La Teoria della Relatività  e lo studio dei buchi neri

Liceo Scientifico L. Da Vinci

Gallarate (Va)

La Teoria della Relatività e lo studio dei

buchi neri

Elaborato di maturità scientifica

di

Massimiliano Leoni

Giugno 2010 ii

Science is not just a collection of laws, a catalogue of facts, it is a crea-

tion of human mind with its freely invented ideas and concepts. Physical

theories try to form a picture of reality and to establish its connections with

the wild word of sense impressions. A. Einstein and L. Infield

If Relativity is proved right the Germans will call me a German, the Swiss

will call me a Swiss citizen, and the French will call me a great scientist.

If Relativity is proved wrong the French will call me a Swiss, the Swiss will

call me a German and the Germans will call me a Jew. A. Einstein

iii

Sommario

Il lavoro presentato in questo testo nasce dalla curiosità suscitatami dalla

Teoria della Relatività, formulata da Einstein nella sua versione finale nel

1915. Essa rappresenta una svolta fondamentale nel progresso dello studio

della fisica moderna: all’alba del XX secolo, infatti, i fisici di tutto il mondo

erano generalmente convinti di essere arrivati alla fine del loro percorso, riu-

scendo a descrivere qualunque fenomeno fisico con la meccanica Newtoniana

e con l’elettromagnetismo di Maxwell, e ritenendo di dover apportare solo

minime correzioni a queste due grandi teorie.

Un secondo motivo di interesse verso questa teoria è nato dalla trat-

tazione scolastica che ne viene fatta: nelle aule è spesso affrontata solo la

Relatività Speciale e, per questioni di tempo o complessità, molti aspetti

vengono saltati o, peggio, esposti senza una adeguata dimostrazione. Que-

sto, nel caso di una teoria cosı̀ poco intuitiva come la Relatività, porta spesso

ad incomprensioni o malintesi.

Il primo capitolo di questo elaborato riassume e precisa la Teoria della

Relatività Speciale, con particolare attenzione ai postulati di partenza ed

alle conseguenze di questa teoria.

Il secondo capitolo introduce i concetti principali necessari per trattare

la Relatività Generale, soprattutto relativi alla nozione di spaziotempo.

Il terzo capitolo, che insieme al precedente costituisce il nucleo portante

di questa prima parte, sposta l’attenzione verso le curvature dello spazio e

del tempo, cercando di dare una spiegazione di cosa siano e che effetti si

possano attribuire loro.

Il quarto capitolo ha la funzione di completare la panoramica sulla Relati-

vità Generale tramite la trattazione, puramente descrittiva, di due capisaldi

della teoria.

Il quinto capitolo espone le linee generali della descrizione dei buchi neri,

sia dal punto di vista classico sia da quello relativistico.

Il sesto capitolo comprende la parte di calcolo numerico delle orbite se-

condo la teoria della gravitazione classica e quella di Einstein, e procede

dalla descrizione dei due modelli utilizzati fino ad un’analisi dei risultati,

con anche una valutazione dell’errore commesso e le relative conclusioni.

Tutto ciò è corredato da due appendici: nella prima sono riportati dei

passaggi matematici il cui scopo è di completare la trattazione del primo

capitolo, in cui non sono stati riportati per non appesantire il discorso,

mentre nella seconda è riportato il codice C++ utilizzato per le simulazioni

numeriche.

Ringraziamenti

Il lavoro presentato in questo elaborato è solo in parte frutto della fatica di

colui che compare nel frontespizio. Tutto ciò sarebbe stato solo un miraggio

senza l’indispensabile collaborazione di molte persone che in questi mesi mi

hanno consigliato, supportato e sopportato.

Il primo speciale ringraziamento va all’Ing David Radice, mio Mae-

stro e mia guida, che mi ha istruito, mi ha addestrato, mi ha iniziato

a L TEX, a Linux, alla simulazione numerica e mi ha lanciato la pazza

A

idea di intraprendere questo viaggio, rifornendomi di bibliografia ed idee

in abbondanza.

