2008. Liceo scientifico di ordinamento sessione straordinaria

Sessione straordinaria 2008 Liceo di ordinamento Soluzione di Nicola De Rosa

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

Corso di ordinamento – sessione straordinaria 2008 1

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Sessione straordinaria 2008 Liceo di ordinamento Soluzione di Nicola De Rosa

PROBLEMA1

Punto 1 = −

c 6

1. Il passaggio per A(0,-6) comporta la condizione ;

+ + =

2. Il passaggio per B(1,0) comporta la condizione ;

a b c 0

3. Il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola in B(1,0) è pari al valore della

derivata prima della funzione parabolica valutata nell’ascissa del punto B, cioè

[ ]

= + = + + =

m 2 ax b 2 a b da cui ricaviamo la terza condizione .

2 a b 5

=

x 1 + + = = −

⎧ ⎧

a b c a

0 1

⎪ ⎪

+ = → =

⎨ ⎨

Si tratta quindi di risolvere il sistema per cui la parabola ha equazione

a b b

2 5 7

⎪ ⎪

= − = −

⎩ ⎩

c c

6 6

= − + −

2

y x 7 x 6 .

Punto 2 ⎛ ⎞

7 25

=

= − + − ⎜ ⎟

2 V ed interseca

,

La parabola 7 6

y x x ha concavità verso il basso e vertice in ⎝ ⎠

2 4

l’asse delle ascisse in B(1,0) e C(6,0) e quello delle ordinate in A(0,-6).

Si consideri la figura seguente rappresentante il rettangolo inscritto nel segmento parabolico

limitato dalla parabola e dall’asse delle ascisse.

Per trovare i vertici del rettangolo si può procedere in due modi differenti. Li proponiamo entrambi.

7

=

• x ed hanno

I vertici del rettangolo sono simmetrici rispetto alla retta di equazione 2

( ) ( )

( ) ( )

− − − + − − + − < <

2 2 1 x 6

P x ,

0 , Q 7 x ,

0 , N 7 x , x 7 x 6 , M x , x 7 x 6 con .

perciò coordinate

Il perimetro del rettangolo è

( )

( ) ( )

= + = − + − + − = − + +

2 2

2 p x 2 PQ 2 PM 2 7 2 x 2 x 7 x 6 2 x 10 x 2 ; anche il perimetro è

una parabola con concavità verso il basso che raggiunge il suo massimo nell’ascissa del

5 29

= =

x cui corrispondono il perimetro massimo 2 p ed i vertici

vertice e cioè in max

2 2 2

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⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛ 5 9 9 21 5 21 ⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

P ,

0 , Q ,

0 , N , , M , .

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝ 2 2 2 4 2 4

Alternativamente il perimetro massimo può essere calcolato mediante derivazione.

Le derivate, prima e seconda della funzione perimetro, sono

( ) = − +

2 p ' x 4 x 10

( ) = −

2 p ' ' x 4 ⎛ ⎞

5

⎜ ⎟

da cui deduciamo che la funzione perimetro è strettamente crescente in 1

, , strettamente

⎝ ⎠

2

⎛ ⎞ 5

5 =

⎜ ⎟ x è l’ascissa di un

decrescente in ,

6 e sempre concava verso il basso, per cui

⎝ ⎠ 2

2

massimo relativo.

• Senza sfruttare la proprietà per cui i vertici del rettangolo sono simmetrici rispetto alla retta

7

= , si può procedere nel seguente modo. I vertici M ed N hanno ordinata generica

x 2 ⎞

⎛ 25

= < <

⎜ ⎟

y k 0 k , cui corrispondono le ascisse date dalle soluzioni dell’equazione

⎝ ⎠

4 + − k

7 25 4

=

x N 2

= − + − ⇒ − + + = ⇒

2 2

k x x x x k .

