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Corso sperimentale- Sessione suppletiva - a.s. 2007-2008
Soluzione di De Rosa Nicola
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ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO SPERIMENTALE
Tema di: MATEMATICA
a. s. 2007-2008
PROBLEMA 1
Siano dati un cerchio di raggio r ed una sua corda AB uguale al lato del quadrato in esso inscritto.
1. Detto P un generico punto della circonferenza, giacente sull’arco maggiore di estremi A e B, si
_____ _____
+
2 2
PA PB ˆ
=
x tan P
A
B
consideri il rapporto: e lo si esprima in funzione di
_____
2
AB
2. Si studi la funzione f(x) così ottenuta e si tracci il suo grafico γ, indipendentemente dai limiti posti dal
problema geometrico.
3. Detto C il punto d’intersezione della curva γ con il suo asintoto orizzontale, si scriva l’equazione della
tangente a γ in C.
4. Si calcoli l’area della parte finita di piano compresa tra la curva γ, la suddetta tangente e la retta di
equazione x = k, essendo k l’ascissa del punto di massimo relativo.
PROBLEMA 2
Si consideri la funzione: ( ) ( )
= + +
2
y a sin x b sin x c
1. Si determinino a, b, c, in modo che il suo grafico γ passi per A(0,2), per B(π/6,0) ed abbia in B
+ − =
3 3 x 2 y 5 0 .
tangente parallela alla retta
2. Si rappresenti graficamente la curva γ nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 2π.
3. Si calcoli il valore dell’area di ciascuna delle due parti di piano compresa fra la retta y=2 e la
curva stessa.
4. Tra tutte le primitive della funzione data, si determini quella il cui grafico passa per P(0,6) e si
scriva l’equazione della retta ad esso tangente in detto punto. 1
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QUESTIONARIO
Si determinino le costanti a e b in modo tale che la funzione:
1) + ≤
⎧ ax b x 0
⎪
( ) =
f x ⎨ −
x
e 1 >
x 0
⎪
⎩ x
risulti continua e derivabile nel punto x=0.
Un meteorite cade sulla Terra; qual è la probabilità che il punto d’incontro si trovi fra l’equatore
2)
e il tropico del Cancro (latitudine λ = 23° 27’ nord)?
Si determini il numero reale positivo λ in modo che la curva rappresentativa della funzione
3)
( ) λ
−
= x
g x e divida in parti equiestese la regione delimitata dalla curva rappresentativa della
( ) λ
= x
funzione f x e , dall’asse x e dalle rette x = 0 e x = 1.
Si determini la probabilità che, lanciando 8 volte una moneta non truccata, si ottenga 4 volte
4)
testa. ( )
− − =
x
Si dimostri che l’equazione 3 x e 3 0 per x>0 ha un’unica radice reale e se ne calcoli un
5)
valore approssimato con due cifre decimali esatte.
Si dimostri che il volume del cilindro equilatero inscritto in una sfera di raggio r è medio
6)
proporzionale fra il volume del cono equilatero inscritto e il volume della sfera.
)
(
= − 2
Si calcoli il valore medio della funzione y arccos 1 x nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1
7) In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani sono assegnati i punti A(0,1), B(0,4). Si
8)
determini sul semiasse positivo delle ascisse un punto C dal quale il segmento AB è visto con un
angolo di massima ampiezza. ln x t
e
∫
Si scriva l’equazione della tangente al diagramma della funzione: nel punto P di ascissa
9) dt
2
t
1
x = e.
10) Tenuto conto che:
1
π 2 1
∫
= dx
6 − 2
x
1
0
si calcoli un’approssimazione di π, utilizzando uno dei metodi d’integrazione numerica studiati. 2
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PROBLEMA 1
Siano dati un cerchio di raggio r ed una sua corda AB uguale al lato del quadrato in esso
inscritto.
