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Tesina - Premio maturità 2009
Titolo: Le geometrie non euclidee
Autore: Manni Sara
Descrizione: la mia tesina nasce come punto dincontro fra la mia preparazione classica e i miei interessi scientifico-matematici: essa ripercorre nelle linee essenziali la storia della geometria euclidea e levolversi delle questioni relative al quinto postulato.
Materie trattate: Greco, Filosofia, Matematica, Geografia Astronomica, Arte
Area: scientifica
Sommario: Greco: la scienza ellenistica, Euclide Filosofia: Immanuel Kant, la concezione di spazio e tempo come forme a priori universali e necessarie; Eugenio Colorni, la filosofia della scienza in Italia Matematica: le geometrie non euclidee Geografia Astronomica: cartografia, le proiezioni geografiche, passaggio da una superficie sferica ad una piana Arte: Escher, i tassellamenti del piano iperbolico
Figura 1.
Allora, dato che il quinto postulato non è evidente praticamente, ci si trova di fronte ad un
bivio: o lo si accetta, o non lo si accetta. Lo stesso Euclide avanzava dei dubbi circa la sua
validità, tant’è che nel primo libro egli dimostra le sue proposizioni prima non facendo
uso del quinto postulato e poi facendone uso.
Euclide tentò anche di dimostrare, a partire dai primi quattro postulati, la veridicità del
quinto, ma senza riuscirvi. Convinto però della sua legittimità, lo inserì allora come
ultimo postulato, non potendone fare a meno.
Per gli stessi motivi che probabilmente spinsero Euclide a tentare una dimostrazione del
quinto postulato, tutta la matematica occidentale, per più di venti secoli, cercherà di
ottenere ciò che Euclide non era riuscito a trovare.
Una svolta fondamentale sulla questione, si ebbe con il
matematico e filosofo gesuita Girolamo Saccheri (1667-
1733), autore di un’opera intitolata Euclides ab omni naevo
vindicatus, sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima
ipsa universae geometriae principia (1733). Questi, nel
tentativo di far vedere che il quinto postulato discende
necessariamente dai primi quattro, raggiunse (senza tuttavia
Frontespizio originale dell’opera di accorgersene) lo scopo opposto, gettando le basi per teorie
Saccheri 6
oggi note come geometrie non euclidee.
euclide I risultati di Saccheri rappresentano sì un punto
di svolta, ma non perché con essi comincino a manifestarsi dei dubbi circa la validità del
quinto postulato; anzi: egli era convintissimo di questa verità e cercò in ogni mod
modo di
fornirne una dimostrazione, senza rendersi conto di alcuni errori commessi nel
procedimento.
Tra la fine del XVIII e l’
’inizio del XIX secolo si giunse alla convinzione che il quinto
postulato, nonostante la sua non completa evidenza, fosse indispensa
indispensabile per la
fondazione della geometria: moltissime proposizioni geometriche fondamentali, infatti,
dipendevano da esso o erano addirittura ad esso equivalenti. Ma dopo tanti tentativi di
dimostrazione falliti, iniziò a farsi strada l’idea
l che fosse veramente
te indimostrabile a
partire dagli altri postulati.
Da qui alla piena accettazione di modelli non euclidei, si dovrà attendere
attendere, però, ancora
molti anni. Le ragioni principali di queste difficoltà furono non tanto di tipo logico-
matematico, ma piuttosto legate
lega te a fattori culturali e psicologici: la geometria euclidea, che
per secoli aveva dominato incontrastata, appariva ai matematici come l
l’unica possibile e
veritiera.
Nel 1781, poi, la pubblicazione della Critica della ragion pura di
Immanuel Kant costituì
ì un ulteriore ostacolo all’accettazione
all di
geometrie differenti da quella di Euclide. Secondo Kant, spazio e
tempo sono forme pure a priori della sensibilità.
sensibilità In particolare, la
geometria costruisce sinteticamente i suoi oggetti basando i suoi
giudizi sull’intuizione
intuizione pura dello spazio;
spazio poiché si basano I. Kant
sull’intuizione
intuizione pura a priori dello spazio, le proposizioni geometriche estendono la
conoscenza e sono, allo stesso tempo, universali e necessarie. Kant, in sintesi, afferma
che: tutti i postulati di Euclide sono veri e dunque ogni proposizione contraddittoria ad
essi è falsa; ogni postulato o teorema euclideo è tale che noi possiamo conoscere a priori
che esso è vero; lo spazio è un’entità
un entità ideale, cioè appartiene puramente al modo in cui la
mente umana reagisce
sce alle cose; è possibile un’intuizione
un intuizione pura dello spazio, cioè la nostra
conoscenza delle
elle verità geometriche risulta dalla costruzione mentale che la facoltà
dell’immaginazione
immaginazione pura esegue nel campo dell’intuizione
dell pura.
