la scienza e gli ostacoli di ieri e di oggi

abandoned some of their principles and started believing in a new model: the

Tychonic system. According to this theory, the Earth was still the centre of the

universe and the Sun revolved around it, but all the other planets revolved around

the Sun. But the time of geocentrism was at that point finished.

In 1619, based on heliocentric model

Johannes Kepler constructed his three laws

and on the fact that planets move on elliptical paths. These laws are:

1. the orbit of every planet is an ellipse and the sun is in one of the focuses

2. a planet covers equal areas in equal period of time

3. the square of the orbital period of a planet is proportional to the cube of its

distance from the Sun

Using these laws, Kepler was the first astronomer to predict a transit of Venus ( for

the year 1631). A transit of Venus happens when

Venus passes between the Sun and the Earth,

obscuring a small part of the Sun. During a transit,

Venus is seen from the Earth as a small black disk

moving across the Sun. In 1687, Isaac Newton

asserted his law of universal gravitation, according

to which, the Earth and all the other planets are

kept together by a force called gravitation. After

this discovery, scientists were finally able to

construct a plausible heliocentric model of the solar

system and to demonstrate it empirically.

But the biggest problem that the heliocentric model had to face in order to be

accepted, was the reactions of the . Galileo defended

religious authorities

heliocentrism saying that it was not contrary to the Bible. He said that it’s

important while reading the Scripture not to take every single word literally,

because it is a book of poetry and songs and not a book of history and this was also

the attitude suggested by St. Augustine. He wrote “Dialogue concerning the two

chief world systems”, his best work, published in 1632, in which he compared the

two models, the geocentric and the heliocentric, and showed the validity of the

second one.

The Church, at first, authorised the publication of the book, but then Galileo was

put on trial in 1633 and condemned to home arrest till his death. Nicolaus

Copernicus published the definitive statement of his theory in “On the revolution”

in 1543, the year of his death. But he began to write it in 1506 and finished it in

1530, even if he was in good relation with the Church and he had dedicated his

work to Pope Paul III. The published version of the book opened with an unsigned

preface written by Andreas Osiander, a German Lutheran theologian, that stated

that the system proposed was a pure mathematical device and was not supposed to

be the reality. Because of that, at first, the work of Copernicus caused very little

debate. Only some Dominicans believed that this teaching should be banned.

However, some protestants, openly criticised it during the XVIth century. Martin

Luther once said: 9

is talk of a new astrologer who wants to prove that the earth moves and goes around

"There

instead of the sky, the sun, the moon, just as if somebody were moving in a carriage or ship

might hold that he was sitting still and at rest while the earth and the trees walked and

moved. But that is how things are nowadays: when a man wishes to be clever he must . . .

invent something special, and the way he does it must needs be the best! The fool wants to

turn the whole art of astronomy upside-down."

But over time, the Catholic Church

became the first enemy of the heliocentric

model. In fact, starting with Pope Urban

VIII, the Church became more and more

protective towards geocentrism and the

Pope himself became hostile to those who

defended that because also the

theocentric world view of humankind

was criticised. The debate progressed and

the Church took a harder attitude against

Copernican ideas. However, there was

someone that considered the heliocentric

model at least a model correct from the

point of view of mathematic. For

example, Cardinal Roberto Bellarmino,

said:

“If there were a real proof that the Sun is in the center of the universe, that the Earth is in

the third sphere, and that the Sun does not go round the Earth but the Earth round the Sun,

then we should have to proceed with great circumspection in explaining passages of

Scripture which appear to teach the contrary, and we should rather have to say that we did

not understand them than declare an opinion false which has been proved to be true. But I

do not think there is any such proof since none has been shown to me."

Therefore, Bellarmino was against the teaching of this theory and accepted it only if

considered an hypothesis and in 1616 he delivered a papal command not to “hold

or defend” the heliocentric idea. In 1633 the trial of Galileo took place,. He was

accused of heresy. Only in 1757 the Church, in the person of Pope Benedict XIV

suspended the ban on heliocentrism, after the publication of Newton’s work. 10

THE VIEW OF MODERN SCIENCE

Nowadays, astronomy is one of the most progressive science: the main missions are

the discovery of life on other planets, the achievement of new galaxies, the

explanation of the origin and the end of the Universe. At least, we surely know that

heliocentrism can explain our solar system but not the whole Universe.

The Sun is no more the centre of the Universe but it is one of millions and

Even if we consider only the solar

millions of stars that compose all the galaxies.

system, the Sun is not the geometric center of the planets’ orbits, but it’s rather one

of the two focuses of their elliptical orbits. Then, after the publication of the

principle of relativity by Albert Einstein, astronomy has changed again and has

adapted itself to that. Despite all this, even nowadays, the geocentric model still

exists and is used for everyday activities and laboratory experiments. For example,

astrologers still employ the geocentric model in their calculations, even if they do

not believe in that. But if you want to explain the solar system’s mechanics, you

have to consider the heliocentric model. 11

LA GEOMETRIA: IL LIMITE EUCLIDEO

La scienza è sempre stata considerata la disciplina esatta ed indiscutibile per

eccellenza. La matematica e la geometria, in questo senso non fanno eccezione.

