La scoperta delle geometrie non euclidee

Capitolo 1

Gli di Euclide e il

Elementi

V postulato

1.1 Euclide di Alessandria

La geometria euclidea deve il suo nome al grande matematico dell’antichità

greca Euclide, autore di una delle più celebri opere di matematica della storia,

gli Conosciamo molto poco intorno alla vita del famoso matematico:

Elementi.

per certo si sa che visse tra il IV e il III secolo a.C. Una delle poche testimonianze

note su Euclide è quella del filosofo bizantino Proclo (412-485 d.C.), che nel

Elementi scrive:

Commento al primo libro degli di Euclide

Visse al tempo del primo Tolomeo, perché Archimede, che visse su-

bito dopo Tolomeo primo, cita Euclide [. . . ] Euclide era dunque più

giovane dei discepoli di Platone, ma più anziano di Eratostene e di

Archimede [. . . ]

Proclo pone quindi Euclide dopo Platone (che morı̀ nel 347 a.C.) e prima di

Archimede (che nacque nel 289 a.C.); ci dice inoltre che Euclide visse durante il

regno di Tolomeo I. Quest’ultimo istituı̀, ad Alessandria, un’accademia nota co-

me il Museo, nella quale chiamò ad insegnare, insieme ad altri eminenti studiosi,

Euclide. Per questo l’autore degli è noto come Euclide di Alessandria,

Elementi

e non come Euclide di Megara con il quale spesso è stato confuso.

1.2 Il metodo assiomatico

Gli di Euclide sono il primo testo in cui viene fatto uso del metodo

Elementi

assiomatico: vediamo in breve di che cosa si tratta.

Una conoscenza matematica (o geometrica) si esprime attraverso una pro-

posizione, come ad esempio la seguente: “In un triangolo non vi possono essere

due angoli retti”. Data una certa proposizione, il problema è quello di stabilire

se essa sia vera o falsa. Non si può, in matematica, stabilire la verità di una

certa proposizione in assoluto, ma sempre in relazione ad altre proposizioni. Per

provare quindi che una certa proposizione è vera, bisogna dimostrare che essa

segue logicamente da una serie di altre proposizioni. Ma queste ultime sono vere

3

Figura 1.1: Particolare della di Raffaello, in cui è rappresentato

Scuola di Atene

Euclide (da http://it.wikipedia.org).

o false? Per provarlo si dovrebbe fare riferimento ad altre proposizioni ancora.

Questo porta però ad un regresso infinito: si finirebbe cioè per doversi riferire

continuamente ad altre proposizioni. Proprio per evitare questo problema, i

matematici hanno elaborato il metodo assiomatico. Esso si basa sull’assunzio-

ne iniziale di alcune proposizioni, dette esse vengono accettate come

assiomi:

vere senza bisogno di una dimostrazione. Secondo questo metodo, una data

proposizione è vera se, e solo se:

è un assioma; opppure

• è un teorema dimostrato correttamente a partire dagli assiomi o da pro-

• posizioni già dimostrate in precedenza.

La verifica della correttezza di una dimostrazione è oggetto di studio della

disciplina chiamata logica.

In un assioma, o in una generica proposizione, vi possono essere dei termi-

ni che hanno bisogno di una definizione. Ad esempio la proposizione “Si dice

isoscele un triangolo avente due lati uguali” è una definizione del termine “iso-

scele”. Il termine che va definito (in questo caso la parola “isoscele”) si chiama

mentre la proposizione che definisce, cioè la definizione in sè, è det-

definiendum,

ta Nel definiens saranno presenti altri concetti che bisogna definire

definiens.

(nell’esempio, i termini “triangolo” e “lato”). Come nel caso della dimostrazione

delle proposizioni, anche in questo caso si andrebbe incontro ad un regresso in-

finito. Per evitare questo, vengono perciò elencati, inizialmente, alcuni concetti

cioè termini che non vengono definiti. Risulta interessante notare che,

primitivi, 4

sebbene i concetti primitivi non vengano definiti esplicitamente, essi vengono

definiti implicitamente dagli assiomi che ne fanno uso.

