la legge e l'ordine matematico dell'universo

La legge e l’ordine

matematico

dell’universo

Giacomini Alessandro

Liceo scientifico “Leonardo Da Vinci” Treviso classe V B 2008/2009

la legge e l'ordine matematico

dell'universo

Nella letteratura Nella letteratura

In Matematica In Fisica Nella Filosofia

Italiana Latina

La sezione Le interazioni

aurea e il Dante: il Il positivismo:

Lucrezio e la

fondamentali

numero "Paradiso" della filosofia epicurea

"Divina

d'Oro Comte

Commedia"

Interazione

elettromagnetica

Le equazioni di

Maxwell

Introduzione

La mia trattazione ha lo scopo di esporre come varie discipline trovino una legge ed un ordine

all’universo.

La mia ricerca inizierà dall’ambito scientifico trattando Matematica e Fisica, proseguirà poi con

l’ambito umanistico con la Letteratura Italiana, Letteratura Latina e Filosofia.

MATEMATICA

IL NUMERO D’ORO E LA SEZIONE AUREA

Matematica,

Dal punto di vista della a cominciare dai Greci, dai Pitagorici, poi Pacioli e Da Vinci

e tanti altri , si riteneva che l’Universo fosse in “ordine” e fosse regolato da una legge, identificata

nella sezione aurea e nel numero d’oro.

Keplero a riguardo scrive che questa proporzione servi da idea al Creatore per regolare l‘Universo.

"Sono convinto che questa proporzione geometrica servì da idea al Creatore, quando Egli introdusse

la generazione continua di forme simili da forme simili tra loro." Johannes Kepler (1571-1630)

« Il rapporto Aureo è una dimostrazione meravigliosa del fatto che l’uomo creatore e la natura si

S. Groenman –

servono degli stessi strumenti nel creare le forme per arrivare alla bellezza.»

Utrecht, 1969

IN GEOMETRIA

Partiamo dalla definizione classica di sezione aurea: dato il segmento AB si chiama sezione aurea

di AB il segmento medio proporzionale tra l'intero segmento e la parte rimanente.

In figura indichiamo con C il punto che divide il segmento AB nelle due parti richieste

Dev'essere: AB : AC = AC : CB (1)

Si dice per questo che il punto C divide il segmento AB in cioè che il

media ed estrema ragione,

segmento AC, detto la ovvero la è medio proporzionale tra l'intero

media ragione sezione aurea,

segmento AB e la parte rimanente, CB, ovvero l'estrema ragione.

Il numero d'oro è il rapporto costante fra un segmento e la sua sezione aurea.

Possiamo riscrivere la proporzione (1) come

AB : AC = AC : (AB - AC) (2)

e quindi

Indichiamo con il numero d'oro, ovvero il rapporto AB/AC e quindi con AB/phi il segmento

phi

AC.

Otteniamo: (3)

La radice positiva di questa equazione è il numero d'oro

Questa è l'espressione rigorosa diphi, mentre il valore approssimato più usato è 1,618.

Si osservi che l'equazione (3) ci consente di ricavare che può essere vista come

2 1 0

=φ +φ

φ

Cioè come successione

generalizzando per qualsiasi potenza del numero aureo l'equazione diventa:

+ 1 − 1

φ = φ + φ

n n n 

In generale possiamo dire che in una progressione geometrica di ragione il termine (n+1) è

phi,

uguale alla somma dei due termini che lo precedono (n) e (n-1).

Questa considerazione ci riporta alla più nota delle successioni di questo tipo, quella di Fibonacci,

che riportiamo:

Ogni termine di questa successione, com'è facile verificare, è uguale alla somma dei due termini

che lo precedono, dati i due termini iniziali, 1 e 1. Il rapporto fra un termine di questa successione

e quello che lo precede si avvicina sempre più a Ad esempio, 89/55 = 1,61818, come si vede, è

phi

già molto vicino a tale numero.

Dimostrazione:

In termini matematici più precisi possiamo scrivere:

Supponiamo che le precedenti frazioni convergano ad un valore definito x.

I termini di questa serie sono uguali (per induzione) a

= F + F

F

(n + 1) (n) (n − 1)

Perciò si avrà che:

Cioè uguale a 1 più il reciproco della frazione, che ripassando per il passaggio a limite, di cui

omettiamo i segni, possiamo riscrivere come segue.

che risolvendo darà φ.

