vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
Carlo Sintini, Maturità scientifica luglio 1941, Prova di matematica
Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1941 Luglio, matematicamente.it
–
Luglio 1941 Primo problema
Il settore circolare OAB è quarta parte di un cerchio di centro O e
raggio r. Determinare l’ampiezza dell’angolo che un raggio OP
interno ad esso deve fare con OA affinché, detto C il punto medio
del raggio OA e D la proiezione ortogonale di P su OB, si abbia
2 2 2
PC + PD = kr
Dove k è un numero positivo dato. Discussione.
Applichiamo il teorema di Carnot al triangolo COP
2
r 5
2 2 2 2
PC r 2r cos x r r cos x
4 4
Inoltre nel triangolo POD è
PD
2 2 2
cos x PD r cos x PD r cos x
PO
Applicando la relazione del testo si ottiene quindi
5
2 2 2 2 2
r r cos x r cos x kr
4
2
4cos x 4cos x 5 4k 0
0 cos x 1
Poniamo ora
cos x X
4k Y
Si ottiene il sistema
Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1941 Luglio, matematicamente.it
2
Y 4X 4X 5
Y 4k
1
Cioè una parabola con vertice in di cui ci interessa solo
V ; 4
2
l’arco utile RS, ed un fascio di rette orizzontali.
La retta del fascio passa per R ed S quando 5
4k 5 k 4
E per V quando
4k 4 k 1
Si hanno dunque due soluzioni per 5
1 k 4
Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1941 Luglio, matematicamente.it
–
Luglio 1941 Secondo problema
Risolvere il sistema
2 2
x y 2x
x 2y 2a
E discutere la realtà e il segno delle radici al variare di a, che si
suppone positivo. Casi particolari:
1 3 1 5
a a 1 a a
2 2 2
E’ in facoltà del candidato di ritrovare i risultati per via
geometrica, servendosi delle due linee (circonferenza e retta)
rappresentate dalle due equazioni del sistema.
Le due equazioni corrispondono ad una circonferenza di centro (1,0) e
raggio unitario, e di una retta che in forma esplicita diviene
1
y x a
2
Il suo coefficiente angolare è m = -1/2 ed a (che il testo prescrive sia
corrisponde al segmento intercettato sull’asse y.
positivo)
Ricavando la y dalla seconda equazione e sostituendo nella prima, si
ricava
2 2
5x 2x 2a 4 4a 0