In una teoria assiomatica, quindi, si elencano innanzitutto una lista di con-

cetti primitivi e una lista di assiomi. Tutti gli altri concetti saranno poi definiti

a partire dai concetti primitivi, e tutte le altre proposizioni verranno dedotte,

mediante dimostrazioni, a partire dagli assiomi.

1.3 Gli Elementi

Euclide raccolse negli gran parte delle conoscenze matematiche del

Elementi

tempo, e fu il primo ad organizzarle secondo il metodo assiomatico. L’opera è

suddivisia in tredici libri, che trattano la geometria piana elementare, la teoria

1

dei numeri, gli incommensurabili e la geometria solida.

Il libro I inizia con un elenco di ventitrè definizioni, tra cui:

Un punto è ciò che non ha parti

• Una linea è una lunghezza senza larghezza

• Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza

•

Si può obiettare dicendo che in realtà queste non sono vere definizioni: manca

infatti, nell’opera di Euclide, l’elenco dei concetti primitivi. Nelle moderne

assiomatizzazioni, proprio i concetti di punto, retta e piano sono assunti come

primitivi.

Dopo le definizioni, Euclide elenca cinque postulati e cinque nozioni comuni

(o assiomi). Nella matematica moderna non vi è una distinzione tra assiomi

o postulati. Secondo la concezione classica di teoria assiomatica (che si può

ricondurre ad Aristotele), invece, gli assiomi sono quegli enunciati convincenti

di per sè, in quanto verità comuni a tutte le scienze, mentre i postulati sono

proposizioni meno evidenti, che riguardano soltanto la disciplina in questione

(la geometria nel nostro caso). Le nozioni comuni sono le seguenti:

1) cose uguali a una medesima cosa sono uguali anche tra loro;

2) se cose uguali vengono aggiunte a cose ugali, gli interi sono uguali;

3) se cose uguali vengono sottratte da cose ugali, i resti sono uguali;

4) cose che coincidono l’una con l’altra sono uguali l’una all’altra;

5) l’intero è maggiore della parte.

Questi assiomi enunciano proprietà molto generali della relazione d’identità o

delle relazioni d’ordine. I postulati affermano che:

I) si possa tracciare una retta da un punto qualsiasi a un punto qualsiasi;

II) si possa prolungare indefinitamente una linea retta;

III) si possa descrivere un cerchio con un centro qualsiasi e un raggio qualsiasi;

1 Per “incommensurabile” si intende un numero irrazionale, cioè non esprimibile come

rapporto di due interi. 5

Se + 2 retti

α β <

allora e si incontrano in un punto

r s P

b β s

t α P

b b

r

Figura 1.2: Il V postulato

IV) tutti gli angoli retti siano uguali;

V) se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli

interni inferiori a due angoli retti, le due rette, se estese indefinitivamente,

si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due angoli

retti.

In riferimento alla figura 1.2, il V postulato afferma che, se due rette e

r s

tagliate da una terza retta formano due angoli e tali che + è minore

t α β α β

di due angoli retti, allora ed si incontrano in un punto dalla parte di in

r s P t

cui vi sono e Il V postulato, per ragioni che vedremo più avanti, è detto

α β.

anche postulato delle parallele.

Anche a una prima lettura, si nota immediatamente quanto il V postulato

sia più complesso e meno intuitivo degli altri. Proprio questo postulato ha

un’importanza fondamentale nella nascita delle geometrie non euclidee, come

vedremo nei prossimi capitoli.

1.4 Il problema del V postulato

Secondo la concezione classica di teoria assiomatica, gli assiomi (o postulati)

devono essere proposizioni la cui verità risulti particolarmente “evidente”. Fin

dall’antichità i matematici hanno ritenuto che il V postulato non avesse il grado

di evidenza proprio di un assioma, e probabilmente anche lo stesso Euclide. In-

fatti nelle 32 proposizioni che, negli seguono agli assiomi e ai postulati,

Elementi,

Euclide fa uso del V postulato solo dopo le prime 28 proposizioni. Questo fatto è

un’anomalia, dal momento che Euclide, fin dalle prime proposizioni, sfrutta tutti

gli altri quattro postulati. Questo avvalora la tesi che Euclide abbia esitato mol-

to prima di includere tra gli assiomi il V postulato, tentandone probabilmente

una dimostrazione a partire dai primi quattro postulati. Come si può risolvere

allora il problema dell’evidenza del V postulato? Ci sono sostanzialmente tre

vie.

