )

1 cos x

quando x tende a 0. )

(

( ) = + + 2

Si calcoli il valore medio della funzione log 1 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1.

5) f x x x

Si sechi il solido di una sfera con un piano, in modo che il circolo massimo sia medio

6)

proporzionale fra le superficie appianate delle calotte nelle quali rimane divisa la sfera.

x

( ) ( )

= +

La regione finita di piano delimitata dalla curva di equazione 1 e dall’asse x

7) 2

f x e x

nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1 è la base di un solido S le cui sezioni sono tutte esagoni regolari. Si calcoli

il volume di S.

Si stabilisca per quali valori del parametro reale k esiste una piramide triangolare regolare tale

8)

che k sia il rapporto fra il suo apotema e lo spigolo di base.

Si scriva l’equazione della tangente al diagramma della funzione:

9) ( ) ( )

( ) sin x

= +

2 1

f x x

π

=

nel punto P di ascissa .

x 2

Dato un sistema di riferimento cartesiano (ortogonale monometrico) in un piano, si dica che

10) ( )

+ +

2 2

1 ,

1 , ottenuto al variare di t nei reali.

cosa rappresenta l’insieme dei punti P t t 2

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Soluzione di De Rosa Nicola

______________________________________________________________________________

PROBLEMA 1

Dato un quadrante AOB di cerchio, di centro O e raggio 2, si consideri sull’arco AB un punto

P.

Punto 1 ⎛ ⎞

x ˆ

= =

⎜ ⎟

tan

Si esprima in funzione di (con ) l’area del quadrilatero OMPN, essendo

t x B

O

P

2

⎝ ⎠

M ed N i punti medi dei raggi OA e OB.

Consideriamo la figura sottostante:

L’area del quadrilatero OMPN è la somma delle aree dei triangolo OMP e ONP:

⋅ ⋅

( ) ( )

( ) ( ) ( ) OM PK ON PH

= =

= + ,

con .

S OMP S ONP

S OMNP S OMP S ONP 2 2

ˆ

= ° < < °

con si ha:

Ma, posto ,

0 90

x B O

P x

( ) ( )

ˆ

= ⋅ = ⋅

sin 2 sin

PH OP H

O

P x

( ) ( ) ( )

ˆ

= ⋅ ° − = ⋅ ° − = ⋅

sin 90 2 sin 90 2 cos

PK OP H

O

P x x

( )

( )

⋅ ⋅

1 2 cos 1 2 sin

( ) ( ) ( )

x x

= + = +

cos sin .

per cui S OMNP x x

2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

x x

− 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

2 tan 1 tan − − + +

2 2

2 1 2 1

2 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( )

( ) ( ) t t t t

= + =

=

=

Inoltre per cui con

sin , cos f t

x x + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 2

1 1 1

x x t t t

+ +

2 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

1 tan 1 tan

2 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

> .

il limite geometrico 0

t

Punto 2 γ

Si studi la funzione f(t) così ottenuta e si tracci il suo grafico , indipendentemente dai limiti

posti dal problema geometrico. 3

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− + +

2 2 1

( ) t t

=

Studiamo la funzione f t + 2

1 t

Dominio: R − + +

2 2 1

( ) t t

= = ⇒ − − = ⇒ = ±

2

0 2 1 0 1 2

f t t t t

Intersezioni asse ascisse: + 2

1 t

( )

= ⇒ =

0 0 1

Intersezioni asse ordinate: t f

la funzione non è né pari né dispari

Eventuali simmetrie:

− + +

2 2 1

( ) t t

= ≥ ⇒ − − ≤ ⇒ − ≤ ≤ +

2

0 2 1 0 1 2 1 2

Positività: f t t t t

+ 2

1 t

non ce ne sono

Asintoti verticali: ⎞

⎛ − + +

2 2 1

t t ⎟

⎜ = −

= − per cui la retta 1 è asintoto orizzontale

lim 1

Asintoti orizzontali: y

⎜ + 2

1

→ ±∞ ⎠

⎝ t

t ( ) ( ) ( )

( )

( )

− + + − − + + − + −

2 2 2

2 2 1 2 2 1 2 2 1

( ) t t t t t t t

= = per cui la

'

Crescenza e decrescenza: f t ( ) ( )

2 2

+ +

2 2

1 1

t t

( )

− − − +

1 2 , 1 2 , strettamente decrescente in

funzione è strettamente crescente in

( ) ( )

− ∞ − − ∨ − + +∞ = − −

, 1 2 1 2 , e si annulla in in cui presenta un minimo relativo

1 2

t

( ) ( )

− − − − +

= − +

1 2 , 2 1 2 , 2

in cui presenta un massimo relativo

ed in .