7 6 7 6 0 − − k

7 25 4

=

x M 2

I vertici del rettangolo risultano allora

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− − + − + − − −

7 25 4 7 25 4 7 25 4 7 25 4

k k k k

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ . Il

,

0 , ,

0 , , ,

P Q N k M , k

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

2 2 2 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )

( ) ( )

= + = − + = − +

2 p k 2 PQ 2 PM 2 25 4 k 2 k 2 25 4 k k . Procediamo

perimetro è

mediante derivazione per la massimizzazione del perimetro. Le derivate, prima e seconda

della funzione perimetro, sono

⎛ ⎞

− −

( ) 25 4 k 2

⎜ ⎟

=

2 p ' k 2

⎜ ⎟

−

⎝ ⎠

25 4 k

( ) 8

= −

2 p ' ' k ( ) 3

−

25 4 k 2

Studiando il segno della derivata prima si deduce che: 3

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⎧ 21

− > <

⎧ k

25 4 4 k

⎪

⎛ ⎞

− − ⎪

⎪⎨

( ) 21

k

25 4 2 4

⎜ ⎟

= ⇒

> ⇒ − − > ⇒ ⇒ < <

⎨ k

0

p k k

2 ' 2 0 25 4 2 0

⎜ ⎟ 25

< <

− 25 4

⎝ ⎠ k

0

⎪⎩ ⎪

k

25 4 < <

k

0

⎪

4 ⎩ 4

⎧ 21

− < >

⎧ k

25 4 4 k

⎪

⎛ ⎞

− − ⎪

⎪⎨

( ) k

25 4 2 21 25

4

⎜ ⎟

= ⇒ < <

⇒

< ⇒ − − < ⇒ ⎨ k

p k k

2 ' 2 0 25 4 2 0

⎜ ⎟ 25

< <

− 25 4 4

⎝ ⎠ ⎪

⎪⎩ k

0

k

25 4 < <

k

0

⎪

4 ⎩ 4

⎛ ⎞

21

⎜ ⎟

0

, , strettamente decrescente in

per cui la funzione perimetro è strettamente crescente in ⎝ ⎠

4

⎛ ⎞

⎛ ⎞ 21 21

21 25 = − < =

⎜ ⎟

⎜ ⎟ 2 p ' ' 1 0 da cui deduciamo che k massimizza il perimetro.

, ; inoltre ⎝ ⎠

⎝ ⎠ 4

4

4 4 21

=

k sono gli stessi di quelli trovati precedentemente.

I vertici corrispondenti a 4

Punto 3 ⎛ ⎞

⎛ ⎞ [ ]

5 5 21

21 +

= − = − + =

⎜ ⎟

⎜ ⎟

M ha equazione

,

La tangente in con e cioè

y m x m 2 x 7 2

5

=

x

M

M ⎝ ⎠

⎝ ⎠

2 2 4

4 2

⎛ ⎞

⎛ ⎞ 9 21

1 9 21 = − +

= + ⎜ ⎟

⎜ ⎟ con

y m x

y 2 x ; la tangente in N , ha equazione N ⎝ ⎠

⎝ ⎠

4 2 4

2 4 ⎛ ⎞

[ ] 7 29

57

= − +

= − + = − ⎜ ⎟

D .

,

e cioè y 2 x . Le due tangenti si incontrano in

m 2 x 7 2

9

=

x

N ⎝ ⎠

2

4 4

2 ⎞

⎛

1 1

= + −

⎜ ⎟

La tangente di equazione y 2 x incontra l’asse delle ascisse in E mentre la tangente

,

0

⎝ ⎠

4 8

⎛ ⎞

57 57

= − + ⎜ ⎟

di equazione y 2 x in F ,

0 . Si consideri la figura sottostante raffigurante la parabola e

⎝ ⎠

4 8

le due tangenti:

Il triangolo isoscele DMN ha i lati che misurano:

2 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

7 5 29 21 9 7 29 21

= − + − = = − + − = =

⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜

DM 5 , DN 5 , MN 2 .

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 4 4 2 2 4 4 4

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( ) 2 2 2

+ − + −

DM DN MN 5 5 4 3

= = =

ˆ per cui

Per il teorema del coseno M

D

N

cos ⋅ ⋅ ⋅ 5

DM DN

2 2 5 5

⎛ ⎞

3

= ≅ °

ˆ ⎜ ⎟

M

D

N arccos 53 8

' .

⎝ ⎠

5 α formato tra due rette di

Alternativamente ricordando che la tangente di un angolo acuto −

m m

α = 1

m ed m è , si ha

coefficienti angolari tan + ⋅

1 1 m m

1

( )

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− − − ⎞

⎛

m m 2 2 4

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

α α

= = − = ≅ °

= = ⎯

⎯ ⎯

⎯

→ =

ˆ ⎜ ⎟

m m

2 , 2

1

arctan arctan arctan 53 8

'

M

D

N .