7
Il primo ad accorgersi consapevolmente
consape volmente della possibilità
dell
dell’esistenza di geometrie diverse da quella euclidea fu Karl
Friedrich Gauss (1777-1885), che tuttavia non pubblicò mai
nulla su questo argomento. Il 27 gennaio 1829, in una lettera al
matematico Bessel, egli scrive:
K. F. Gauss
«Nelle ore
re libere ho pensato anche a un altro tema, che per me è già vecchio di quasi quarant
quarant’anni, e cioè ai
primi fondamenti della geometria: non so se Le ho mai parlato delle mie vedute in proposito. Anche qui ho
consolidato ulteriormente molte cose, e la mia convinzione,
c onvinzione, che non possiamo fondare la geometria
completamente a priori, è divenuta, se possibile, ancora più salda. Nel frattempo, non mi deciderò ancora
per molto tempo a elaborare per una pubblicazione le mie molto estese ricerche sull’
sull ’argomento, e ciò forse
non avverrà mai durante la mia vita, perché temo gli strilli dei Beoti, qualora volessi completamente
esprimere le mie vedute … ».
Il primo che affermò pubblicamente quanto Gauss aveva pensato
Nikolaj Ivanovič Lobačevskij
fu il russo (1793-1856), che nel
1826 pubblicò un articolo in cui espose i fondamenti di quella che
chiamò “geometria
geometria immaginaria”.
immaginaria N. I. Lobačevskij
All’incirca
incirca nello stesso periodo, anche l’ungherese
l ungherese János Bolyai
(1802
(1802-1860) espose le stesse tesi.
Con loro, nascevano a pieno titolo sistemi geometrici alternativi a
quello euclideo.
J. Bolyai
Le geometrie non euclidee rappresentano un’importante
un importante estensione della geometria
classica. Sostanzialmente, esse si basano sulla negazione del quinto postulato. Ma cosa
significa
ignifica negare il quinto postulato?
Per comprenderlo meglio, diamo una formulazione equivalente a quella proposta da
Euclide negli Elementi:
: data una retta r e un punto P fuori di essa, per quel punto passa
una ed una sola retta s parallela a quella data. Questa proposizione afferma non solo
l’esistenza della retta s,
, ma anche la sua unicità; possiamo, quindi, negarla in due modi
diversi e indipendenti:
1. postulando la non esistenza di rette parallele ad una retta data per un punto a
questa esterno; 8
2. postulando l’esistenza di almeno due rette parallele ad una retta data passanti per
un punto a questa esterno.
Sostituendo al quinto postulato una di queste negazioni, sono possibili rispettivamente
due tipi di geometrie:
1. la geometria di Riemann o geometria ellittica
geometria di Lobačevskij
2. la o geometria iperbolica
che analizziamo ora in maniera più approfondita.
9
R :
IEMANN E LA GEOMETRIA NON EUCLIDEA ELLITTICA IL MODELLO DELLA SFERA
2
Immaginiamo che il nostro ambiente geometrico non sia più il piano euclideo (E ), bensì
2
la superficie di una sfera (S ). (Il piano e la superficie di una sfera sono entrambi
ambienti geometrici bidimensionali.)
Gli enti geometrici su cui si basa la geometria nel piano euclideo sono punti e rette; quali
sono gli enti corrispondenti sulla superficie di una sfera? Ai punti del piano corrispondono
S 2
naturalmente i punti di . Ma cosa dobbiamo intendere per linea retta sulla superficie di
una sfera?
Ogni piano che tagli una sfera determina per sezione un cerchio; questi cerchi hanno
raggi diversi: si va dal raggio nullo (se il piano è tangente) alla situazione in cui il
raggio è massimo ed è uguale al raggio della sfera.
Le circonferenze massime godono di due importanti proprietà:
- per ogni punto P sulla superficie di una sfera passano infinite circonferenze
massime
- sulla superficie di una sfera, per ogni coppia P, Q di punti non antipodali (cioè
non allineati col centro O della sfera) passa una e una sola circonferenza massima
Confrontiamo ora le proprietà delle circonferenze massime con quelle delle rette del
E 2
piano euclideo. In una retta è individuata in modo univoco da due punti ed è l’unica
linea a godere di questa proprietà. Similmente, sulla superficie di una sfera una
circonferenza massima è individuata in modo univoco da due punti (purché non siano
antipodali).