1 2

m M

t ( )

( )

− + +

2

4 1 4 1

( ) t t t

= per cui la funzione presenta tre flessi alle

' '

Concavità e convessità: f t ( )

3

+ 2

1 t

= = − − = − +

ascisse .

1

, 2 3 , 2 3

t t t

1 2 3

Il grafico è di seguito presentato: 4

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Punto 3

Si dica per quale valore di x l’area del quadrilatero assume valore massimo.

⎛ ⎞

x = −

= − ⎜ ⎟

Il valore che massimizza l’area del quadrilatero è e cioè tan 2 1 da cui

2 1

t 2

⎝ ⎠

( ) π π

x = − = ⇒ = .

arctan 2 1 x

2 8 4

Punto 4 γ

Si calcoli l’area della parte finita di piano compresa tra la curva e l'asse x.

L’area da calcolare è in grigio nella figura seguente: 5

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+ +

⎛ ⎞

1 2 1 2

− + +

2 ⎛ ⎞

2

2 1 2

t

t t

∫ ∫

⎜ ⎟ = − +

= =

⎜⎝ ⎟⎠

1 dt

dt

Area ⎜ ⎟

+ + +

2 2 2

1

1 1

⎝ ⎠ t t

t

− −

1 2 1 2

[ ]

( ) ( ) +

1 2

= + − + =

2

ln 1 2 arctan

t t t −

1 2

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

= + − − + + − − − + + − =

ln 4 2 2 1 2 2 arctan 1 2 ln 4 2 2 1 2 2 arctan 1 2

( ) ( )

⎛ ⎞

+

2 2

⎜ ⎟

= − + + + − =

ln 2 2 2 arctan 1 2 2 arctan 2 1

⎜ ⎟

2 2

⎝ ⎠

( ) π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

3

= + − + ⋅ + ⋅ =

⎜ ⎟

⎜ ⎟

2 ln 1 2 2 2 2 2

8 8

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) π

= + − +

2 ln 1 2 2 2 6

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PROBLEMA 2 ( )

( ( ) )

= +

Si consideri la funzione: sin 2 cos 1

y x x

Punto 1 ( )

γ π

Tra le sue primitive si individui quella il cui diagramma passa per il punto .

, 0

P

( )

( ( ) ) ( ) ( )

= + = +

Calcoliamo la primitiva della funzione ;

sin 2 cos 1 sin 2 sin

y x x x x

1

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= + = − − +

sin 2 sin cos 2 cos

F x x x dx x x k

2 1 1

( )

π − + + = ⇒ = −

Imponendo il passaggio per si ricava: 1 0 cui corrisponde

, 0 k k

P 2 2

1 1 1 [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ( ) )

= − − − = − + − = − + .

cos 2 cos cos 2 1 cos cos cos 1

F x x x x x x x

2 2 2

Punto 2 γ π

≤ ≤

Si rappresenti graficamente la curva nell’intervallo e si dimostri che essa è

0 2

x

π

= .

simmetrica rispetto alla retta x [ ]

( ) ( )

( ( ) ) π

= − +

Studiamo la funzione in

cos cos 1 0

, 2

F x x x

[ ]

π

0

, 2

Dominio:

Intersezioni asse ascisse: π π

3

( ) ( )

( ( ) ) ( ) ( ) π

= − + = ⇒ = ⇒ = = = − ⇒ =

cos cos 1 0 cos 0 , e cos 1

F x x x x x x x x

2 2

( )

= ⇒ = −

0 0 2

Intersezioni asse ordinate: x F

la funzione è pari

Eventuali simmetrie: π π

3

( ) ( )

( ( ) ) ( )

= − + ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ≤

cos cos 1 0 cos 0

Positività: F x x x x x

2 2

non ce ne sono

Asintoti verticali: non ce ne sono

Asintoti orizzontali ed obliqui:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ( ) )

= + = + .

' 2 sin cos sin sin 2 cos 1

Crescenza e decrescenza: F x x x x x x

π π

2 4

( ) ( ( ) )

π π

> ⇒ < < + > ⇒ < < ∨ < <

sin 0 0 mentre 2 cos 1 0 0 per cui la

2

Ora x x x x x

3 3

π π

⎡ ⎡ ⎤ ⎡

2 4

π

0

,

funzione è strettamente crescente in , , strettamente decrescente in

⎢⎣ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣

3 3

π π π

π π

⎤ ⎡ ⎤ ⎤ ⎛ ⎞

2 2

4 2 4

1

π π = =

∨ ⎜⎝ ⎟⎠

e si annulla in

, ,

, 2 in cui ha un massimo relativo , in

x M x

⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎥⎦

3 3

3 3 3

4 7

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π

⎛ ⎞

4 1 ( )