1 ⎜ ⎟

( )

⎜ ⎟

+ ⋅ − ⋅ − ⎝ ⎠

⎝ ⎠

1 1 2 2 3

m m

⎝ ⎠

1

Punto 4

Il volume generato dalla rotazione del segmento parabolico intorno all’asse delle ascisse è

( ) ( )

6 6

∫ ∫

π π

2

= − + − = − + − + =

2 4 3 2

7 6 14 61 84 36

V x x dx x x x x dx

p 1 1 6 π

⎡ ⎤

5 4 3

x x x

7 61 625

π

= − + − + =

2

⎢ ⎥

x x

42 36

⎣ ⎦

5 2 3 6

1

La rotazione del rettangolo di perimetro massimo dà origine ad un cilindro con area di base

π π π

441 441 441

2

π = =

= ⋅ = = ⋅ = . Il

ed altezza h PQ 2 cui corrisponde il volume

A PM V 2

b C

16 16 8

π

625 2500

6

= =

rapporto tra i due volumi è .

R π

441 1323

8 5

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PROBLEMA2

Punto 1 + 1

x

=

Studiamo la funzione ln

y +

2

x 2

+ ( )

1

x

• > ⇒ ∈ − +∞

Dominio: 0 x 1

,

+

2 2

x + +

1 1

x x

= = ⇒ = ⇒ − + =

• 2

Intersezioni asse ascisse: ln 0 1 x x 1 0

y da cui deduciamo

+ +

2 2 2

2

x x

che non esistono intersezioni con l’asse delle ascisse in quanto l’equazione risolvente non

ammette radici reali; = ⇒ = −

• x 0 y ln 2 ;

Intersezioni asse ordinate:

• Eventuali simmetrie: la funzione non è né pari né dispari;

+ ⎧ − +

⎧ 2

1

x 1

x x

> <

+ ⎪ ⎪

1 0

1

x ⇔

= > ⇔

• + +

⎨ ⎨

2 2

ln 0

Positività: y . La disequazione

2

x 2

x

+

2 ( ) ( )

2

x ⎪⎩ ⎪

∈ − +∞ ∈ − +∞

⎩

1

,

x 1

,

x

− +

2

x x 1 < 0 non è mai soddisfatta in quanto sia numeratore che denominatore sono sempre

+

2

x 2 ( )

− +∞

1

, .

positivi; quindi si deduce che la funzione è sempre negativa nel dominio

+

x 1 +

= = −∞

• = −

Asintoti verticali: lim ln ln 0 per cui la retta è asintoto verticale;

x 1

+

2

+

→ − 2

x

x 1 +

x 1 = = −∞

• Asintoti orizzontali: lim ln ln 0 per cui non esistono asintoti orizzontali;

+

2

→ +∞ x 2

x

• Asintoti obliqui: nemmeno esistono;

( ) ( )

+ − +

2

x 2 2 x x 1

( )

2 − − +

+ 2

2 x 2 x 2

x 2

• = = ( )

Crescenza e decrescenza: y ' per cui, tenendo conto

( ) ( )

+ + +

2

x 1 x 2 x 1

( )

+

2

x 2

( )

− +∞

del dominio si ha

1

,

> ⇒ − < < − +

' 0 1 1 3

y x

< ⇒ > − +

' 0 1 3

y x

= ⇒ = − +

' 0 1 3

y x

Dal segno della derivata prima deduciamo che la funzione presenta un massimo relativo ed

= −

assoluto all’ascissa x 1+ 3 . 6

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( )

( )

− + + +

3 2

x 2 x 6 x 6 x 4

• =

Concavità e convessità: la derivata seconda della funzione è .

y ' ' ( ) ( )

2

+ + 2

2

x 2 x 1

= per cui la funzione presenta un flesso a

Sicuramente la derivata seconda si annulla in x 2

( )

−

tangente obliqua in . Controlliamo se la derivata seconda si annulla anche in

2

, ln 2 ( )

( ) = + + + =

3 2

qualche altro punto. Bisogna studiare gli zeri dell’equazione h x x 6 x 6 x 4 0 .

