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Tesina - Premio maturità 2009
Titolo: La sezione aurea
Autore: Di toma Grazia
Descrizione: "vedere introduzione"
Materie trattate: Matematica,Italiano,Inglese,Latino,Storia Dell'Arte,Storia,Filosofia,Fisica,Geografia Astronomica
Area: scientifica
Sommario: Matematica,la sezione aurea,la spirale aurea,il numero aureo, Italiano,Divina commedia,Paradiso canto 1,ordine- Neoclassicismo,armonia- Dannunzio,estetica, Inglese,Keats,Ode on a Grecian Urn,ordine,perfezione- the Dandy,estetica, Latino,Vitruvio,De Architectura,armonia, Storia dell'arte,Seurat,La Grande-Jatte,sezione aurea, Filosofia,Kierkegaard,vita estetica,estetica- Nietzsche,superuomo,estetica, Storia,Grande guerra,Fiume(D'Annunzio), Fisica,il flusso,numero d'oro, Geografia,galassie a spirale,via lattea,spirale aurea- campo geomagnetico(fisica).
3
Indice
La sezione aurea
Documento 1: La sezione aurea nella matematica pag. 5-7
Documento 2: Canto I del Paradiso pag. 8-14
Documento 3: Il Neoclassicismo pag. 15-16
Documento 4: Ode on a Grecian Urn (Keats) pag. 17-20
Documento 5: Vitruvio pag. 21-23
Documento 6: La Grande-Jatte (Seurat) pag. 24-25
Documento 7: La vita estetica (Kierkegaard) pag. 26-27
Documento 8: Il superuomo (Nietzsche) pag. 28-30
Documento 9: La Grande Guerra,la questione di Fiume pag. 31-39
Documento 10: D‟Annunzio pag. 40-41
Documento 11: Il dandy (Wilde) pag. 42-43
Appendice:
Documento 12: La spirale aurea pag. 44-45
Documento 13: Le galassie a spirale,la Via Lattea pag. 46-49
Documento 14: Il numero d‟oro pag. 50-51
Documento 15: Il flusso pag. 52-55
Documento 16: Il campo geomagnetico pag. 56-57
Fonti pag. 58
4
C‟è una cosa di cui i “non matematici” non si rendono conto, ed è che la
matematica è in realtà quasi interamente un soggetto estetico”.
John Conway
Nota storica
Riconosciuta come un rapporto tra lunghezze esteticamente piacevole, la sezione aurea è
stata spesso utilizzata dagli artisti come base per la composizione di elementi pittorici o
architettonici. In realtà, vari esperimenti suggeriscono che la percezione umana mostra
una naturale preferenza per le proporzioni in accordo con la sezione aurea; gli artisti
tenderebbero dunque, quasi inconsciamente, a disporre gli elementi di una composizione
in base a tali rapporti.
Il padre degli studi sulla sezione aurea è generalmente considerato Platone, la definizione
che lui dà nel Timeo, è ripresa anche nel trattato sugli Elementi del matematico greco
Euclide, ma era già empiricamente nota a scultori come Fidia e Policleto.
La sezione aurea suscitò un profondo interesse anche tra gli artisti e i matematici del
Rinascimento, tra cui Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, e Leon Battista Alberti;
era allora nota come "divina proporzione" e veniva considerata quasi la chiave mistica
dell'armonia nelle arti e nelle scienze. “De divina proporzione” è anche il titolo del trattato
redatto dal matematico rinascimentale Luca Pacioli e illustrato da alcuni disegni di
Leonardo da Vinci, che ebbe notevole influsso sugli artisti e architetti del tempo, ma
anche nelle epoche successive. In questo libro Pacioli analizzò le strutture
architettoniche e quelle del corpo umano, riconducendo entrambe a principi geometrici
fondamentali, primo fra tutti quello della sezione aurea. Ma il primo grande matematico
moderno che studiò a fondo la sezione aurea fu senz’altro l‟italiano Leonardo Pisano,
detto Fibonacci. a
L‟interesse per la “divin proporzione” non si esaurì tuttavia in epoca rinascimentale, è
possibile, infatti, rintracciare studi applicativi della sezione aurea anche in
contemporanei come il grande architetto ed urbanista Le Corbusier.
Definizione
Si definisce sezione aurea di un segmento quella parte del segmento che è media
proporzionale tra l‟intero segmento e la parte restante di esso.
5
Per la costruzione del segmento aureo si esegue il seguente procedimento:
Si costruiscono i segmenti AB ed MB perpendicolari tra loro, con B in comune. Il lato OB,
1
raggio della circonferenza, sarà uguale a di AB. AC sarà uguale ad AE (perché raggi di
2
una stessa circonferenza con centro in A).
