2016 Tema di matematica indirizzi Scientifico e Scientifico opzione scienze applicate

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

Sei addetto alla gestione di una macchina utensile in cui è presente un contenitore di olio lubrificante avente la forma di un cono circolare retto col vertice rivolto verso il basso. Il raggio di base del cono è 4 cm mentre l’altezza è 12 cm. In tale contenitore, inizialmente vuoto, viene versato automaticamente dell’olio cm 3 lubrificante alla velocità di . Devi assicurarti che il processo avvenga correttamente, senza produrre traboccamenti di olio.

1. Determina l’espressione della funzione
   [math]h(t)[/math]
   , che rappresenta il livello
   [math]h[/math]
   (in cm) raggiunto dall’olio all’istante
   [math]t[/math]
   (in secondi) e la velocità con la quale cresce il livello dell’olio durante il riempimento del contenitore.
2. Al fine di programmare il processo di versamento da parte della macchina utensile, determina il tempo
   [math]t[/math]
   necessario perché il contenitore sia riempito fino al 75% della sua altezza.
3. Devi realizzare un indicatore graduato, da porre lungo l’apotema del cono, che indichi il volume
   [math]V[/math]
   di olio presente nel recipiente in corrispondenza del livello raggiunto dall’olio
   [math]l_A[/math]
   , misurato all’apotema. Individua l’espressione della funzione
   [math]V(l_A)[/math]
   da utilizzare per realizzare tale indicatore graduato.
4. A causa di un cambiamento nell’utilizzo della macchina, ti viene richiesto di progettare un nuovo e più capiente recipiente conico, avente apotema uguale a quello del contenitore attualmente in uso. Determina i valori di
   [math]h[/math]
   e di
   [math]r[/math]
   in corrispondenza dei quali il volume del cono è massimo e verifica, a parità di flusso di olio in ingresso e di tempo di riempimento
   [math]t_R[/math]
   , a quale livello di riempimento si arriva. È ancora pari al 75% dell’altezza?

PROBLEMA 2

La funzione è così definita:

1. Dimostra che è una funzione dispari, che per
   [math] x \in ]0, \pi ] [/math]
   , si ha
   [math] f(x) \gt 0 [/math]
   e che esiste un solo valore
   [math] x_0 in ]0, 2pi] [/math]
   tale che
   [math] f(x_0) = 0 [/math]
   . Traccia inoltre il grafico della funzione per
   [math] x in [0, 5\pi] [/math]
   .
2. Determina il valore dell’integrale definito:
   [math] \int_0 ^ \frac{\pi}{2} f(x), dx [/math]
   e, sapendo che risulta:
   [math] \int_0 ^ \frac{\pi}{2} f^2(x), dx = \frac{\pi^3}{48} - \frac{\pi}{8} [/math]
   prova che risulta verificata la disequazione:
   [math] \pi^3 + 18\pi \lt 96 [/math]
   anche non conoscendo il valore di
   [math]pi[/math]
   .
3. Verifica che, qualsiasi
   [math] n \in \mathbb{N} [/math]
   , risulta:
   [math] \int_0 ^ {(2n+1)\pi} f(x), dx = 4 [/math]
   [math] \int_0 ^ {2n\pi} f(x), dx = 0 [/math]
4. Dimostra che i massimi della funzione
   [math] f^2(x) [/math]
   giacciono su una parabola e i minimi su una retta, e scrivi l'equazione della parabola e della retta.

QUESTIONARIO

1. Calcolare il limite:
   [math] \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\cos(x)-1)}{\ln (\cos^2(x))} [/math]
2. In media, il 4% dei passeggeri dei tram di una città non paga il biglietto. Qual è la probabilità che ci sia almeno un passeggero senza biglietto in un tram con 40 persone? Se il numero di persone raddoppia, la probabilità raddoppia?
3. Determinare il parametro reale
   [math]a[/math]
   in modo che i grafici di
   [math]y = x^2[/math]
   e di
   [math]y = -x^ 2+4x - a[/math]
   , risultino tangenti e stabilire le coordinate del punto di tangenza.
4. Dati i punti A(2, 4, -8) e B(-2, 4, -4), determinare l’equazione della superficie sferica di diametro AB e l’equazione del piano tangente alla sfera e passante per A.
5. Un'azienda produce, in due capannoni vicini, scatole da imballaggio. Nel primo capannone si producono 600 scatole al giorno delle quali il 3% difettose, mentre nel secondo capannone se ne producono 400 con il 2% di pezzi difettosi. La produzione viene immagazzinata in un unico capannone dove, nel corso di un controllo casuale sulla produzione di una giornata, si trova una scatola difettosa. Qual è la probabilità che la scatola provenga dal secondo capannone?
6. In un semicerchio di raggio
   [math]r = 10[/math]
   è inscritto un triangolo in modo che due vertici si trovino sulla semicirconferenza e il terzo vertice si trovi nel centro del cerchio. Qual è l’area massima che può assumere tale triangolo?
7. Calcolare, se esiste, il limite della seguente successione esplicitando il procedimento seguito:
   [math] \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1+ \frac{3}{n} \Big)^{-n} [/math]
8. Data la funzione
   [math]f(x) = -x^4 + 2x^2 + 8 [/math]
   , sia
   [math]g[/math]
   la retta passante per i punti A(0,8) e B(2,0). Si calcoli l’area della regione trattegiata indicata in figura.
9. Dati i punti (-2, 0, 1), (1, 1, 2), (0, -1, -2), (1, 1, 0), determinare l’equazione del piano
   [math]\alpha[/math]
   passante per i punti A, B, C e l’equazione della retta passante per D e perpendicolare al piano
   [math]\alpha[/math]
   .
10. Si consideri, nel piano cartesiano, la regione limitata
    [math]R[/math]
    , contenuta nel primo quadrante, compresa tra l'asse
    [math]y[/math]
    ed i grafici di
    [math]y = 2^x[/math]
    e
    [math]y = x^2[/math]
    . Si determinino i volumi dei solidi che si ottengono ruotando attorno all'asse
    [math]x[/math]
    e all'asse
    [math]y[/math]
    .