2011 - Liceo scientifico PNI, sessione ordinaria

Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria 2011, matematicamente.it

   



 

f x x ln 4 2

   

 

 

m lim lim 1 in quanto

  

  x

     

x x x e 1

x x  



  2 2

x ln 4  



   

 

lim 0

e ; il coefficiente q vale

lim 1  



  x

   

  x e 1

x x

x  

 

  2

    

  per cui l’asintoto obliquo

q lim f x x lim ln 4 ln 4



 

x

    e 1

x x  

destro ha equazione . Calcoliamo analogamente

r : y x ln 4

l’asintoto obliquo sinistro, sfruttando in questo caso che la funzione può

x

  2

e

   

essere scritta come , si ha:

f x x 2 ln 4 

x

e 1

   

 

  x

f x x 2 ln 4 2

e

   

 

 

m lim lim 1 in quanto

  

 x

     

x x x e 1

x x  

 

  x

2

e

x 2 ln 4 



   

 

lim 0

e in quanto

lim 1 

  x

   

  x e 1

x x

x    

x

2

e 1

 

 

 

lim 0

, lim 0 ; il coefficiente q vale

 

  

x

   

  x

e 1

x x  

x

 

  2

e

 

     

q lim f x x lim 2 ln 4 ln 4 in quanto

 



x

   

 

e 1

x x

 

x

2

e  per cui l’asintoto obliquo sinistro ha equazione

 

 

lim 0



x

   

e 1

x    .

s : y x 2 ln 4

Per dimostrare che il grafico della funzione sia compreso tra gli asintoti

  2 2

     

notiamo che in quanto per

f x x ln 4 x ln 4 0

 

x x

e 1 e 1

   

sta al di sopra dell’asintoto

f x

cui il grafico di ; inoltre

y x ln 4

x x

  2

e 2

e

        

f x x 2 ln 4 x 2 ln 4 0

in quanto per cui

 

x x

e 1 e 1

4

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    

sta al di sotto dell’asintoto

f x

il grafico di ; da queste

y x 2 ln 4

considerazioni segue quanto richiesto.

Prima di tracciare il grafico della funzione, discutiamo la

concavità/convessità della funzione. La derivata seconda è

    

2

   

2 x x x 2 x x

2 e e 1 2 e e 1 e 1

   

f '' x   4



x

e 1

    

    

x x 2 x x 2 x x x

2 e e 1 e e e 1 2 e e 1



   

4 3

 

x x

e 1 e 1

      

x

f ' ' x 0 e 1 x 0

per cui da cui deduciamo che la funzione

   

  

concavità verso l’alto in

ha e verso il basso in e

0

, ,

0

 



A 0

,

1 ln 4 è un flesso a tangente obliqua con equazione

x

   .

y 1 ln 4

2

Di seguito il grafico della funzione e dei due asintoti nello stesso

riferimento cartesiano. 5

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Punto 4  



L’integrale può essere interpretato geometricamente come l’area

I

della regione di piano delimitata dall’asse y, dalla retta di equazione

 

 , dall’asintoto r e dal grafico di . Calcoliamo ora esplicitamente

x    

 

    2

 

      

l’integrale richiesto: I f x x ln 4 dx dx .



 

x

e 1

0 0

  

x

Effettuando la sostituzione , gli estremi inferiore e

t e x ln t 



      per cui l’integrale si

x 0 t 1

, x t e

superiore diventano 

   e

  2 2

 

  

 

I dx dt

scrive .

 





 

x t t 1

e 1

0 1  

2 2

2 

L’integrando  

può essere scrittocome per cui

 

  

  

t t 1

t t 1

l’integrale diventa 6

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

  e 

 

 

 

e e

  2 2 2 t e

 

  

     

   

I dt dt 2 ln 2 ln 2 ln 2

 

  

   

    

t t 1 t t 1 t 1 e 1

1 1 1

  

Passando al limite per si ha

   

 

   

e e

 

     

   

   

lim I lim 2 ln 2 ln 2 2 ln lim 2 ln 2

 

 

  

  

   

e 1 e 1

   

 

2 ln1 2 ln 2 2 ln 2

che rappresenta l’area della regione di piano illimitata delimitata



dall’asse dall’asintoto

y, r e dal grafico di .

7

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PROBLEMA2

Per il progetto di una piscina, un architetto si ispira alle funzioni f e g

definite, per tutti gli x reali, da: 

   

  

3

f x x 16 x e g x sin x

2

1. Si studino le funzioni f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici in un

conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy. Si considerino i

punti del grafico di g a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa

 



nell'intervallo e se ne indichino le coordinate.

10

,

10

2. L'architetto rappresenta la superficie libera dell'acqua nella piscina

con la regione R  

delimitata dai grafici di f e di g sull'intervallo . Si calcoli l'area di

0

, 4

R.

3. Ai bordi della piscina, nei punti di intersezione del contorno di R con

 

y 15

le rette e

 

y 5 , l'architetto progetta di collocare dei fari per illuminare la

superficie dell'acqua. Si

calcolino le ascisse di tali punti (è sufficiente un'approssimazione a



1

10

meno di )

4. In ogni punto di R a distanza x dall'asse y la misura della profondità

dell'acqua nella vasca è

   

h x 5 x

data da . Quale sarà il volume d'acqua nella piscina? Quanti

litri d'acqua saranno

necessari per riempire la piscina se tutte le misure sono espresse in

metri? RISOLUZIONE

Punto 1    

3

f x x 16 x

Studiamo la funzione :

Dominio:R

Intersezione ascisse: 8

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    

             

3

f x x 16 x 0 x x 4 x 4 0 x 4 x 0 x 4

;

 

  

Intersezioni ordinate: ;

x 0 f 0 0

Simmetrie: la funzione è dispari in quanto somma di funzioni dispari;

