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Sintesi

Tesina - Premio maturità  2009

Titolo: Le geometrie non euclidee

Autore: Manni Sara

Descrizione: la mia tesina nasce come punto dincontro fra la mia preparazione classica e i miei interessi scientifico-matematici: essa ripercorre nelle linee essenziali la storia della geometria euclidea e levolversi delle questioni relative al quinto postulato.

Materie trattate: Greco, Filosofia, Matematica, Geografia Astronomica, Arte

Area: scientifica

Sommario: Greco: la scienza ellenistica, Euclide Filosofia: Immanuel Kant, la concezione di spazio e tempo come forme a priori universali e necessarie; Eugenio Colorni, la filosofia della scienza in Italia Matematica: le geometrie non euclidee Geografia Astronomica: cartografia, le proiezioni geografiche, passaggio da una superficie sferica ad una piana Arte: Escher, i tassellamenti del piano iperbolico

Estratto del documento

Figura 1.

Allora, dato che il quinto postulato non è evidente praticamente, ci si trova di fronte ad un

bivio: o lo si accetta, o non lo si accetta. Lo stesso Euclide avanzava dei dubbi circa la sua

validità, tant’è che nel primo libro egli dimostra le sue proposizioni prima non facendo

uso del quinto postulato e poi facendone uso.

Euclide tentò anche di dimostrare, a partire dai primi quattro postulati, la veridicità del

quinto, ma senza riuscirvi. Convinto però della sua legittimità, lo inserì allora come

ultimo postulato, non potendone fare a meno.

Per gli stessi motivi che probabilmente spinsero Euclide a tentare una dimostrazione del

quinto postulato, tutta la matematica occidentale, per più di venti secoli, cercherà di

ottenere ciò che Euclide non era riuscito a trovare.

Una svolta fondamentale sulla questione, si ebbe con il

matematico e filosofo gesuita Girolamo Saccheri (1667-

1733), autore di un’opera intitolata Euclides ab omni naevo

vindicatus, sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima

ipsa universae geometriae principia (1733). Questi, nel

tentativo di far vedere che il quinto postulato discende

necessariamente dai primi quattro, raggiunse (senza tuttavia

Frontespizio originale dell’opera di accorgersene) lo scopo opposto, gettando le basi per teorie

Saccheri 6

oggi note come geometrie non euclidee.

euclide I risultati di Saccheri rappresentano sì un punto

di svolta, ma non perché con essi comincino a manifestarsi dei dubbi circa la validità del

quinto postulato; anzi: egli era convintissimo di questa verità e cercò in ogni mod

modo di

fornirne una dimostrazione, senza rendersi conto di alcuni errori commessi nel

procedimento.

Tra la fine del XVIII e l’

’inizio del XIX secolo si giunse alla convinzione che il quinto

postulato, nonostante la sua non completa evidenza, fosse indispensa

indispensabile per la

fondazione della geometria: moltissime proposizioni geometriche fondamentali, infatti,

dipendevano da esso o erano addirittura ad esso equivalenti. Ma dopo tanti tentativi di

dimostrazione falliti, iniziò a farsi strada l’idea

l che fosse veramente

te indimostrabile a

partire dagli altri postulati.

Da qui alla piena accettazione di modelli non euclidei, si dovrà attendere

attendere, però, ancora

molti anni. Le ragioni principali di queste difficoltà furono non tanto di tipo logico-

matematico, ma piuttosto legate

lega te a fattori culturali e psicologici: la geometria euclidea, che

per secoli aveva dominato incontrastata, appariva ai matematici come l

l’unica possibile e

veritiera.

Nel 1781, poi, la pubblicazione della Critica della ragion pura di

Immanuel Kant costituì

ì un ulteriore ostacolo all’accettazione

all di

geometrie differenti da quella di Euclide. Secondo Kant, spazio e

tempo sono forme pure a priori della sensibilità.

sensibilità In particolare, la

geometria costruisce sinteticamente i suoi oggetti basando i suoi

giudizi sull’intuizione

intuizione pura dello spazio;

spazio poiché si basano I. Kant

sull’intuizione

intuizione pura a priori dello spazio, le proposizioni geometriche estendono la

conoscenza e sono, allo stesso tempo, universali e necessarie. Kant, in sintesi, afferma

che: tutti i postulati di Euclide sono veri e dunque ogni proposizione contraddittoria ad

essi è falsa; ogni postulato o teorema euclideo è tale che noi possiamo conoscere a priori

che esso è vero; lo spazio è un’entità

un entità ideale, cioè appartiene puramente al modo in cui la

mente umana reagisce

sce alle cose; è possibile un’intuizione

un intuizione pura dello spazio, cioè la nostra

conoscenza delle

elle verità geometriche risulta dalla costruzione mentale che la facoltà

dell’immaginazione

immaginazione pura esegue nel campo dell’intuizione

dell pura.