Un primo modo è quello di cercare di dimostrarlo a partire dai primi quattro.

La geometria che si basa sui primi quattro postulati di Euclide viene chiamata

Quindi il problema si risolve se si riesce a dimostrare il

geometria assoluta. 6

V postulato nella geometria assoluta. Per più di duemila anni innumerevoli

matematici si sono cimentati in quest’impresa, fallendo.

Un secondo modo è quello di trovare una proposizione dalla quale sia

P

deducibile il V postulato e includere tra gli assiomi. Naturalmente questa

P

proposizione dovrà avere un grado di evidenza maggiore del V postulato.

P

Neanche questa via ha condotto ad una soluzione.

La terza via, che si è poi rivelata quella corretta, è far vedere che il V

postulato Prima di arrivare a

non è dimostrabile nella geometria assoluta.

questa importantissima conclusione si è dovuti passare attraverso moltissime

“dimostrazioni” (tutte errate) del V postulato.

1.5 Il postulato dell’unicità della parallela

Durante la lunga storia dei tentativi di dimostrazione del V postulato sono

2

state individuate molte proposizioni equivalenti al V postulato. La più famosa

3

è quella dell’unicità della parallela , la quale afferma che:

Dati un punto e una retta non passante per quel punto, esiste al più

una retta passante per il punto e parallela alla retta data.

Questa proposizione, essendo equivalente al V postulato, può essere sostituita ad

esso, ed è proprio ciò che si fa nelle moderne assiomatizzazioni della geometria

euclidea. Si noti che questo assioma afferma che esiste una parallela;

al più

il fatto che ne esista effettivamente una può essere dimostrato in geometria

assoluta, e quindi non c’è bisogno di assumerlo come assioma.

2 Due proposizioni e si dicono equivalenti se vale

P Q P Q

⇔

Il simbolo sta per “se e solo se”. Per dimostrare che e sono equivalenti, quindi, non

P Q

⇔

solo bisogna mostrare che se vale allora vale ma anche che se vale allora vale .

P Q, Q P

3 Secondo la definizione di Euclide, due rette che appartengono a uno stesso piano si dicono

parallele se non hanno alcun punto in comune.

7

Capitolo 2

La nascita delle geometrie

non euclidee

Come accennato in precedenza, il V postulato ha un’importanza fondamentale

nello sviluppo delle geometrie non euclidee. Per secoli moltissimi matematici

hanno prodotto delle dimostrazioni del V postulato, tutte sbagliate. L’erro-

re stava, nella maggior parte dei casi, nell’assunzione, spesso inconsapevole e

implicita, di un postulato equivalente a quello da dimostrare: si entra in un cir-

colo vizioso, e ciò falsa la dimostrazione. Solo nell’Ottocento alcuni matematici

hanno cominciato a convincersi che il V postulato fosse indimostrabile nella geo-

metria assoluta, cioè nel sistema formato dai primi quattro postulati di Euclide.

Si capı̀ dunque che il V postulato poteva anche essere negato, senza giungere ad

alcuna contraddizione. Se alla geometria assoluta viene aggiunta la negazione

del V postulato come assioma, si ottiene una nuova geometria, detta iperbolica.

Questa è chiamata geometria non euclidea proprio perché si differenzia da quella

basata sui cinque postulati di Euclide, in particolare sul quinto. Come vedremo

più avanti, esistono anche altre geometrie considerate non euclidee, come quella

Per quest’ultima, però, è necessario operare delle modifiche anche agli

sferica.

altri assiomi della geometria assoluta.

2.1 L’importanza dell’opera di Saccheri

Tra i tentativi di dimostrazione del V postulato il più significativo è senza dubbio

quello dell’italiano Girolamo Saccheri (1667-1733), un gesuita che insegnò in

vari collegi del suo ordine in Italia. Saccheri era profondamente convinto che la

geometria euclidea fosse l’unica valida, ed era quindi sicuro della dimostrabilità

del V postulato. Nell’anno della sua morte, egli pubblicò l’opera Euclides ab