π π

=

⎜ ⎟

, ed in in cui ha un minimo relativo , in

in cui ha un massimo relativo , 0

M x m

1 3 4

⎝ ⎠ π

π ⎛ ⎞

4 1

4

= ⎜ ⎟

in cui ha un massimo relativo ,

x M 1

3 3 4

⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= + = + −

2

' ' 2 cos 2 cos 4 cos cos 2 pertanto la funzione

Concavità e convessità: F x x x x x

presenta flessi alle ascisse tali che

− ±

1 33

( ) = ⇒

cos x 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− + − +

1 33 1 33

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

π

= = − .

arccos , 2 arccos

x x

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

8 8

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ +

1 33 1 33

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

π

= = −

arccos , 2 arccos

x x

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

8 8

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Il grafico è di seguito presentato: π

= . La dimostrazione

Già dal grafico si evidenzia la simmetria della curva rispetto alla retta x

( ) ( )

( ( ) )

= − +

analitica di ciò si ha sottoponendo la funzione alla trasformazione

cos cos 1

F x x x

π

= −

⎧ 2

X x ( )

( ( ) ) ( )

( ( ) )

π π

= − − − + = − + c.v.d.

da cui cos 2 cos 2 1 cos cos 1

⎨ Y X X X X

=

Y y

Punto 3 π

Si scrivano le equazioni della retta tangenti alla curva nei suoi due punti A e B di ascisse e

2 8

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π

3 e si determini il loro punto d’intersezione C.

2 π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

, 0

L’equazione della retta tangente in è con

y m x

2 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

π π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞ [ ]

( )

( ( ) ) = −

= = + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ,

0

' sin 2 cos 1 1 è

da cui la retta tangente in .

π

m F x x y x

=

x 2 2

2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠ 2 π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

3 3

= −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

, 0 è con

Analogamente l’equazione della retta tangente in y m x

2 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

π π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞ 3 3

3 [ ]

( )

( ( ) ) = − −

= = + = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ , 0

' sin 2 cos 1 1 da cui la retta tangente in è .

π

m F x x y x

3

=

x 2 2

2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠ 2 π

⎛ ⎞

π

⎜ ⎟

,

Le due tangenti si incontrano nel punto C 2

⎝ ⎠

Punto 4

Si calcoli l’area della parte finita di piano compresa tra la curva e le due suddette tangenti.

L’area è rappresentata in grigio nella figura sottostante:

e vale: 9

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π [ ]

( ) ( )

( ( ) )

= − − + =

2 cos cos 1

Area S ABC x x dx

π

2

( )

π π

π π

+

2 2

⎡ ⎤

cos 2 1 [ ]

( ) ( ) ( )

x

∫ ∫

= + + = + + + =

2 cos cos 2 1 2 cos

x dx x x dx

⎢ ⎥

4 2 4

⎣ ⎦

π π

2 2

π

π π π

2 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

1 [ ]

( ) ( ) π

= + + + = + − + =

sin 2 2 sin 2

x x x

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

4 2 4 2

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

π

2

( )( )

π π π π π π

+ − + −

2 2 2 8 4 2

= + − = =

2

4 2 4 4 10

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QUESTIONARIO

Quesito 1

Si determini la distanza delle due rette parallele:

+ − = + + =

3 3 10 0 6 2 5 10 0

x y x y

Consideriamo un generico punto della prima retta e poi calcoliamo la distanza di esso dalla seconda.

( ) + + =

Un punto appartenente alla prima retta è 10 , 0 e la sua distanza da 6 2 5 10 0 è

x y

⋅ + ⋅ + ⋅

6 10 2 0 5 10 ⋅

11 10 11

= = = .

d ⋅ 2

2 10

+

2 2

6 2

Quesito 2

Un trapezio rettangolo è circoscritto ad una semicirconferenza di raggio r in modo che la base

maggiore contenga il diametro. Si calcoli in gradi e primi (sessagesimali) l’ampiezza x

dell’angolo acuto del trapezio, affinché il solido da esso generato in una rotazione completa

attorno alla base maggiore abbia volume minimo.

Consideriamo la figura sottostante:

π

ˆ < <

= 0

Poniamo con .

x

x C B F 2 ( )

cos

r x OE r

= = = = =

, , , per cui

Si ha: CF r FB r OB

( ) ( ) ( )

( )

tan sin sin sin

x x x x

( ) ( ) ( )

⎡ ⎤

+ −

cos 1 sin cos

r x x x

= + = + − = + − = .

⎢ ⎥

CD AO OF AO OB FB r r r

( ) ( )

( )

sin sin sin

⎣ ⎦

x x x

Il solido generato da una rotazione completa attorno alla base maggiore non è altro che un cilindro

di altezza CD e raggio di base CF cui si sovrappone un cono di altezza FB e raggio di base CF.

Quindi 11

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