La tesi da dimostrare è che:
AB:AE = AE:EB
Per il teorema della tangente e della secante si ottiene:
AD:AB = AB:AC
Da cui, scomponendo, si ricava
(AD-AB):AB = (AB-AC):AC
Ma
AB = CD e AC = AE,
Si ha
AD-AB=AD-CD=AC=AE
AB-AC=AB-AE=EB;
la proporzione diventa AE:AB = EB:AE,
da cui, invertendo i rapporti, AB:AE = AE:EB. (c.v.d.)
Quindi, il segmento aureo è l:a = a:b
dove
Rettangolo aureo
Strettamente connesso alla sezione aurea è il rettangolo aureo, considerato ancora oggi il
rettangolo “più bello”.
Per rettangolo aureo si intende un particolare rettangolo avente un lato che è sezione
aurea dell‟altro.
La costruzione di tale rettangolo so ottiene a partire da un quadrato.
Si calcola il punto medio del segmento GF; si traccia la circonferenza di centro M e raggio
MB che intersecherà in E il prolungamento di GF dalla parte di F. Si traccia la
6
perpendicolare a GE in F che intersecherà in C il prolungamento di AB dal lato di B. Il
rettangolo ACGE così ottenuto, sarà un rettangolo aureo.
Esempio di rettangoli aurei
ottenuti
a partire da semplici quadrati.
La particolarità saliente è la sua facile replicabilità: basta, infatti, disegnarvi, all'interno,
un quadrato basato sul lato minore, o altresì, all'esterno, basato sul lato maggiore per
ottenere col semplice compasso un altro rettangolo, minore o maggiore, anch'esso di
proporzioni auree.
Costruendo in ogni quadrato un arco di circonferenza, si ottiene una curva detta, seppur
impropriamente, spirale logaritmica.
Spirale logaritmica o aurea
ottenuta dalla costruzione di
più rettangoli aurei. 7
La Divina
Commedia
Canto I del Paradiso
“Le cose tutte quante
hanno ordine tra loro, e questo è forma
che l‟universo a Dio fa simigliante”
8
Sintesi del canto
Il canto si apre con l‟esposizione del tema, quindi, con l‟invocazione ad Apollo, dio del
sole, della poesia e prefigurazione di Cristo stesso. Terminata la preghiera, Dante
riprende la narrazione vera e propria. Nell‟intensa luce, Beatrice fissa il sole, imitata da
Dante che è abbagliato da una luce splendente; egli, infatti, come chiarirà Beatrice, sta
attraversando la sfera del fuoco. La donna gli chiarisce poi come sia possibile, per lui
presente con il corpo, salire perché libero dagli impedimenti del peccato, e come tutte le
creature ricevano una naturale inclinazione al bene che le conduce verso l‟Empireo, sede
di Dio. L‟uomo, però, ha la facoltà di deviare tale inclinazione in virtù della tutela del
libero arbitrio. Il salire verso i cieli non deve essere, dunque, motivo di stupore per Dante,
poiché voluto da Dio. La gloria luminosa di Dio, che trasmette il
La gloria di colui che tutto move moto a tutte le cose, penetra per l‟universo,
per l‟universo penetra, e risplende e risplende in misura maggiore in alcune
3 in una parte più e meno altrove. parti e minore in altre. Io fui nell‟Empireo,
Nel ciel che più de la sua luce prende il cielo che riceve la luce divina più di ogni
fu‟ io, e vidi cose che ridire altro, e vidi cose che chi discende di lassù
6 né sa né può chi di là sù discende; non sa né può riferire; perché il nostro
perché appressando sé al suo disire, intelletto, avvicinandosi a Dio, oggetto del
suo desiderio, si addentra tanto
nostro intelletto si profonda tanto, profondamente, che la memoria non può
9 che dietro la memoria non può ire. stargli dietro. Tuttavia quanto io ho potuto
Veramente quant‟io del regno santo memorizzare del Paradiso sarà ora
ne la mia mente potei far tesoro, argomento della mia poesia. O valente
12 sarà ora materia del mio canto. Apollo, per l‟ultima fatica, elargiscimi tanto
O buono Appollo, a l‟ultimo lavoro del tuo valore poetico quanto ne richiedi
fammi del tuo valor sì fatto vaso, per concedere la gloria poetica. Fino a
15 come dimandi a dar l‟amato alloro. questo punto mi è stato sufficiente l‟aiuto
delle Muse; ma ora mi è necessario anche
Infino a qui l‟un giogo di Parnaso quello di Apollo per affrontare la prova che
assai mi fu; ma or con amendue mi rimane. Entra nel mio petto, e ispirami
18 m‟è uopo intrar ne l‟aringo rimaso. con quella stessa virtù con cui vincesti
Entra nel petto mio, e spira tue nella gara musicale e scorticasti vivo il
sì come quando Marsïa traesti satiro Marsia. O potenza divina, se ti
21 de la vagina de le membra sue. concedi tanto a me che io possa esprimere
O divina virtù, se mi ti presti una vaga immagine del Paradiso, rimasta
