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Sintesi

Tesina - Premio maturità  2009

Titolo: La sezione aurea

Autore: Di toma Grazia

Descrizione: "vedere introduzione"

Materie trattate: Matematica,Italiano,Inglese,Latino,Storia Dell'Arte,Storia,Filosofia,Fisica,Geografia Astronomica

Area: scientifica

Sommario: Matematica,la sezione aurea,la spirale aurea,il numero aureo, Italiano,Divina commedia,Paradiso canto 1,ordine- Neoclassicismo,armonia- Dannunzio,estetica, Inglese,Keats,Ode on a Grecian Urn,ordine,perfezione- the Dandy,estetica, Latino,Vitruvio,De Architectura,armonia, Storia dell'arte,Seurat,La Grande-Jatte,sezione aurea, Filosofia,Kierkegaard,vita estetica,estetica- Nietzsche,superuomo,estetica, Storia,Grande guerra,Fiume(D'Annunzio), Fisica,il flusso,numero d'oro, Geografia,galassie a spirale,via lattea,spirale aurea- campo geomagnetico(fisica).

Estratto del documento

3

Indice

La sezione aurea

Documento 1: La sezione aurea nella matematica pag. 5-7

Documento 2: Canto I del Paradiso pag. 8-14

Documento 3: Il Neoclassicismo pag. 15-16

Documento 4: Ode on a Grecian Urn (Keats) pag. 17-20

Documento 5: Vitruvio pag. 21-23

Documento 6: La Grande-Jatte (Seurat) pag. 24-25

Documento 7: La vita estetica (Kierkegaard) pag. 26-27

Documento 8: Il superuomo (Nietzsche) pag. 28-30

Documento 9: La Grande Guerra,la questione di Fiume pag. 31-39

Documento 10: D‟Annunzio pag. 40-41

Documento 11: Il dandy (Wilde) pag. 42-43

Appendice:

Documento 12: La spirale aurea pag. 44-45

Documento 13: Le galassie a spirale,la Via Lattea pag. 46-49

Documento 14: Il numero d‟oro pag. 50-51

Documento 15: Il flusso pag. 52-55

Documento 16: Il campo geomagnetico pag. 56-57

Fonti pag. 58

4

C‟è una cosa di cui i “non matematici” non si rendono conto, ed è che la

matematica è in realtà quasi interamente un soggetto estetico”.

John Conway

Nota storica

Riconosciuta come un rapporto tra lunghezze esteticamente piacevole, la sezione aurea è

stata spesso utilizzata dagli artisti come base per la composizione di elementi pittorici o

architettonici. In realtà, vari esperimenti suggeriscono che la percezione umana mostra

una naturale preferenza per le proporzioni in accordo con la sezione aurea; gli artisti

tenderebbero dunque, quasi inconsciamente, a disporre gli elementi di una composizione

in base a tali rapporti.

Il padre degli studi sulla sezione aurea è generalmente considerato Platone, la definizione

che lui dà nel Timeo, è ripresa anche nel trattato sugli Elementi del matematico greco

Euclide, ma era già empiricamente nota a scultori come Fidia e Policleto.

La sezione aurea suscitò un profondo interesse anche tra gli artisti e i matematici del

Rinascimento, tra cui Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, e Leon Battista Alberti;

era allora nota come "divina proporzione" e veniva considerata quasi la chiave mistica

dell'armonia nelle arti e nelle scienze. “De divina proporzione” è anche il titolo del trattato

redatto dal matematico rinascimentale Luca Pacioli e illustrato da alcuni disegni di

Leonardo da Vinci, che ebbe notevole influsso sugli artisti e architetti del tempo, ma

anche nelle epoche successive. In questo libro Pacioli analizzò le strutture

architettoniche e quelle del corpo umano, riconducendo entrambe a principi geometrici

fondamentali, primo fra tutti quello della sezione aurea. Ma il primo grande matematico

moderno che studiò a fondo la sezione aurea fu senz’altro l‟italiano Leonardo Pisano,

detto Fibonacci. a

L‟interesse per la “divin proporzione” non si esaurì tuttavia in epoca rinascimentale, è

possibile, infatti, rintracciare studi applicativi della sezione aurea anche in

contemporanei come il grande architetto ed urbanista Le Corbusier.

Definizione

Si definisce sezione aurea di un segmento quella parte del segmento che è media

proporzionale tra l‟intero segmento e la parte restante di esso.

5

Per la costruzione del segmento aureo si esegue il seguente procedimento:

Si costruiscono i segmenti AB ed MB perpendicolari tra loro, con B in comune. Il lato OB,

1

raggio della circonferenza, sarà uguale a di AB. AC sarà uguale ad AE (perché raggi di

2

una stessa circonferenza con centro in A).