( ) ( ) ( )

( ) = + + + = + − −

3

3 2

Il polinomio h x x 6 x 6 x 4 può essere riscritto come h x x 2 6 x 4 e

( )

= + = − +

3

ponendo y x 2 esso si riconduce a h y y 6 y 8 . Quest’artificio ci è servito per

( ) = − + =

3

poter applicare il metodo di Cardano all’equazione di terzo grado h y y 6 y 8 0

+ + = = − =

3

nella forma 0

y py q con p 6

, q 8 . Equazioni di terzo grado in questa forma

2 3

q p

Δ = + ≥ 0 e tre

presentano una soluzione reale e due complesse coniugate se 4 27

2 3 ( )

q p

Δ = + < = − + =

3

soluzioni reali se 0 . Nel caso dell’equazione h y y 6 y 8 0 , si ha

4 27

64 216

Δ = − = >

8 0 per cui la soluzione reale è unica. In particolare il metodo di Cardano

4 27

ci dice anche quali siano le soluzioni, e nel caso in esame l’unica soluzione reale è

2 3 2 3

q q p q q p

= − + + + − − + = − + + − −

3 3

y 4 2 2 4 2 2 cui corrisponde

3 3

2 4 27 2 4 27 ( )

= − = − + + − − − ≅ − ∉ − +∞

3 3

x y 2 4 2 2 4 2 2 2 4

,

95 1

, . Quindi l’altro zero che annulla

la derivata seconda non appartiene al dominio di definizione della funzione; in conclusione

( )

− .

la funzione presenta un unico flesso a tangente obliqua in 2

, ln 2

Il grafico è di seguito presentato:

Punto 2 7

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⎡ ⎤

− − +

2

( ) ( ) 2 2

x x

= −

− =

= = ( )

⎢ ⎥

La retta tangente in ha equazione y mx ln 2 con e

0

, ln 2 ' 0 1

m y ( )

+ +

2

⎣ ⎦

2 1

x x = 0

x

= −

y x ln 2

cioè

Punto 3 +

( )

( ) x 1

( ) =

= f x g x . Studiamola.

La curva g x e è +

2

x 2

+ ( )

x 1 > ⇒ ∈ − +∞

• Dominio: 0 x 1

,

+

2

x 2 +

( ) x 1

• = = ⇒ = − ; tale valore non appartiene al

Intersezioni asse ascisse: g x 0 x 1

+

2

x 2 +

x 1 =

lim 0

dominio, tuttavia in esso la funzione è prolungabile per continuità; infatti +

2

+

→ − x 2

1

x

1

= ⇒ =

• x 0 y ;

Intersezioni asse ordinate: 2

• Eventuali simmetrie: la funzione non è né pari né dispari;

+

( ) ( )

x 1

• = > ⇒ ∈ − +∞ .

Positività: g x 0 x 1

,

+

2

x 2 ( )

∈ − +∞

• = −

x 1

,

Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è ed in la

x 1

funzione è prolungabile ed assume valore nullo;

+

x 1 = =

• Asintoti orizzontali: lim 0 per cui y 0 è asintoto orizzontale destro;

+

2

→ +∞ x 2

x

• Asintoti obliqui: non esistono in quanto esiste quello orizzontale e per una funzione

razionale fratta la presenza dell’uno implica l’assenza dell’altro;

( ) ( )

+ − + − − +

2 2

x 2 2 x x 1 x 2 x 2

= =

• y '

Crescenza e decrescenza: per cui, tenendo conto del

( ) ( )

2 2

+ +

2 2

x 2 x 2

( )

∈ − +∞

dominio , si ha

1

,

x

> ⇒ − < < − +

' 0 1 1 3

y x

< ⇒ > − +

' 0 1 3

y x

= ⇒ = − +

' 0 1 3

y x

Dal segno della derivata prima deduciamo che la funzione presenta un massimo relativo

= −

all’ascissa x 1+ 3 . ( )

+ − −

3 2

2 3 6 2

x x x

• =

Concavità e convessità: la derivata seconda della funzione è il cui

' '

y ( )

3

+

2 2

x 8

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( )

( ) = + − −

3 2

studio possiamo limitarlo a quello del solo numeratore N x x 3 x 6 x 2 in quanto

il denominatore è sempre positivo. ( ) = può essere effettuato ancora una volta

Lo studio degli zeri dell’equazione 0

N x

mediante metodo di Cardano a valle di una opportuna sostituzione per ricondursi alla forma

+ + =

3

y py q oppure mediante metodo grafico o metodo numerico.

0 ⎧ =

⎪ 3

y x

⎨ in cui la

Lo studio grafico comporta la risoluzione grafica del sistema ⎪⎩ = − + +

2

3 6 2

y x x

prima curva è una cubica e la seconda una parabola.