tanto che l‟ombra del beato regno impressa nella mia memoria, mi vedrai
venire ai piedi della pianta da te amata, e
24 segnata nel mio capo io manifesti, vedrai incoronarmi con le foglie di alloro
vedra‟mi al piè del tuo diletto legno delle quali mi renderete degno tu, col tuo
venire, e coronarmi de le foglie aiuto, e l‟importanza dell‟argomento. Così
27 che la materia e tu mi farai degno. poche volte, o Apollo, padre della poesia,
Sì rade volte, padre, se ne coglie vengono colte foglie di alloro per celebrare
per trïunfare o cesare o poeta, il trionfo di un imperatore o di un poeta,
30 colpa e vergogna de l‟umane voglie, ciò per colpa delle scarse ambizioni degli
che parturir letizia in su la lieta uomini, il che è motivo di vergogna per
9
delfica deïtà dovria la fronda loro, cosicché la pianta dell‟alloro, quando
suscita desiderio di sé in qualcuno,
33 peneia, quando alcun di sé asseta. dovrebbe generare gioia nella già lieta
Poca favilla gran fiamma seconda: divinità di Delfi, cioè in Apollo. Talvolta un
forse di retro a me con miglior voci grande incendio segue una piccola
36 si pregherà perché Cirra risponda. scintilla: forse dopo di me poeti migliori
Surge ai mortali per diverse foci invocheranno l‟aiuto di Apollo. Il sole sorge
la lucerna del mondo; ma da quella per gli uomini in diversi punti
39 che quattro cerchi giugne con tre dell‟orizzonte; ma quando sorge in quel
croci, punto in cui quattro cerchi s‟incontrano
con miglior corso e con migliore stella dando luogo a tre croci, esce con un corso
esce congiunta, e la mondana cera più favorevole e in congiunzione con una
migliore costellazione, e meglio plasma e
42 più a suo modo tempera e suggella. segna col proprio suggello la materia del
Fatto avea di là mane e di qua sera mondo. Il sole, sorgendo in quel punto
tal foce, e quasi tutto era là bianco dell‟orizzonte, aveva portato il mattino nel
45 quello emisperio, e l‟altra parte nera, Purgatorio, e la sera sulla Terra, e
quando Beatrice in sul sinistro fianco l‟emisfero australe era quasi tutto
vidi rivolta e riguardar nel sole: illuminato, mentre quello boreale era buio,
48 aguglia sì non li s‟affisse unquanco. quando vidi Beatrice, che si era voltata
E sì come secondo raggio suole verso sinistra, fissare il sole: nemmeno
un‟aquila riuscì a fissarlo mai così
uscir del primo e risalire in suso, fermamente. E così come il raggio riflesso è
51 pur come pelegrin che tornar vuole, generato da quello incidente e risale verso
così de l‟atto suo, per li occhi infuso l‟alto, come un falco pellegrino che, una
ne l‟imagine mia, il mio si fece, volta buttatosi in picchiata, vuole tornare
54 e fissi li occhi al sole oltre nostr‟uso. verso l‟alto, così dall‟atteggiamento di
Molto è licito là, che qui non lece Beatrice inviato attraverso gli occhi alla
a le nostre virtù, mercé del loco mia facoltà immaginativa, si generò il mio,
57 fatto per proprio de l‟umana spece. e fissai gli occhi verso il sole più di quanto
sia consentito a un uomo. Nel Paradiso
Io nol soffersi molto, né sì poco, terrestre sono consentite molte azioni che
ch‟io nol vedessi sfavillar dintorno, sulla Terra non sono possibili per le facoltà
60 com‟ ferro che bogliente esce del umane, grazie alle caratteristiche
foco; particolari del luogo creato come dimora
e di sùbito parve giorno a giorno del genere umano. Io non sopportai la vista
essere aggiunto, come quei che puote del sole per molto tempo, e nemmeno per
63 avesse il ciel d‟un altro sole addorno. così poco, che non lo vedessi sfavillare
Beatrice tutta ne l‟etterne rote tutto intorno, come il ferro quando esce
fissa con li occhi stava; e io in lei incandescente dal fuoco; e
66 le luci fissi, di là sù rimote. improvvisamente sembrò che la luce del
giorno fosse raddoppiata, come se Dio
Nel suo aspetto tal dentro mi fei, avesse ornato il cielo con un altro sole.
qual si fé Glauco nel gustar de l‟erba Beatrice era tutta intenta a fissare le sfere
69 che ‟l fé consorto in mar de li altri celesti che ruotano in eterno; ed io fissai gli
dèi. occhi in lei, dopo averli distolti dal sole. Nel
Trasumanar significar per verba guardarla dentro divenni tal quale Glauco
non si poria; però l‟essemplo basti quando mangiò l‟erba che lo rese uguale
10
72 a cui esperïenza grazia serba. agli altri dei del mare. L‟oltrepassare i