La tesi da dimostrare è che:

AB:AE = AE:EB

Per il teorema della tangente e della secante si ottiene:

AD:AB = AB:AC

Da cui, scomponendo, si ricava

(AD-AB):AB = (AB-AC):AC

Ma

AB = CD e AC = AE,

Si ha

AD-AB=AD-CD=AC=AE

AB-AC=AB-AE=EB;

la proporzione diventa AE:AB = EB:AE,

da cui, invertendo i rapporti, AB:AE = AE:EB. (c.v.d.)

Quindi, il segmento aureo è l:a = a:b

dove

Rettangolo aureo

Strettamente connesso alla sezione aurea è il rettangolo aureo, considerato ancora oggi il

rettangolo “più bello”.

Per rettangolo aureo si intende un particolare rettangolo avente un lato che è sezione

aurea dell‟altro.

La costruzione di tale rettangolo so ottiene a partire da un quadrato.

Si calcola il punto medio del segmento GF; si traccia la circonferenza di centro M e raggio

MB che intersecherà in E il prolungamento di GF dalla parte di F. Si traccia la

6

perpendicolare a GE in F che intersecherà in C il prolungamento di AB dal lato di B. Il

rettangolo ACGE così ottenuto, sarà un rettangolo aureo.

Esempio di rettangoli aurei

ottenuti

a partire da semplici quadrati.

La particolarità saliente è la sua facile replicabilità: basta, infatti, disegnarvi, all'interno,

un quadrato basato sul lato minore, o altresì, all'esterno, basato sul lato maggiore per

ottenere col semplice compasso un altro rettangolo, minore o maggiore, anch'esso di

proporzioni auree.

Costruendo in ogni quadrato un arco di circonferenza, si ottiene una curva detta, seppur

impropriamente, spirale logaritmica.

Spirale logaritmica o aurea

ottenuta dalla costruzione di

più rettangoli aurei. 7

La Divina

Commedia

Canto I del Paradiso

“Le cose tutte quante

hanno ordine tra loro, e questo è forma

che l‟universo a Dio fa simigliante”

8

Sintesi del canto

Il canto si apre con l‟esposizione del tema, quindi, con l‟invocazione ad Apollo, dio del

sole, della poesia e prefigurazione di Cristo stesso. Terminata la preghiera, Dante

riprende la narrazione vera e propria. Nell‟intensa luce, Beatrice fissa il sole, imitata da

Dante che è abbagliato da una luce splendente; egli, infatti, come chiarirà Beatrice, sta

attraversando la sfera del fuoco. La donna gli chiarisce poi come sia possibile, per lui

presente con il corpo, salire perché libero dagli impedimenti del peccato, e come tutte le

creature ricevano una naturale inclinazione al bene che le conduce verso l‟Empireo, sede

di Dio. L‟uomo, però, ha la facoltà di deviare tale inclinazione in virtù della tutela del

libero arbitrio. Il salire verso i cieli non deve essere, dunque, motivo di stupore per Dante,

poiché voluto da Dio. La gloria luminosa di Dio, che trasmette il

La gloria di colui che tutto move moto a tutte le cose, penetra per l‟universo,

per l‟universo penetra, e risplende e risplende in misura maggiore in alcune

3 in una parte più e meno altrove. parti e minore in altre. Io fui nell‟Empireo,

Nel ciel che più de la sua luce prende il cielo che riceve la luce divina più di ogni

fu‟ io, e vidi cose che ridire altro, e vidi cose che chi discende di lassù

6 né sa né può chi di là sù discende; non sa né può riferire; perché il nostro

perché appressando sé al suo disire, intelletto, avvicinandosi a Dio, oggetto del

suo desiderio, si addentra tanto

nostro intelletto si profonda tanto, profondamente, che la memoria non può

9 che dietro la memoria non può ire. stargli dietro. Tuttavia quanto io ho potuto

Veramente quant‟io del regno santo memorizzare del Paradiso sarà ora

ne la mia mente potei far tesoro, argomento della mia poesia. O valente

12 sarà ora materia del mio canto. Apollo, per l‟ultima fatica, elargiscimi tanto

O buono Appollo, a l‟ultimo lavoro del tuo valore poetico quanto ne richiedi

fammi del tuo valor sì fatto vaso, per concedere la gloria poetica. Fino a

15 come dimandi a dar l‟amato alloro. questo punto mi è stato sufficiente l‟aiuto

delle Muse; ma ora mi è necessario anche

Infino a qui l‟un giogo di Parnaso quello di Apollo per affrontare la prova che

assai mi fu; ma or con amendue mi rimane. Entra nel mio petto, e ispirami

18 m‟è uopo intrar ne l‟aringo rimaso. con quella stessa virtù con cui vincesti

Entra nel petto mio, e spira tue nella gara musicale e scorticasti vivo il

sì come quando Marsïa traesti satiro Marsia. O potenza divina, se ti

21 de la vagina de le membra sue. concedi tanto a me che io possa esprimere

O divina virtù, se mi ti presti una vaga immagine del Paradiso, rimasta

tanto che l‟ombra del beato regno impressa nella mia memoria, mi vedrai

venire ai piedi della pianta da te amata, e

24 segnata nel mio capo io manifesti, vedrai incoronarmi con le foglie di alloro

vedra‟mi al piè del tuo diletto legno delle quali mi renderete degno tu, col tuo

venire, e coronarmi de le foglie aiuto, e l‟importanza dell‟argomento. Così

27 che la materia e tu mi farai degno. poche volte, o Apollo, padre della poesia,

