La sezione aurea, equilibrio e bellezza

Indice generale.

la sezione aurea.

Φ, Definizione di sezione aurea.

 Le proprietà di Φ.

 Frazioni continue e Radici nidificate.



La sezione aurea in geometria.

Rettangolo aureo e triangolo aureo.

 La spirale aurea.



Il numero d’oro nella Successione di Fibonacci.

La successione di Fibonacci in natura.



Musica e Matematica: la sezione aurea al servizio delle composizioni.

Le impostazioni formali nella musica del Medioevo.

 La «secretissima da Pacioli agli autori del Novecento.

scientia»,



La «divina proporzione», canone di armonia nell’arte.

L’indagine psicologica sulla sezione aurea.

 La sezione aurea nella pittura Rinascimentale.

 Leonardo da Vinci

• Piero della Francesca, il e la

Libellus de quinque corporibus regularibus

• Sacra Conversazione.

Il modulor, «una misura di armonia, universalmente applicabile».



Schopenhauer, la liberazione nel piacere estetico.

Il Mondo come volontà e rappresentazione.

 La via della liberazione.

 La contemplazione estetica nell’arte.

 La musica, «lingua universale» e «panacea di tutti i nostri mali».

 Una consolazione provvisoria.



Bibliografia.

Sitografia. 3

Φ , la sezione aurea.

Vogliamo trattare di un numero, un numero misterioso, una «La geometria possiede due grandi

tesori: uno è il teorema di Pitagora;

proporzione geometrica in cui non ci si imbatte solo nello l’altro è la divisione di una linea

studio della matematica, ma anche in quello dell’arte, della secondo il rapporto estremo e medio.

Possiamo paragonare il primo a una

Φ

musica e delle scienze naturali: questo numero è (phi), certa quantità d’oro, e definire il

1,6180339887… . secondo una pietra preziosa».

Keplero (1571 – 1630).

La definizione del rapporto aureo si fa

risalire a tempi remotissimi: i discepoli

e seguaci di Pitagora l’avrebbero

imparata addirittura dai popoli della

Mesopotamia. Secondo il filosofo e Definizione di sezione aurea.

storico Giamblico è Ippaso di

Metaponto, che associa ad esso il Vediamo dunque definire questo particolare rapporto,

concetto di incommensurabilità, a

divulgarne la natura anche «a chi non conosciuto fin dall’antichità e che durante i secoli è stato

era degno di conoscere»*; questo gli indicato con nomi che rimandano all’oro, simbolo di

procura il disprezzo dei compagni e la

cacciata dalle associazioni pitagoriche. quanto di più nobile, prezioso e inalterabile possa esistere:

* da 300

Silloge delle dottrine pitagoriche, «rapporto aureo», «sezione aurea», «numero d’oro».

d.C. circa, Giamblico

Storicamente la prima chiara definizione viene formulata da Euclide. Il matematico greco, fondatore

della geometria in quanto sistema deduttivo, nel VI libro dei suoi scrive:

Elementi

proporzione estrema e media

«Si può dire che una linea retta sia stata divisa secondo la quando

l’intera linea sta alla parte maggiore così come la maggiore sta alla minore».

Ne deriva quindi (in base alla figura) che il rapporto tra l’intera “linea retta” AB e il segmento

maggiore AC è uguale al rapporto tra segmento maggiore AC e segmento minore CB.

AB/AC=AC/CB

4

Scegliendo come unità di misura il segmento più breve (CB=1) e indicando il segmento maggiore

con (in quanto x è un fattore sconosciuto, che sappiamo essere maggiore di 1), possiamo dire che

x

sta ad 1 come + 1 sta ad

x x x. /1 = (x + 1)/x

x

Risolvendo l’uguaglianza rispetto ad si ottiene l’equazione di secondo grado:

x - - 1 = 0

2

x x

Le due soluzioni , dell’equazione sono:

x x

1 2

La soluzione positiva = (1 + √5) / 2 è quella che fornisce il valore del cosiddetto “rapporto aureo”:

x 1

1,6180339887…, privo di sequenze ripetitive nelle sue infinite cifre decimali; numero irrazionale

poiché è dato dalla metà della somma di 1 e della radice quadrata di 5.