Vorrei inoltre ringraziare Luca Lussardi, PhD, che ha aggiunto la revi-

sione di questo testo alla sua lista di lavori ben più importanti, non rispar-

miandosi però il rigore e la precisione che da bravo matematico possiede in

maniera eccellente.

Un altro contributo fondamentale è arrivato da Mattia ’Wedge’ Fuma-

galli, ormai dottorando di astrofisica extragalattica, che non si è risparmiato

in commenti e critiche a questo lavoro, ma che in fondo ha sempre voluto

farmi rimanere con i piedi per terra.

Un grande grazie va anche all’Ing Luca Barletta, dottorando in Inge-

gneria delle Telecomunicazioni, che ha sempre revisionato il mio lavoro, e

che nel contempo ho cercato di ricompensare valutando, dal punto di vista

linguistico, frammenti dei suoi.

Nell’elenco compaiono sicuramente anche tutti i miei amici del forum

e tutti coloro che mi hanno aiu-

http://www.matematicamente.it/forum

tato a tenere viva la passione per la matematica e la scienza in generale.

Tra questi ringrazio l’Ing Camillo Enrico ed i miei professori Franco Mario

Colombo, PhD, e Gabriella Anselmi, che hanno cercato invano di sfuggirmi

per i corridoi del liceo. iv

Indice

1 Cenni di Relatività Speciale 1

1.1 I postulati della Relatività Speciale . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Le Trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Conseguenze delle Trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . 3

2 Gli strumenti della Relatività 7

2.1 L’intervallo spaziotemporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 I diagrammi spaziotemporali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Lo Spaziotempo di Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Le geodetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Le curvature di tempo e spazio 14

3.1 Descrivere le superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 La curvatura del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 La curvatura dello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4 Il principio di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Cenni finali sulla Relatività Generale 21

4.1 La costante cosmologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Le equazioni di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 I Buchi Neri 25

5.1 Le caratteristiche dei buchi neri . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 I buchi neri dal punto di vista relativistico . . . . . . . . . . . 26

6 Simulazione numerica dell’orbita intorno ad un buco nero 29

6.1 Il Modello Classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.2 Il Modello Relativistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.3 Risultati delle simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.4 Una valutazione dell’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Conclusioni 37

v

Indice vi

A Alcuni passaggi matematici omessi nel testo 38

A.1 La derivazione delle Trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . 38

A.2 Relazione tra le formule della RS . . . . . . . . . . . . . . . . 41

B Codice utilizzato per le simulazioni numeriche 43

Capitolo 1

Cenni sulla Teoria della

Relatività Speciale

Pubblicata da A. Eintein nel 1905, la Teoria della Relatività Speciale (RS)

rappresenta una svolta cruciale nell’evoluzione della fisica, descrivendone un

modello più ampio che mette in accordo le varie parti allora discordi.

1.1 I postulati della Relatività Speciale

La RS si basa interamente su due postulati: il primo di questi due principi

fondamentali è la Legge di Propagazione della Luce [1] [2]

Postulato 1 (Legge di Propagazione delle Luce). È una legge fondamen-

tale della fisica che la velocità della luce nel vuoto sia la stessa in tutti i

sistemi di riferimento inerziali e sia indipendente dal moto della sorgente e

dell’osservatore.

La velocità della luce nel vuoto è una costante fondamentale della natura

−1

ed è indicata normalmente come c o c e vale c = 299792458 ms . Questo

0

postulato è stato verificato sperimentalmente da Willem de Sitter (Sneek, 6

maggio 1872 – Leida, 20 novembre 1934), matematico, fisico ed astronomo

olandese che lo dedusse dalle osservazioni di sistemi binari di stelle [3]. Il

secondo postulato della RS è il Principio di Relatività Speciale [3][2]

Postulato 2 (Principio di Relatività Speciale). Le leggi della fisica sono le

stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

Il quale può anche essere espresso nel seguente modo [1]

Postulato (Principio di Relatività Speciale). Tutte le leggi della fisica sono

le stesse per osservatori che si muovono di moto rettilineo uniforme o sono

in stato di quiete. 1

1.2. Le Trasformazioni di Lorentz 2

Questo principio era, anche all’epoca, un principio classico della mecca-

nica: inizialmente formulato da Galileo all’inizio del XVII secolo, sembrava,

trecento anni dopo, inadeguato a descrivere la realtà e crescevano i dubbi

sulla sua validità, che invece Einstein ha riconfermato con la sua teoria.