7

Il primo ad accorgersi consapevolmente

consape volmente della possibilità

dell

dell’esistenza di geometrie diverse da quella euclidea fu Karl

Friedrich Gauss (1777-1885), che tuttavia non pubblicò mai

nulla su questo argomento. Il 27 gennaio 1829, in una lettera al

matematico Bessel, egli scrive:

K. F. Gauss

«Nelle ore

re libere ho pensato anche a un altro tema, che per me è già vecchio di quasi quarant

quarant’anni, e cioè ai

primi fondamenti della geometria: non so se Le ho mai parlato delle mie vedute in proposito. Anche qui ho

consolidato ulteriormente molte cose, e la mia convinzione,

c onvinzione, che non possiamo fondare la geometria

completamente a priori, è divenuta, se possibile, ancora più salda. Nel frattempo, non mi deciderò ancora

per molto tempo a elaborare per una pubblicazione le mie molto estese ricerche sull’

sull ’argomento, e ciò forse

non avverrà mai durante la mia vita, perché temo gli strilli dei Beoti, qualora volessi completamente

esprimere le mie vedute … ».

Il primo che affermò pubblicamente quanto Gauss aveva pensato

Nikolaj Ivanovič Lobačevskij

fu il russo (1793-1856), che nel

1826 pubblicò un articolo in cui espose i fondamenti di quella che

chiamò “geometria

geometria immaginaria”.

immaginaria N. I. Lobačevskij

All’incirca

incirca nello stesso periodo, anche l’ungherese

l ungherese János Bolyai

(1802

(1802-1860) espose le stesse tesi.

Con loro, nascevano a pieno titolo sistemi geometrici alternativi a

quello euclideo.

J. Bolyai

Le geometrie non euclidee rappresentano un’importante

un importante estensione della geometria

classica. Sostanzialmente, esse si basano sulla negazione del quinto postulato. Ma cosa

significa

ignifica negare il quinto postulato?

Per comprenderlo meglio, diamo una formulazione equivalente a quella proposta da

Euclide negli Elementi:

: data una retta r e un punto P fuori di essa, per quel punto passa

una ed una sola retta s parallela a quella data. Questa proposizione afferma non solo

l’esistenza della retta s,

, ma anche la sua unicità; possiamo, quindi, negarla in due modi

diversi e indipendenti:

1. postulando la non esistenza di rette parallele ad una retta data per un punto a

questa esterno; 8

2. postulando l’esistenza di almeno due rette parallele ad una retta data passanti per

un punto a questa esterno.

Sostituendo al quinto postulato una di queste negazioni, sono possibili rispettivamente

due tipi di geometrie:

1. la geometria di Riemann o geometria ellittica

geometria di Lobačevskij

2. la o geometria iperbolica

che analizziamo ora in maniera più approfondita.

9

R :

IEMANN E LA GEOMETRIA NON EUCLIDEA ELLITTICA IL MODELLO DELLA SFERA

2

Immaginiamo che il nostro ambiente geometrico non sia più il piano euclideo (E ), bensì

2

la superficie di una sfera (S ). (Il piano e la superficie di una sfera sono entrambi

ambienti geometrici bidimensionali.)

Gli enti geometrici su cui si basa la geometria nel piano euclideo sono punti e rette; quali

sono gli enti corrispondenti sulla superficie di una sfera? Ai punti del piano corrispondono

S 2

naturalmente i punti di . Ma cosa dobbiamo intendere per linea retta sulla superficie di

una sfera?

Ogni piano che tagli una sfera determina per sezione un cerchio; questi cerchi hanno

raggi diversi: si va dal raggio nullo (se il piano è tangente) alla situazione in cui il

raggio è massimo ed è uguale al raggio della sfera.

Le circonferenze massime godono di due importanti proprietà:

- per ogni punto P sulla superficie di una sfera passano infinite circonferenze

massime

- sulla superficie di una sfera, per ogni coppia P, Q di punti non antipodali (cioè

non allineati col centro O della sfera) passa una e una sola circonferenza massima

Confrontiamo ora le proprietà delle circonferenze massime con quelle delle rette del

E 2

piano euclideo. In una retta è individuata in modo univoco da due punti ed è l’unica

linea a godere di questa proprietà. Similmente, sulla superficie di una sfera una

circonferenza massima è individuata in modo univoco da due punti (purché non siano

antipodali).

