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Carlo Sintini, Maturità scientifica luglio 1951, Prova di matematica
Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1951 Luglio, matematicamente.it
Luglio 1951, primo problema
Nel triangolo ABC l’angolo di vertice B è di 60°. Determinare
k
l’ampiezza dell’angolo sapendo che è la misura, rispetto al
BAC 4
lato BC, dell’ipotenusa del triangolo rettangolo avente per cateti
due segmenti rispettivamente uguali ad AC e ala proiezione BH di
BA su BC.
Discutere i risultati ed esaminare i casi in cui x è uguale a 60°, 30°,
E’ facoltativa la discussione grafica.
90°.
Riferendoci al primo triangolo esprimiamo AC e BH in funzione di BC.
Per il teorema dei seni è
BC : sen x AC : 60
3
(1) AC BC 2sen x
Nel triangolo rettangolo AHC è inoltre
AH
sen 120 x AH ACsen 120 x
AC
Cioè, utilizzando la (1),
3sen 120 x 3 3 cos x sen x
AH BC AH BC
2sen x 4 sen x
Nel triangolo rettangolo AHB è allora
BH AH
ctg 60 BH
AH 3
3 cos x sen x
(2) BH BC 4sen x
Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1951 Luglio, matematicamente.it
La relazione fornita dal problema
LH k
BC 4
Può anche essere scritta nel modo seguente
2 2
k k k
2 2 2 2 2
LH BC LH BC AC BH BC
4 16 16
Sostituiamo le (1) e (2) in quest’ultima espressione
2
3 cos x sen x 2
3 k
2 2 2
BC BC BC
2 2
4sen x 16sen x 16
≠
Cioè, semplificando e sotto la condizione sen x 0,
2 2 2
15cos x 2 3 sen x cos x 13 k sen x 0
ABC 60
Dove la x può variare fra 0° e 120° (perché e la somma degli
angoli interni deve essere 180°).
Conviene allora trasformare l’equazione in funzione di ctg x dividendo
2
tutti i termini per sen x. Si ha
2 2
15ctg x 2 3 ctg x 13 k 0
3
ctg x k o
3
Ponendo
ctg x X
2
k Y
Si ottiene
2
Y 15 X 2 3 X 13
2
Y k
Cioè un arco di parabola con asse verticale, vertice nel punto
3 64
V ;
15 5
3
e
E ascissa compresa fra , e un fascio di rette orizzontali.
3
Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1951 Luglio, matematicamente.it
Vi sono due soluzioni per
64 8 5
2
k 16 k 4
5 5
E una soluzione per
2
k 16 k 4
k 2 5
Infine, per x = 30° è k = 8, per x = 60° è , e per
k 13
x = 90° è .
Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1951 Luglio, matematicamente.it
Luglio 1951, secondo problema
Fissato in un piano un sistema di coordinate ortogonali xOy, si
considerino le infinite parabole di equazione
2
y = x + px + q
dipendenti dai due parametri p e q.
Si esprima q per mezzo di p, in maniera che delle anzidette
parabole siano considerate soltanto quelle i cui vertici
appartengono alla parabola di equazione
2
– –
y = x 2x + 2
le equazioni delle rette passanti per l’origine O degli
Si determinino
assi e tangenti a una delle anzidette parabole e si trovi, in funzione
di p, la lunghezza della corda dei punti di contatto.
Quali sono le parabole per cui si ha la massima e la minima corda ?
Si deve imporre che i vertici delle infinite parabole di equazione
2
(1) y = x + px + q
passino tutti per la curva di equazione 2
– –
(2) y = x 2x + 2
Il vertice generico della (1) ha coordinate
b p
V
x 2a 2
2
4q p
V
y 4a 4
Imponiamo che tali coordinate appartengano alla (2)
2 2
4q p p
p 2
4 4
Semplificando si ottiene
q p 2
Che è la relazione fra p e q richiesta dal problema. Quindi la (1) può ora
essere scritta in funzione di un solo parametro
2
y = x + px + p + 2
Mettiamo a sistema questa equazione con la retta generica
y = mx passante per l’origine e imponiamo la conizione di tangenza