Punto 1
Detto P un generico punto della circonferenza, giacente sull’arco maggiore di estremi A e B, si
_____ _____
+
2 2
PA PB ˆ
=
x tan P A B
consideri il rapporto: e lo si esprima in funzione di
_____
2
AB 2 r , cui corrisponde il lato di
Il quadrato inscritto nella circonferenza ha la diagonale pari al diametro ( )
2 r ˆ
= ⋅
= =
AB r 2
2 AB 2 r sin A
P
B
r
lunghezza . Quindi . Inoltre per il teorema della corda per
2
( ) 2 ˆ
ˆ ˆ
= = ° A
P
B
sin A
P
B (supponendo che sia acuto, assunzione che
A P B 45
cui corrisponde
cui 2 ˆ α
=
non lede la generalità della discussione che porteremo avanti); per differenza, posto P A B ,
ˆ α
= ° − come rappresentato nella figura sottostante:
A B P 135
Sempre per il teorema della corda si ha: [ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
α α α α α α
= = ° − = ° − ° = +
PB 2 r sin , PA 2 r sin 135 2 r sin 135 cos cos 135 sin r 2 cos sin
. In tal modo
=
2 2
AB r
2 ( )
α
=
2 2 2
PB r
4 sin
[ ]
( )
α
= +
2 2
PA r
2 1 sin 2
per cui _____ _____
+
2 2
PA PB
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )
) ( ) ( )
α α α α α α α
= = + + = + + − = + −
2
f 1 sin 2 2 sin 1 sin 2 1 cos 2 2 sin 2 cos 2
_____
2
AB ( )
( )
α α
− 2
2 tan 1 tan
( ) ( )
α α
= =
sin 2 , cos 2
Sfruttando le identità goniometriche per cui , la funzione
( )
( )
α α
+ +
2 2
1 tan 1 tan 3
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⎞
⎛ + +
− 2 2
2 1 3 2 1
x x x x
( ) ⎟
⎜ =
= + −
2
f x
diventa .
⎟
⎜ +
+ +
2 2 2
1 1 1
x x x
⎠
⎝
Punto 2
Si studi la funzione f(x) così ottenuta e si tracci il suo grafico γ, indipendentemente dai limiti
posti dal problema geometrico. + +
2
x x
3 2 1
( ) =
Studiamo la funzione f x + 2
1 x
Dominio: R + + − ±
2
3 2 1 1 2
x x i
( ) = = ⇒ + + = ⇒ =
2
0 3 2 1 0
f x x x x per cui non
Intersezioni asse ascisse: + 2 3
1 x
ci sono intersezioni con l’asse delle ascisse
( )
= ⇒ =
Intersezioni asse ordinate: 0 0 1
x f
Eventuali simmetrie: la funzione non è né pari né dispari
+ +
2
3 2 1
x x
( ) = > ∀ ∈
0
Positività: f x x R
+ 2
1 x
Asintoti verticali: non ce ne sono ⎞
⎛ + +
2
x x
3 2 1 ⎟
⎜ =
=
Asintoti orizzontali: per cui la retta y 3 è asintoto orizzontale
lim 3
⎟
⎜ + 2
x
1
→ ±∞ ⎠
⎝
t ( ) ( ) ( )
( )
( )
+ + − + + − − −
2 2 2
6 x 2 1 x 2 x 3 x 2 x 1 2 x 2 x 1
( ) = =
Crescenza e decrescenza: per cui la
f ' x ( ) ( )
2 2
+ +
2 2
1 x 1 x
( )
− +
1 2 ,
1 2 , strettamente decrescente in
funzione è strettamente crescente in
( ) ( )
− ∞ − ∨ + +∞ = −
,
1 2 1 2 , e si annulla in in cui presenta un minimo relativo
x 1 2
( ) ( )
− − + +
= +
m 1 2 , 2 2 M 1 2 , 2 2
in cui presenta un massimo relativo
ed in .
x 1 2 ( )
( )
+ − +
2
4 x 1 x 4 x 1
( ) = per cui la funzione presenta tre flessi alle
Concavità e convessità: f ' ' t ( )
3
+ 2
1 x
= − = − = +
ascisse .