All’inizio del XX secolo il matematico

americano Mark Barr introduce, al posto del Le proprietà di Φ.

precedente simbolo τ , l’uso della lettera greca

Φ (phi) per indicare la sezione aurea. Questo Il perché questo numero abbia affascinato così tanto

simbolo vuole rendere omaggio allo scultore studiosi di tutte le discipline va ricercato, innanzitutto,

greco Fidia: secondo molti storici dell’arte, nei nelle sue singolari proprietà algebriche, che troviamo

suoi capolavori, come il Tempio di Athena

Parthenos (il Partenone), egli ha spesso riassunte in versi in questa poesia:

applicato volontariamente e con precisione il

rapporto aureo. Media costante

La media aurea non è affatto banale

Tutt’altra cosa che un comune irrazionale.

Capovolta, pensate un po’, resta se stessa meno l’unità.

Se poi di uno la aumentate

Quel che otterrete, vi assicuro, è il quadrato.

…

Scritta come frazione con continuità,

è uno, uno…, fino a sazietà;

così chiara che più chiara alcuna non resta

(non vi comincia a girare un po’ la testa?)

Paul S. Bruckman, da “The Fibonacci Quarterly”, 1977.

5

Vediamo di chiarire meglio i concetti espressi da Bruckman.

Se capovolgiamo Φ, cioè ne calcoliamo il reciproco 1/Φ, il risultato che otteniamo è esattamente

Φ - 1. Se osserviamo l’equazione di secondo grado grazie alla quale abbiamo individuato il valore

2 2

- - 1 = 0), possiamo notare come questa si possa scrivere anche nella forma = + 1.

di Φ (x x x x

Portando a sinistra e dividendo per entrambi i membri, abbiamo allora che

x x - 1 = 1 /

x x ,

ciò che volevamo dimostrare.

È immediato intuire poi come il quadrato di Φ meno l’unità dia ancora una volta il valore di Φ,

– 1 =

2

x x.

Frazioni continue e Radici nidificate.

Considerando la prima proprietà su Φ che abbiamo mostrato possiamo dimostrarne un’altra.

Dall’equazione - 1 = 1/x troviamo un’ulteriore definizione della sezione aurea, ossia Φ = 1 + 1/Φ.

x

Se sostituiamo, nella parte destra, al posto di Φ questa nuova espressione otteniamo

Φ = 1 + 1/ (1 + 1/ Φ ). Ripetendo lo stesso procedimento per più volte diamo origine a un caso

particolare di un tipo di entità matematiche chiamate “frazioni continue”:

φ φ

2 1

= +

φ 1 1

+

φ 1

= = +

φ φ 1

1

1

φ φ φ 1

1

1

= + = + = + 1

1

1 1

1

1 + + + 1

1

φ 1

1 + + 1

φ 1 + ...

Vi sono numerose altre curiosità matematiche riguardo a Φ, ma mostreremo solamente un'altra

equazione che, come l’esempio di frazione continua appena citato, ci fornisce il valore del rapporto

aureo tramite un’espressione senza fine. Abbiamo già visto come, modificando la disposizione

6 2

dell’equazione di partenza, possiamo scrivere che = + 1. Sapendo che cioè Φ è un numero

x x x,

maggiore di 0 possiamo estrarre la radice quadrata da entrambi i membri, ottenendo = √1 +

x x.

Seguiamo il procedimento dell’esempio precedente per ottenere una serie di “radici nidificate”:

φ φ

2 1

= +

φ φ

1

= +

φ φ

1 1

= + +

φ φ

1 1 1

= + + +

φ 1 1 1 ...

= + + +

La sezione aurea in geometria.

La sezione aurea è spesso messa in relazione, in geometria, con molte figure, piane e solide, in

particolare al pentagono regolare. Nel poligono legato tradizionalmente alla scuola pitagorica,

infatti, essa si riscontra nel rapporto fra la diagonale e il lato. Nel decagono poi esprime il rapporto

fra la misura del raggio della circonferenza circoscritta e del lato; per quanto riguarda la geometria

solida il numero d’oro si lega al dodecaedro, il poligono a dodici pentagoni, e all'icosaedro,

1

entrambi solidi platonici .

0F

Rettangolo aureo e triangolo aureo.