       

         

3 3

infatti ;

f x x 16 x x 16 x f x

   

3

Positività: la cubica è fattorizzabile in

f x x 16 x

 

   

2 ; lo studio del segno dei singoli fattori e della funzione

f x x x 16

stessa sono rappresentati nel

quadro a lato: - - +

+



x 0 - -

+ +

 

      

2

x 16 0 x 4 x 4 

 4 4 x

0

- - +

+

          

3

f x x 16 x 0 4 x 0 x 4

Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è R;

   

Asintoti orizzontali: per cui non ve ne sono;

lim f x

 

x  

f x  

Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto lim

  x

x    

2

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è per cui è

f ' x 3 x 16

   

4 3 4 3

   

    

strettamente crescente in e strettamente

, ,

   

3 3

   

   

4 3 128 3

4 3 4 3  

  



decrescente in per cui è un massimo e

,

,  

  3 9

3 3  

 

 

4 3 128 3

 

 è un minimo come raffigurato nel quadro dei segni:

,

 

3 9

  9

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  4 3 4 3

     

f ' x 0 x x massimo minimo

3 3

  4 3 4 3

    

f ' x 0 x

3 3 x

4 3

 4 3

  4 3

   

f ' x 0 x 3 3

3   +



f ' ' x 6 x

Concavità e convessità: per cui la funzione ha concavità

 

   

  

verso l’alto in F 0

,

0

e verso il basso in quindi è un

0

, ,

0

 

flesso a tangente obliqua di equazione .

y 16 x

    

f ' ' x 0 x 0

    

f ' ' x 0 x 0 x

     -

f ' ' x 0 x 0 0 +

flesso

Il grafico è di seguito presentato: 10

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

 

    

g x sin x

La funzione è una classica funzione sinusoidale,

 

2

 che interseca l’asse delle ascisse nei punti

dispari, di periodo T 4

 

x 2

k k Z

con e il grafico è il seguente:

 

g x

I punti di a tangente orizzontale sono i punti in cui si annulla la

 

 

    

g ' x cos x

derivata prima e cioè:

 

2 2

  

   

  1  

       

    k Z

con

g ' x cos x 0 x k x 2 k 1

   

2 2 2 2

 



e nell’intervallo 10

,

10 i punti sono:

                   

         

9

, 1 , 7

,

1 , 5

, 1 , 3

,

1 , 1

, 1 , 1

,

1 , 3

, 1 , 5

,

1 , 7

, 1 , 9

,

1

Alternativamente, poichè i punti a tangente orizzontale sono i massimi e

i minimi della sinusoide, si avrà:

    

       k Z

sin x 1 x 2 k x 1 4 k

Massimi: con

2 2 2

  

3  

        k Z

sin x 1 x 2 k x 3 4 k

Minimi: con

2 2 2 11

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 



Nell’intervallo comprendente 5 periodi ci sono cinque

10

,

10 

massimi e cinque minimi: i massimi hanno ascissa con

x 1 4

k

11 9

                ed

10 1 4 k 10 k Z k k Z k 2

, 1

,

0

,

1

, 2

4 4

         

  

ordinata e sono ; i minimi hanno

y 1 7

,

1 , 3

,

1 , 1

,

1 , 5

,

1 , 9

,

1

 

ascissa con

x 3 4

k

13 7

                

10 3 4 k 10 k Z k k Z k 3

, 2

, 1

,

0

,

1

4 4

         

         

ed ordinata e sono .

y 1 9

, 1 , 5

, 1 , 1

, 1 , 3

, 1 , 7

, 1

Abbiamo così ritrovato gli stessi punti precedentemente calcolati.

Punto 2

La regione R è di seguito presentata:  

G 0

, 4

Dalla figura soprastante si evince chiaramente che il grafico in

g

G

sta sempre al di sopra del grafico ; tuttavia prima di procedere al

f  

   

 x 

f x g x 0

, 4

calcolo mostriamo analiticamente che .

12

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 

Nell’intervallo la disuguaglianza è verificata in quanto dal segno

0

, 2    

 

di entrambe deduciamo che .

f x 0 g x

     



  

Nell’intervallo g x sin x 1

la funzione in quanto la

2

,

3  



funzione seno ha come codominio mentre la funzione

1

,

1

    in quanto ha derivata seconda

3 è concava verso l’alto

f x x 16 x

     

        

positiva e, inoltre, poiché

f ' ' x 6 x f 2 24 1

, f 3 21 1

 



per convessità è minore di in tutto .

2

,

3

1  

   



Per dimostrare che vale la disuguaglianza anche in

f x g x 3

, 4

notiamo innanzitutto che entrambe le funzioni sono crescenti per cui

vale la seguente catena di disuguaglianze:

  

 

       

     

 

g ' x cos x g ' 4 11 f ' 3 f ' x

 

2 2 2

 

   

  

da cui deduciamo .

g ' x f ' x x 3

, 4

   

 

f 4 g 4 0

Ora poiché vale la seguente disuguaglianza:

   

4 4 4 4



g ' t f ' t

               

   

        

f x f 4 f ' t dt f ' t dt g ' t dt g 4 g ' t dt g x

x x x x

 

   



f x g x 3

, 4

cioè anche in ; in conclusione abbiamo provato che

 

   

 x 

f x g x 0

, 4 .

l’area richiesta vale

In definitiva 

 

 

4 4

 

     

 

     

  3

 

S R g x f x dx sin x x 16 x dx

 

 

2

0 0

  4



     

4

2 cos x x 2 2

          

   

2

 

8 x 64 128 64

  

   

 

4 0 13

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Punto 3    

   

f x 15 f x 5

Dobbiamo risolvere le equazioni e .

   