x 1
, x 2 3 , x 2 3
1 2 3
Il grafico è di seguito presentato: 4
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Punto 3
Detto C il punto d’intersezione della curva γ con il suo asintoto orizzontale, si scriva
l’equazione della tangente a γ in C. + +
2
3 2 1
x x ( )
=
Il punto C è dato dal la risoluzione dell’equazione 3 .
da cui si ricava C 1
,
3
+ 2
1 x ( )
⎡ ⎤
− − −
2
2 2 1
x x
( )
( )
= − + =
= = ⎢ ⎥
con
L’equazione della tangente in C è y m x 1 3 ' 1 1
m f ( )
2
+ 2
⎢ ⎥
1 x
⎣ ⎦ =
x 1
= +
pertanto la tangente è y x 2 .
Punto 4
Si calcoli l’area della parte finita di piano compresa tra la curva γ, la suddetta tangente e la
retta di equazione x = k, essendo k l’ascissa del punto di massimo relativo.
Calcoliamo l’intersezione della curva con la tangente: bisogna risolvere l’equazione
+ +
2
x x
3 2 1 ( ) ( )
2
= + − − + = − + = ⇒ = = −
3 2
2 x x x 1 x 1 x 1 0 x 1
, x 1 .
e cioè
x
+ 2
x
1 ( )
−
Quindi l’ulteriore intersezione è .
D 1
,
1
L’area da calcolare è raffigurata in grigio sotto: 5
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L’area vale ⎤
⎡
+ ⎛ ⎞
1 2 + +
2
x x
3 2 1
∫ ⎟
⎜
= + − =
dx
Area x 2 ⎥
⎢ ⎟
⎜ + 2
x
1 ⎠
⎝ ⎦
⎣
−
1
+
1 2 ⎤
⎡ ⎞
⎛ x
2 2
∫ =
= + − + − ⎟
⎜ dx
x 2 3 ⎥
⎢ + +
2 2 ⎠
⎝ x x
1 1 ⎦
⎣
−
1
+
1 2 ⎡ ⎤
x
2 2
∫
= − − + =
dx
x 1
⎢⎣ ⎥⎦
+ +
2 2
x x
1 1
−
1 +
( ) 1 2
⎤
⎡ 2
− ( )
x 1 ( ) =
= − + +
2
x x
ln 1 2 arctan ⎥
⎢ 2 ⎦
⎣ −
1
[ ]
( ) ( ) [ ]
( ) ( )
= − + + + − − + − =
1 ln 4 2 2 2 arctan 1 2 2 ln 2 2 arctan 1
( ) ( )
( ) ( )
= + + − + + − =
2 arctan 1 2 2 arctan 1 ln 4 2 2 ln 2 1
( )
π π ⎞
⎞ ⎛
⎛ 3 − + − =
+ ⋅
= ⋅ ⎟
⎟ ⎜
⎜ 2 ln 2 2 1
2 8 4 ⎠
⎠ ⎝
⎝ ( )
π
5
= − + −
ln 2 2 1
4 6
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PROBLEMA 2 ( ) ( )
= + +
2
y a sin x b sin x c
Si consideri la funzione:
Punto 1
Si determinino a, b, c, in modo che il suo grafico γ passi per A(0,2), per B(π/6,0) ed abbia in B
+ − =
3 3 x 2 y 5 0
tangente parallela alla retta . =
Il passaggio per A(0,2) comporta subito ; il passaggio per B(π/6,0) comporta
c 2
a b ( ) ( )
+ + = ⇒ = − − = + +
2
2 0 a 2
b 8 . La derivata della funzione y a sin x b sin x c è
4 2 π ⎞
⎛ 3 ( )
( ) ( ) = +
= + ⎟
⎜
e y a b per cui la terza condizione di tangente in B(π/6,0)
'
y ' a sin 2 x b cos x 6 2
⎠
⎝ π ⎞
⎛ 3 3 3
( )
+ − = = + = − ⇒ + = −
⎟
⎜
3 3 x 2 y 5 0 ' 3 .