Questa proprietà vale naturalmente per qualsiasi successione di questo tipo, per la quale cioè ogni

termine sia uguale alla somma dei due che lo precedono.

Proviamo a prendere due numeri a caso, 7 e 10, e costruiamo la successione corrispondente:

7 => 10 => 17 => 27 => 44 => 71 => 115 => 186 => 301 => 487 => …

Prendiamo due numeri consecutivi della successione, ad esempio 301 e 186, 301 : 186 = 1,

61828…

Un valore già molto vicino al numero d'oro.

RETTANGOLO D’ORO

Preso un rettangolo aureo, cioè il rettangolo i cui lati (base e altezza) sono in rapporto aureo, e

tagliando da questo un quadrato, quello che rimane è ancora un rettangolo

aureo, più piccolo.

L'operazione può continuare all'infinito, ritagliando quadrati che lasciano sempre rettangoli aurei.

Se uniamo poi i due vertici opposti dei quadrati successivi, com'è indicato in figura, otteniamo una

spirale logaritmica, nota come la "spirale d'oro". La spirale logaritmica è caratterizzata

dal fatto che le distanze fra i bracci della

spirale aumentano secondo una

progressione geometrica

La spirale si sviluppa intorno a un punto

detto «occhio di Dio», ossia il punto

d’incontro tra le due diagonali che si

intersecano in ciascuna coppia di

rettangoli.

MANIFESTAZIONI DELLA SPIRALE IN NATURA

La spirale logaritmica, che si ritrova sovente in

natura, è l'unico tipo di spirale che mantenga sempre

la stessa forma, quando continua ad allargarsi. In

botanica, fisica, zoologia, architettura, pittura e

musica, oltre che in geometria in alcune relazioni

riguardanti i poligoni regolari, la sezione aurea

interviene in modo insistente. Essa, che non è altro

che un semplice rapporto di numeri, si incontra

ovunque, in natura, come nella scienza e nell'arte, e "contribuisce alla

bellezza di tutto ciò che ci circonda."

Il rettangolo aureo nelle opere di Leonardo

e nella Venere di Botticelli

Manifestazioni della spirale nell’Universo

La spirale logaritmica, costruita secondo questa successione di numeri,

è riscontrabile nell’ Universo e dona la forma a certi tipi di galassie.

Sono le galassie a spirale a essere caratterizzate dalla forma a spirale

logaritmica. Queste hanno la forma di un disco, con un nucleo

globulare (bulge) e alcuni bracci a spirale che si avvolgono attorno ad

esso. IN FISICA

INTERAZIONI FONDAMENTALI

In natura sono state individuate quattro forze fondamentali, o interazioni fondamentali, che sono

alla base degli scambi di energia tra le particelle e che sono responsabili della struttura

dell'Universo.

Le interazioni sono descritte attraverso lo scambio di una o più particelle mediatrici di forza che

sono chiamati: bosoni di gauge, oppure quanti del campo di interazione e sono dei bosoni

mediatori

(ovvero hanno spin intero) vettori (ovvero hanno spin = 1, a parte il gravitone che dovrebbe avere

spin = 2). Queste particelle, trasportatrici dell'energia dell'interazione, vengono emesse e riassorbite

dalle particelle interagenti. Magnitudine Andamento Raggio

Teoria Interazione Mediatore relativa asintotico d'azione

Cromodinamica 38 0 -15

Interazione forte gluone 10 1,4 · 10 m

r

quantistica Interazione 36 2

Elettromagnetismo fotone 10 1/r

elettromagnetica

Teoria Bosoni Z, 25 -18

dell'interazione Interazione debole 10 10 m

W+ e W-

debole

Teoria della relatività 0 2

Gravità gravitone 10 1/r

generale

In particolare, la particella mediatrice della forza gravitazionale, il gravitone, è stata finora

ipotizzata ma non ancora rilevata da nessun esperimento.

Il raggio d'azione e l'intensità sono i due tratti più caratteristici di ciascuna interazione.

Semplificando, il raggio d'azione di un'interazione può essere pensato come la distanza massima

alla quale essa è influente. Ad esempio l'interazione gravitazionale ha un raggio d'azione infinito;

per questo motivo il Sole esercita la sua forza anche su corpi lontanissimi come Plutone, e

qualunque atomo dell'universo esercita una forza, seppur minima, su ogni altro atomo dell'universo.