Ma possiamo osservare anche un’altra analogia fra rette e circonferenze massime.

Nel piano euclideo, un segmento di linea retta può essere definito come il percorso più breve

fra due punti A e B. Sperimentalmente, se tendiamo un elastico tra due chiodini, vediamo

che esso si dispone sul percorso minimo, cioè su un segmento di linea retta. Spostando

l’elastico e lasciandolo andare, ci accorgiamo che dopo qualche oscillazione riassume lo

stato di minima tensione.

Passiamo ora a considerare la superficie di una sfera. Se effettivamente le circonferenze

massime sono equivalenti alle linee rette, dovremmo allora verificare che esse ci

10 S 2

forniscono il percorso più breve tra due punti di . Procediamo ancora una volta

sperimentalmente: prendiamo un pallone, tracciamo su di esso una circonferenza massima

e fissiamo un elastico in modo che sia in leggera tensione tra due punti A e B di tale

circonferenza. Vedremo che l’elastico si dispone esattamente su un arco della

circonferenza massima; e se proveremo a spostarlo, vedremo che, una volta lasciato

libero, si ridisporrà sulla circonferenza massima.

Figura 2.

Possiamo allora concludere che l’arco minore AB di circonferenza massima è il percorso

più breve, sulla superficie sferica, tra i punti A e B. È necessario precisare che si tratta

dell’arco minore poiché due punti A e B non antipodali individuano sulla circonferenza

massima due archi, uno maggiore e uno minore: quello che, però, ci interessa è l’arco

minore. Se i punti A e B fossero antipodali avremmo infiniti percorsi minimi, cioè

tutte le semicirconferenze massime per A e B.

11

Dopo aver determinato il percorso minimo tra due punti sulla superficie sferica

possiamo dare una definizione di distanza tra due punti: essa non è altro che la lunghezza

dell’arco minore di circonferenza massima che collega A con B.

E S

2 2

Le linee rette di e gli archi di circonferenza massima di si identificano nel concetto

Σ

unificante di linea geodetica. Considerata una qualsiasi superficie (la superficie di un

cilindro, di una sfera, di un cono o anche un piano) e tracciata su di essa una linea y,

quest’ultima si dice linea geodetica se ogni arco non troppo lungo di y, i cui estremi

Σ.

siano i punti A e B, è il percorso più breve da A a B tra tutti quelli tracciabili su

Nella figura 3, ad esempio, la linea blu non è una geodetica (è una circonferenza minore),

quelle rosse sono geodetiche (sono circonferenze massime).

12

Figura 3.

In definitiva, per la geometria sviluppata sulla sfera, chiamiamo retta ogni linea geodetica

e segmento ogni arco di geodetica.

A questo punto, possiamo definire l’angolo formato da due segmenti con un estremo in

comune come quello formato dai due piani che contengono le due circonferenze massime

su cui giacciono i segmenti.

Per esempio, nella figura 4 abbiamo i due segmenti AB e AC e le due circonferenze

massime s e t su cui giacciono. Supponiamo che le due circonferenze massime dividano

la superficie sferica di centro O in 4 regioni uguali.

L’angolo formato dai due segmenti sarà, allora, retto: i due piani ABO e ACO sono infatti

perpendicolari. Inoltre, anche le due rette s e t si diranno perpendicolari.

13

Figura 4.

Esaminiamo ora le principali caratteristiche non euclidee della geometria sferica:

- come per due punti del piano euclideo passa una e una sola retta, così accade

S

2

per due punti non antipodali di , ma per due punti antipodali passano infinite

rette; S 2

- mentre due rette euclidee hanno al più un punto in comune, due rette di

hanno sempre due punti in comune; S

2

- mentre nel piano euclideo esistono rette parallele, in non esistono rette parallele,

cioè rette che non si intersecano. La figura 5 mostra due situazioni analoghe, l’una

S

2

nel piano euclideo e l’altra in . Si tratta di un fascio di rette perpendicolari alla

retta s: nel piano euclideo queste rette non si incontrano (cioè sono tutte parallele),

S

2

in si incontrano tutte nei due punti antipodali P e P’.

14

Figura 5.

I due punti P e P’ prendono il nome di poli di s e la retta s prende il nome di retta

polare dei punti P e P’. I due poli di s hanno la stessa distanza da ogni punto

2

della retta s;

- nel piano euclideo esiste una e una sola retta passante per un dato punto P e

S

2

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