parallela alla retta si traduce in y a b a b
6 2 2
⎠
⎝
Queste condizioni comportano i seguenti parametri incogniti:
=
⎧ a 2
⎪ ( ) ( ) ( ( )
)
( ( )
)
= − ⇒ = − + = − −
2
b 5 y 2 sin x 5 sin x 2 1 2 sin x 2 sin x
⎨
⎪ =
c 2
⎩
Punto 2
Si rappresenti graficamente la curva γ nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 2π.
[ ]
( ) ( ( )
)
( ( )
) π
= − −
Studiamo la funzione in
f x 1 2 sin x 2 sin x 0
, 2
[ ]
π
Dominio: 0
, 2
Intersezioni asse ascisse: π π
1 5
( ) ( ( )
)
( ( )
) ( )
= − − = ⇒ = ⇒ = =
f x x x x x x
1 2 sin 2 sin 0 sin ,
2 6 6
( )
= ⇒ =
Intersezioni asse ordinate: x 0 f 0 2
Eventuali simmetrie: la funzione non è pari né dispari π π
1 5
( ) ( ( )
)
( ( )
) ( ) π
= − − ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ≤ ∨ ≤ ≤
f x 1 2 sin x 2 sin x 0 sin x 0 x x 2
Positività: 2 6 6
Asintoti verticali: non ce ne sono
Asintoti orizzontali ed obliqui: non ce ne sono
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( )
)
= − = − −
Crescenza e decrescenza: .
f ' x 4 sin x cos x 5 cos x cos x 5 4 sin x
π π
3 [ ]
( ) ( ) ( ( )
)
> ⇒ < ⇒ < < − > ∀ ∈
Ora f ' x 0 cos x 0 x mentre 5 4 sin x 0 x 0 ,
2
π per cui la funzione
2 2 7
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π π π π
⎡ ⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎤
3 3 π
∨
, , strettamente decrescente in 0
, , 2 e si annulla in
è strettamente crescente in ⎢ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎥
2 2 2 2
⎣ ⎣
⎦ ⎣ ⎦ ⎦
π π π
π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
3
3
−1
= =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
, ,
9
x in cui ha un minimo relativo m , in x in cui ha un massimo relativo M
2 2
2 2
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
±
5 3 17
( ) ( ) ( ) ( )
= − + + = ⇒ =
2
Concavità e convessità: ' ' 8 sin 5 sin 4 0 sin
f x x x x per cui la
16
− +
5 3 17 5 3 17
( ) ( )
= = >
funzione presenta flessi alle ascisse per cui sin x in quanto sin x 1 . Le
16 16
ascisse dei flessi saranno:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + − +
5 3 17 5 3 17
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
π π
= + = −
arcsin , 2 arcsin
x x .
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
16 16
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Il grafico è di seguito presentato:
Punto 3
Si calcoli il valore dell’area di ciascuna delle due parti di piano compresa fra la retta y=2 e la
curva stessa.
Si consideri la figura seguente in cui le due aree sono state raffigurate in grigio chiaro e grigio
scuro: 8
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π [ ]
( )
( ) ( )
∫
= − − + =
2
A x x dx
2 2 sin 5 sin 2
1 0
π π
[ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( )
∫ ∫
= − + = − + =
2
2 sin x 5 sin x dx cos 2 x 1 5 sin x dx
0 0
( ) π
⎡ ⎤
sin 2 x [ ] [ ]
( ) π π
= − − = − + − − = −
x 5 cos x 5 5 10
⎢ ⎥
2
⎣ ⎦ 0
π [ ]
2 ( )
( ) ( )
∫
= − + − =
2
A 2 sin x 5 sin x 2 2 dx
2 π
π π
[ ]
2 2 [ ]
( ) ( ) ( ) ( )
∫ ∫
= − = − + − =
2 x x dx x x dx