Anche l'interazione elettromagnetica ha raggio d'azione infinito, mentre interazione forte ed

interazione debole hanno raggi d'azione finiti (e particolarmente piccoli, se raffrontati con le scale

umane).

L'intensità fornisce una misura dei rapporti di forza tra le interazioni di diversa natura.

Gli esperimenti hanno dimostrato che la forza forte è circa cento volte più tenace della forza

elettromagnetica e addirittura centomila volte più forte di quella debole.

Al contrario, a livello di particelle singole, la gravità è una forza praticamente impercettibile, più

debole della forza elettromagnetica di un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di volte (1

seguito da 36 zeri).

Interazione gravitazionale

•

La gravità è la più debole delle quattro forze, ma è quella a noi più familiare nella vita quotidiana e

fu la prima a essere studiata scientificamente.

Le proprietà dell'interazione gravitazionale si possono riassumere come segue: Tutti i corpi si

attraggono con una forza proporzionale alle loro masse e inversamente

proporzionale al quadrato della loro distanza. Tale forza giace sulla linea

congiungente i due corpi ed e' quindi un vettore.

In qualsiasi pezzo di materia la gravità di tutte le singole particelle che lo compongono, si somma.

Non esiste per la gravità una cancellazione come quella fra le cariche elettriche positive e negative

in un atomo. Quindi anche se molto minore di intesità delle altre forze, a livello macroscopico la

gravità, proprio per la sua addittività, produce effetti molto grandi.

Il raggio d'azione della gravità è infinito come quello dell'elettromagnetismo, e come accade per

l'interazione elettromagnetica, l'intensità dell'interazione gravitazionale diminuisce all'aumentare

della distanza tra i corpi interagenti.

La gravità è chiaramente un'interazione fondamentale della natura, ma la teoria del Modello

Standard non è ancora in grado di spiegarla e di inserirla in modo soddisfacente in un quadro

completo delle quattro interazioni fondamentali. Questo è uno dei principali problemi aperti della

fisica moderna. Inoltre il mediatore della gravità, per il quale si fa l'ipotesi che si tratti di una

particella di massa nulla (il gravitone), non è stato ancora sperimentalmente osservato.

Interazione elettromagnetica

•

L'interazione elettromagnetica è alla base di tutto i fenomeni elettrici e magnetici, e poiché

elettricità e magnetismo sono inseparabili, possiamo parlare in generale di fenomeni

elettromagnetici ha come bosone vettore il fotone e ha raggio d’azione infinito ed intensità relativa

-2

di circa 10 . Nell'elettromagnetismo abbiamo due tipi di interazione: attrattiva e repulsiva,

conseguente del tipo di carica positiva e negativa. Va fatto notare che la assegnazione del termine

positivo e negativo è solo una convenzione. I fenomeni elettromagnetici sono oramai parte

integrante della nostra vita: se oggi venisse a mancare l'energia elettrica saremo in guai seri. Gli

atomi sono composti da protoni e neutroni nel nucleo ed elettroni orbitanti. I protoni e gli elettroni

hanno cariche elettriche opposte per cui gli atomi sono elettricamente neutri. Quello che permette ai

vari atomi di legarsi insieme per formare le molecole, e poi ancor più molecole per gli amminoacidi,

e poi sostanze sempre più complesse, è la forza elettromagnetica residua, dovuta all'interazione

degli atomi con i loro vicini.

Interazione forte

•

L'interazione forte avviene tra i quark ed è mediata dai gluoni. Essa rende possibile l'esistenza del

nucleo atomico. Considerato il nucleo di un atomo qualsiasi, esso sarà composto da un numero di

protoni pari al numero atomico e da un numero di neutroni pari al numero di massa meno il numero

di protoni.

Essendo i protoni carichi positivamente (carica: +|-e|, con e carica elettrica negativa dell'elettrone),

se sono presenti, in uno stesso nucleo, due o più protoni, questi tenderanno a respingersi per azione

della forza elettromagnetica repulsiva che si instaura tra corpi elettricamente carichi con carica

elettrica dello stesso segno. Un nucleo in cui agisse solo la forza elettromagnetica sarebbe destinato

ad essere distrutto da queste forze repulsive. L'azione di allontanamento operata dai neutroni,