Ma possiamo osservare anche un’altra analogia fra rette e circonferenze massime.
Nel piano euclideo, un segmento di linea retta può essere definito come il percorso più breve
fra due punti A e B. Sperimentalmente, se tendiamo un elastico tra due chiodini, vediamo
che esso si dispone sul percorso minimo, cioè su un segmento di linea retta. Spostando
l’elastico e lasciandolo andare, ci accorgiamo che dopo qualche oscillazione riassume lo
stato di minima tensione.
Passiamo ora a considerare la superficie di una sfera. Se effettivamente le circonferenze
massime sono equivalenti alle linee rette, dovremmo allora verificare che esse ci
10 S 2
forniscono il percorso più breve tra due punti di . Procediamo ancora una volta
sperimentalmente: prendiamo un pallone, tracciamo su di esso una circonferenza massima
e fissiamo un elastico in modo che sia in leggera tensione tra due punti A e B di tale
circonferenza. Vedremo che l’elastico si dispone esattamente su un arco della
circonferenza massima; e se proveremo a spostarlo, vedremo che, una volta lasciato
libero, si ridisporrà sulla circonferenza massima.
Figura 2.
Possiamo allora concludere che l’arco minore AB di circonferenza massima è il percorso
più breve, sulla superficie sferica, tra i punti A e B. È necessario precisare che si tratta
dell’arco minore poiché due punti A e B non antipodali individuano sulla circonferenza
massima due archi, uno maggiore e uno minore: quello che, però, ci interessa è l’arco
minore. Se i punti A e B fossero antipodali avremmo infiniti percorsi minimi, cioè
tutte le semicirconferenze massime per A e B.
11
Dopo aver determinato il percorso minimo tra due punti sulla superficie sferica
possiamo dare una definizione di distanza tra due punti: essa non è altro che la lunghezza
dell’arco minore di circonferenza massima che collega A con B.
E S
2 2
Le linee rette di e gli archi di circonferenza massima di si identificano nel concetto
Σ
unificante di linea geodetica. Considerata una qualsiasi superficie (la superficie di un
cilindro, di una sfera, di un cono o anche un piano) e tracciata su di essa una linea y,
quest’ultima si dice linea geodetica se ogni arco non troppo lungo di y, i cui estremi
Σ.
siano i punti A e B, è il percorso più breve da A a B tra tutti quelli tracciabili su
Nella figura 3, ad esempio, la linea blu non è una geodetica (è una circonferenza minore),
quelle rosse sono geodetiche (sono circonferenze massime).
12
Figura 3.
In definitiva, per la geometria sviluppata sulla sfera, chiamiamo retta ogni linea geodetica
e segmento ogni arco di geodetica.
A questo punto, possiamo definire l’angolo formato da due segmenti con un estremo in
comune come quello formato dai due piani che contengono le due circonferenze massime
su cui giacciono i segmenti.
Per esempio, nella figura 4 abbiamo i due segmenti AB e AC e le due circonferenze
massime s e t su cui giacciono. Supponiamo che le due circonferenze massime dividano
la superficie sferica di centro O in 4 regioni uguali.
L’angolo formato dai due segmenti sarà, allora, retto: i due piani ABO e ACO sono infatti
perpendicolari. Inoltre, anche le due rette s e t si diranno perpendicolari.
13
Figura 4.
Esaminiamo ora le principali caratteristiche non euclidee della geometria sferica:
- come per due punti del piano euclideo passa una e una sola retta, così accade
S
2
per due punti non antipodali di , ma per due punti antipodali passano infinite
rette; S 2
- mentre due rette euclidee hanno al più un punto in comune, due rette di
hanno sempre due punti in comune; S
2
- mentre nel piano euclideo esistono rette parallele, in non esistono rette parallele,
cioè rette che non si intersecano. La figura 5 mostra due situazioni analoghe, l’una
S
2
nel piano euclideo e l’altra in . Si tratta di un fascio di rette perpendicolari alla
retta s: nel piano euclideo queste rette non si incontrano (cioè sono tutte parallele),
S
2
in si incontrano tutte nei due punti antipodali P e P’.
14
Figura 5.
I due punti P e P’ prendono il nome di poli di s e la retta s prende il nome di retta
polare dei punti P e P’. I due poli di s hanno la stessa distanza da ogni punto
2
della retta s;
- nel piano euclideo esiste una e una sola retta passante per un dato punto P e
S
2