Sì rade volte, padre, se ne coglie vengono colte foglie di alloro per celebrare

per trïunfare o cesare o poeta, il trionfo di un imperatore o di un poeta,

30 colpa e vergogna de l‟umane voglie, ciò per colpa delle scarse ambizioni degli

che parturir letizia in su la lieta uomini, il che è motivo di vergogna per

9

delfica deïtà dovria la fronda loro, cosicché la pianta dell‟alloro, quando

suscita desiderio di sé in qualcuno,

33 peneia, quando alcun di sé asseta. dovrebbe generare gioia nella già lieta

Poca favilla gran fiamma seconda: divinità di Delfi, cioè in Apollo. Talvolta un

forse di retro a me con miglior voci grande incendio segue una piccola

36 si pregherà perché Cirra risponda. scintilla: forse dopo di me poeti migliori

Surge ai mortali per diverse foci invocheranno l‟aiuto di Apollo. Il sole sorge

la lucerna del mondo; ma da quella per gli uomini in diversi punti

39 che quattro cerchi giugne con tre dell‟orizzonte; ma quando sorge in quel

croci, punto in cui quattro cerchi s‟incontrano

con miglior corso e con migliore stella dando luogo a tre croci, esce con un corso

esce congiunta, e la mondana cera più favorevole e in congiunzione con una

migliore costellazione, e meglio plasma e

42 più a suo modo tempera e suggella. segna col proprio suggello la materia del

Fatto avea di là mane e di qua sera mondo. Il sole, sorgendo in quel punto

tal foce, e quasi tutto era là bianco dell‟orizzonte, aveva portato il mattino nel

45 quello emisperio, e l‟altra parte nera, Purgatorio, e la sera sulla Terra, e

quando Beatrice in sul sinistro fianco l‟emisfero australe era quasi tutto

vidi rivolta e riguardar nel sole: illuminato, mentre quello boreale era buio,

48 aguglia sì non li s‟affisse unquanco. quando vidi Beatrice, che si era voltata

E sì come secondo raggio suole verso sinistra, fissare il sole: nemmeno

un‟aquila riuscì a fissarlo mai così

uscir del primo e risalire in suso, fermamente. E così come il raggio riflesso è

51 pur come pelegrin che tornar vuole, generato da quello incidente e risale verso

così de l‟atto suo, per li occhi infuso l‟alto, come un falco pellegrino che, una

ne l‟imagine mia, il mio si fece, volta buttatosi in picchiata, vuole tornare

54 e fissi li occhi al sole oltre nostr‟uso. verso l‟alto, così dall‟atteggiamento di

Molto è licito là, che qui non lece Beatrice inviato attraverso gli occhi alla

a le nostre virtù, mercé del loco mia facoltà immaginativa, si generò il mio,

57 fatto per proprio de l‟umana spece. e fissai gli occhi verso il sole più di quanto

sia consentito a un uomo. Nel Paradiso

Io nol soffersi molto, né sì poco, terrestre sono consentite molte azioni che

ch‟io nol vedessi sfavillar dintorno, sulla Terra non sono possibili per le facoltà

60 com‟ ferro che bogliente esce del umane, grazie alle caratteristiche

foco; particolari del luogo creato come dimora

e di sùbito parve giorno a giorno del genere umano. Io non sopportai la vista

essere aggiunto, come quei che puote del sole per molto tempo, e nemmeno per

63 avesse il ciel d‟un altro sole addorno. così poco, che non lo vedessi sfavillare

Beatrice tutta ne l‟etterne rote tutto intorno, come il ferro quando esce

fissa con li occhi stava; e io in lei incandescente dal fuoco; e

66 le luci fissi, di là sù rimote. improvvisamente sembrò che la luce del

giorno fosse raddoppiata, come se Dio

Nel suo aspetto tal dentro mi fei, avesse ornato il cielo con un altro sole.

qual si fé Glauco nel gustar de l‟erba Beatrice era tutta intenta a fissare le sfere

69 che ‟l fé consorto in mar de li altri celesti che ruotano in eterno; ed io fissai gli

dèi. occhi in lei, dopo averli distolti dal sole. Nel

Trasumanar significar per verba guardarla dentro divenni tal quale Glauco

non si poria; però l‟essemplo basti quando mangiò l‟erba che lo rese uguale

10

72 a cui esperïenza grazia serba. agli altri dei del mare. L‟oltrepassare i

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