Esistono due poligoni in cui la presenza di Φ nel rapporto fra i loro lati ha fatto sì che venissero

definiti “aurei”. Il primo è il “rettangolo aureo”, in cui il rapporto fra base e altezza è uguale al

1 I cinque solidi platonici sono circoscrivibili da una sfera e formati da facce tutte uguali ed equilatere.

Secondo Platone, tetraedro, cubo, ottaedro e icosaedro sono legati ai quattro elementi (fuoco, terra, aria,

acqua), mentre il dodecaedro descrive l’universo nel suo insieme. Successivamente questo solido sarebbe

stato collegato al quinto elemento, l’etere. 7

2

rapporto aureo ; il secondo è il “triangolo aureo” in cui Φ è dato dal rapporto tra il lato obliquo e la

1F

3 .

base 2F

Costruzione del rettangolo aureo. Il triangolo aureo è lo stesso triangolo

che si forma se si considerano le

diagonali e un lato del pentagono

regolare.

La spirale aurea.

Se all’interno del rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del

rettangolo, anche il rettangolo differenza è un rettangolo aureo. Ripetendo l’operazione, si ottiene

una sequenza infinita di quadrati e rettangoli aurei. Se si traccia, poi, attraverso questi quadrati, una

serie di archi circolari che hanno come raggio i lati dei quadrati stessi, la curva che ne consegue è la

cosiddetta spirale aurea. Quest’ultima è un elemento che si trova spesso anche in natura, ad esempio

nella conformazione della conchiglia del Nautilus.

La “spirale aurea”: la serie di rettangoli La conchiglia del Nautilus segue la curva della

aurei sempre più piccoli “converge” spirale aurea: il rapporto tra il diametro di una

intorno a un punto che non raggiunge mai Φ

spira e quello della precedente è uguale a .

e detto “occhio di Dio”, dato

dall’intersezione delle diagonali di due

rettangoli successivi.

2 Il rettangolo aureo viene frequentemente utilizzato in arte e, come vedremo, ad esso è attribuita la proprietà

di dare equilibrio e armonia alle composizioni.

3 Il triangolo aureo è un triangolo isoscele con angoli di 36°, 72°, 72° ed è lo stesso triangolo che si forma se

si considerano le diagonali e un lato del pentagono regolare.

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Il numero d’oro nella Successione di Fibonacci.

Un uomo mise una coppia di conigli in un luogo circondato da tutti i lati da un muro. Quante

coppie di conigli possono essere prodotte dalla coppia iniziale in un anno supponendo che ogni

mese ogni coppia produca una nuova coppia in grado di riprodursi a sua volta dal secondo mese?

Leonardo Fibonacci (c. 1170 – 1240), “Liber abaci”, 1202.

È da questo problema sull’allevamento dei conigli che il matematico Leonardo da Pisa, detto

Fibonacci, agli inizi del 200 elabora la successone numerica che dal XIX secolo prenderà il suo

nome: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…. A partire dal terzo numero, ciascun termine è

4

uguale alla somma dei due termini precedenti . Tra le numerose proprietà di cui essa gode vi è

3F

quella secondo cui, procedendo lungo la successione, il rapporto tra un termine e il suo precedente

si avvicina sempre di più al numero d’oro, Φ. Espresso in termini matematici abbiamo:

,

dove indichiamo con F(n) numero della sequenza e con F(n+1) il successivo.

l’n-esimo 5

All’aumentare di il rapporto tende a phi .

n 4F La formula di Binet per calcolare l’n-esimo

numero della sequenza di Fibonacci si basa

interamente sul rapporto aureo.

La successione di Fibonacci in natura.

Esistono numerosi esempi in natura in cui possiamo constatare la presenza della successione di

Fibonacci:

4 La successione di Fibonacci è una successione ricorsiva, vale a dire che il suo termine è

n-esimo

calcolato come funzione dei precedenti, avendo posto delle condizioni iniziali per i primi

termini (in questo caso i primi due sono posti uguali ad 1).

5 La proprietà si dimostra facendo ricorso alla definizione di Φ tramite frazione continua già vista in

precedenza. Interrompendone il calcolo dopo una serie sempre più lunga di operazioni, otterremmo come

risultato un elenco di numeri che approssimano in modo più preciso il valore del rapporto aureo e identici a

numeri di Fibonacci sempre più grandi, divisi per il loro predecessore.

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Fillotassi,

La cioè la disposizione delle foglie sui rami. In molti casi la pianta haun

 quoziente di fillotassi pari a 1/2, 1/3, 2/5, 3/8... (numeri alterni della successione), così da

garantire alle foglie la massima esposizione al Sole.

ognuna

Nell’ananas delle squame appartiene a tre spirali diverse, come mostrato in figura:

 quelle evidenziate dal colore verde sono le 21 spirali che salgono ripidamente da sinistra

verso destra, nella stessa direzione ma con angolazione minore le 8 spirali in blu. In colore