Esse, infatti, sono universalmente considerate i pilastri fondanti di tutte le ricerche

scientifiche moderne, perché assolutamente indispensabili ed incrollabili. Non a

caso tutti sanno che “la matematica non è un’opinione“. Queste due discipline

hanno sempre fatto parte della vita dell’uomo, persino agli inizi della civiltà, e

hanno contribuito alla realizzazione del mondo come lo conosciamo ora. Perciò

prima di poter parlare del limite che la geometria euclidea ha rappresentato per

secoli è necessario capire da dove essa sia nata. La geometria trova le proprie

origini nella soddisfazione di bisogni pratici, in particolare nasce dall’esigenza di

misurare i campi, tanto è vero che il termine stesso geometria significa “misura

della terra” (da ge = terra e metron = misura). Gli Egizi e i Babilonesi furono i primi

a parlare di concetti come l’area, la lunghezza, il volume, concetti per noi quasi

scontati, ma estremamente utili per costruire strade, templi, dividere campi.

In Grecia, l’attività culturale era estremamente florida e si può dire che qui tutto il

sapere matematico venne rielaborato e di molto espanso. Basti pensare alla scuola

Pitagorica o a Euclide per capire quanti passi avanti abbiano fatto la matematica e

la geometria in quel tempo. Oramai, si rendeva necessaria una teorizzazione di

tutti i principi geometrici già utilizzati a livello pratico per poter considerare la

geometria non più solo uno strumento, ma anche una scienza. Ed è proprio stato

questo il merito di Euclide, l’essere stato capace di svincolare la geometria dagli

oggetti materiali e l’averla resa un insieme unitario di principi.

Di e della sua vita sappiamo molto poco e le uniche testimonianze rimaste

Euclide sono quelle di Proclo, filosofo vissuto nel V secolo d.c. Dai suoi scritti

è possibile dedurre che Euclide sia vissuto attorno al 300 a.c. ad

Alessandria d’Egitto. La sua opera più importante, in cui egli pone la

basi per la sua geometria, si intitola Essa è composta da

“Elementi”.

13 libri e riassume tutte le conoscenze geometriche del tempo messe

insieme e rielaborate da Euclide stesso. Dei tredici libri, i primi sei

trattano le proposizioni fondamentali della geometria piana, i

successivi tre trattano i numeri e le loro proprietà (Euclide fu il primo

a teorizzare che i numeri fossero infiniti), il decimo classifica i numeri

irrazionali e gli ultimi tre studiano la geometria solida. L’opera, che

originariamente non aveva né prefazione né introduzione, cominciava proponendo

una serie di definizioni a cui seguivano 4 assiomi e 5 postulati e alcuni teoremi.

Euclide evidenzia la differenza fra i due, definendo l’assioma come un principio

generale della logica, cioè una verità inconfutabile; i postulati, invece, sono

affermazioni dal contenuto geometrico. Perciò, si può dire che sui 5 postulati egli

ha fondato tutta la sua riflessione e ha costruito la sua geometria.

Essi sono: 12

1. Da un punto ad ogni altro punto è possibile condurre una linea retta

2. Un segmento di linea retta può essere indefinitamente prolungato in linea

retta

3. Con centro e raggio scelti a piacere è possibile tracciare una circonferenza

4. Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro

5. Se una retta, intersecando altre due rette, forma con esse angoli interni da

una medesima parte la cui somma è minore di due retti, allora queste due

rette indefinitamente prolungate finiscono con l’incontrarsi.

I primi 4 postulati vennero subito accettati, in quanto visti come verità

assolutamente inconfutabili. Il problema si pose invece sull’interpretazione del V

La spiegazione di per sé, è piuttosto semplice:

postulato.

La retta GF interseca le altre due rette, AB e CD. Essa forma con queste coppie di

angoli interni, che sono appunto α, β, γ e δ. Se la somma degli angoli di una delle

due coppie fosse minore di 180°, allora le rette AB e CD opportunamente

prolungate si intersecheranno.

Sulla base di questo postulato e degli altri quattro si fondano molti altri teoremi

altrettanto importanti come il teorema di Pitagora, piuttosto che il teorema della

somma degli angoli interni. Resta a questo punto da capire come mai il V postulato

ha creato così tanti problemi e discussioni per i matematici dei secoli successivi.

Infatti, per molto tempo, esso non venne ritenuto un postulato al pari degli altri

quattro. Euclide stesso aveva molti dubbi riguardo la formulazione del V postulato

tanto che rimase indeciso fino all’ultimo sulla sua pubblicazione e non lo utilizzo

per spiegare le prime 28 proposizioni. Molti lo ritennero un teorema (in quanto

scritto come se….allora…) e come tale andava dimostrato tramite l’utilizzo degli

altri postulati. Tutto ciò diede origine a numerose pseudo dimostrazioni che si

rivelarono inesatte e non portarono a nulla.

La figura, invece, dimostra ciò che il

postulato intendeva e che verità

geometrica voleva affermare. 13

Il tentativo più importante di dimostrazione del V postulato fu quello di Gerolamo

(1667- 1733), matematico e padre gesuita. Egli infatti non cercò di

Saccheri

riformulare il V postulato, come in molti prima di lui avevano fatto, ma ipotizzò la

sua negazione, convinto di arrivare ad un assurdo. Egli voleva quindi fare una

dimostrazione per assurdo. In realtà, sebbene inconsapevolmente, stava mettendo

le basi per la nascita di due nuove geometrie, dette appunto non euclidee in cui il V

postulato è negato. Egli scrisse un trattato a questo proposito “ Euclides ab omni

naevo vindicatus”, i cui obiettivi principali erano la dimostrazione della veridicità

del postulato e la sua possibile deduzione dai postulati precedenti. Egli costruì una

figura formata da due lati opposti uguali fra loro e da altri due lati perpendicolari

ai primi chiamati base e sommità. Il risultato che ottenne fu un quadrilatero bi-

rettangolo isoscele come quello in figura.

.