Inoltre ha una seria implicazione: non esistono sistemi di riferimento pri-

vilegiati, ma tutti i Sistemi di Riferimento Inerziali (SRI) sono fisicamente

equivalenti.

1.2 Le Trasformazioni di Lorentz

Il cuore della RS è costituito dalle Trasformazioni di Lorentz, ossia un si-

stema di quattro equazioni che permettono di descrivere, da un sistema di

0

1

riferimento K, un generico evento di K , SRI a K in moto con velocità

u. Per una possibile derivazione delle Trasformazioni di Lorentz, si veda

l’appendice A.1; per un procedimento di derivazione alternativo, si faccia

riferimento a [4]. 2

Di seguito sono riportate le trasformazioni di Galileo e le trasformazioni

di Lorentz. 0

 x−ut

x =

 q

0 2



− u

x = x ut 1−

 2

  c

 

  0

0

 

y = y

y = y

  0

0 z = z

z = z

 

  ux

t−

 

0 0

  2

t = t t = c

 

 q 2

 u

1− 2

c

Notiamo subito le principali differenze. La seconda e la terza equazione

rimangono immutate: le trasformazioni espresse in questa forma, infatti, si

0

applicano nel caso in cui il sistema di riferimento K sia inerziale ed in moto

lungo l’asse x di K. Sebbene questa condizione possa sembrare limitativa,

non lo è in realtà: poiché un SRI è tale se si muove di moto rettilineo

uniforme, orientando il sistema K in modo tale che il suo asse x coincida

0

con la direzione del moto di K si può ricondurre qualunque SRI al caso

sopra descritto.

Nella prima e nella quarta equazione compare il fattore γ

1

γ = (1.1)

q 2

u

−

1 2

c

Conosciuto anche come Fattore di Lorentz, è presente in molte delle

principali equazioni delle Relatività Speciale. Inoltre notiamo che γ ha la

1 Definiamo evento un generico punto dello spaziotempo, identificato dalle quattro

coordinate x, y, z, t.

2 Queste trasformazioni rappresentano il modello precedente alle Trasformazioni di

Lorentz.

1.3. Conseguenze delle Trasformazioni di Lorentz 3

Fattore di Lorentz

14

12

10

γ

di 8

Valore 6

4

2

0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Velocita’

Figura 1.1: Il fattore γ espresso come funzione della velocità

particolarità di essere un numero puro, e riportiamo il suo grafico γ(x) dove

x = u/c, nell’intervallo di interesse fisico [0; 1), in figura 1.1

La funzione γ(x) ha un asintoto verticale per x = 1, infatti sostituendo

questo valore nell’equazione otteniamo un denominatore nullo. L’interpreta-

zione fisica di ciò è che una velocità non può mai essere uguale a c, e siccome

assumiamo che i corpi partano da fermi per poi accelerare, nessun corpo può

raggiungere o superare la velocità della luce!

Inoltre, il fatto che 1

lim = +∞

q

u→c 2

u

−

1 2

c

avrà significative implicazioni, come si noterà in seguito.

1.3 Conseguenze delle Trasformazioni di Lorentz

Per valori di x 1 (u c), l’effetto del Fattore di Lorentz non è apprez-

zabile, ma quando x si avvicina al valore 1, si registrano dei comportamenti

particolari:

ˆ Il tempo scorre più lentamente. Questa è la fondamentale dif-

ferenza tra le Trasformazioni di Galileo e quelle di Lorentz: la fisi-

ca classica è caratterizzata dal fatto di assumere il tempo come una

1.3. Conseguenze delle Trasformazioni di Lorentz 4

grandezza assoluta, uguale per tutti gli osservatori ed in qualunque

0

situazione (t = t). Nella fisica relativistica, invece, anche il tempo è