Admin-sp-17185
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Sia

[math]\mathcal{V}[/math]
uno spazio vettoriale sul campo dei numeri complessi, con
[math]dim(\mathcal{V}) = 3[/math]
. Siano poi
[math]A,B,C,D,P,Q,R,S[/math]
vettori di
[math]\mathcal{V}[/math]
, ove
[math]{A,B,C}[/math]
genera
[math]\mathcal{V}[/math]
,
[math]D = A - B + C[/math]
,
[math]R = 2P + 2Q[/math]
ed
[math]S = -P - Q[/math]
.

  1. Esistono trasformazioni lineari
    [math]\phi: \mathcal{V} \to \mathcal{V}[/math]
    che portino la terna ordinata
    [math](A,B,C)[/math]
    sulla terna
    [math](P,Q,R)[/math]
    ? Se sì, quante ne esistono? Se no, passare direttamente alla domanda 7.
  2. Esprimere
    [math]\phi(D)[/math]
    come combinazione lineare di
    [math]P[/math]
    e
    [math]Q[/math]
    .
  3. Che relazione c'è fra
    [math]\text{rank}(\phi)[/math]
    e
    [math]\text{rank}(P,Q)[/math]
    ?
  4. Che relazione c'è fra
    [math]\text{Im}(\phi[/math]
    e
    [math]L(P,Q)[/math]
    ?
  5. È possibile che
    [math]\phi[/math]
    sia invertibile?
  6. Indicando con
    [math](p_A, p_B, p_C)[/math]
    e
    [math](q_A, q_B, q_C)[/math]
    le terne di coordinate di
    [math]P[/math]
    e
    [math]Q[/math]
    rispetto alla base ordinata
    [math](A,B,C)[/math]
    di
    [math]\mathcal{V}[/math]
    , scrivere la matrice che rispetta
    [math]\phi[/math]
    rispetto ad
    [math](A, B, C)[/math]
    .
  7. Esiste una trasformazione lineare che porti
    [math](A, B, C, D)[/math]
    in
    [math](P, Q, R, S)[/math]
    ?
  • No, nessuna
  • Sì, una trasformazione che porta
    [math](A, B, C)[/math]
    in
    [math](P, Q, R)[/math]
    porta anche
    [math]D[/math]
    in
    [math]S[/math]
  • Sì, ma se e solo se
    [math]2P + Q = O[/math]

Dette
[math](p_A, p_B, p_C)[/math]
le coordinate di
[math]P[/math]
rispetto alla base
[math]{A, B, C}[/math]
, e dette
[math](q_A, q_B, q_C)[/math]
quelle di
[math]Q[/math]
rispetto alla stessa base, si può scrivere
[math]D=(1,-1,1)[/math]
,
[math]R=(2p_A + 2q_A, 2p_B + 2q_B, 2p_C + 2q_C)[/math]
,
[math]S=(-p_A - q_A, -p_B - q_B, -p_C - q_C)[/math]
,
[math]A=(1,0,0)[/math]
,
[math]B=(0,1,0)[/math]
,
[math]C=(0,0,1)[/math]
(ovviamente tutti i vettori sono espressi rispetto alla base
[math]{A, B, C}[/math]
).

L'applicazione

[math]\phi[/math]
richiesta deve essere tale che
[math]\phi(A)=P[/math]
,
[math]\phi(B)=Q[/math]
,
[math]\phi(C)=R[/math]
. Dato che
[math]A, B, C[/math]
sono i vettori che formano la base di riferimento, la matrice che rappresenta
[math]\phi[/math]
sarà  quella che ha per colonne i vettori
[math]P, Q, R[/math]
, espressi rispetto alla base
[math]{A, B, C}[/math]
, pertanto la trasformazione
[math]\phi[/math]
richiesta esiste ed è unica.

Dato che è possibile esprimere

[math]\phi[/math]
tramite una matrice, allora questa è un'applicazione lineare.

[math]\phi(D) = \phi(A-B+C) = \phi(A) - \phi(B) + \phi(C) = P-Q+R[/math]

e in questa catena di uguaglianze è stato sfruttato il fatto che

[math]\phi[/math]
è un'applicazione lineare.

La matrice che rappresenta l'applicazione

[math]\phi[/math]
rispetto a
[math]{A, B, C}[/math]
è:

[math]((p_A, q_A, 2p_A + 2q_A),(p_B, q_B, 2p_B + 2q_B),(p_C, q_C, 2p_C + 2q_C))[/math]

Si vede che la terza colonna è combinazione lineare delle prime due, quindi il rango della matrice, e quindi dell'applicazione, è pari alla dimensione dello spazio generato da

[math]P[/math]
e
[math]Q[/math]
, di conseguenza
[math]rank(\phi) = rank(P, Q)[/math]
.

L'immagine è lo spazio generato dalle colonne, dato che l'ultima è combinazione delle prime due si può dire che l'immagine è lo spazio generato dalle prime due colonne, ovvero

[math]\text{Im}(\phi) = L(P,Q)[/math]
.

[math]\phi[/math]
non può essere invertibile, perché la terza colonna è una combinazione lineare delle prima due, dato che le tre colonne sono vettori linearmente dipendenti il determinante è zero, e l'applicazione non risulta invertibile.

Per una trasformazione

[math]\phi[/math]
che porta
[math](A, B, C, D)[/math]
in
[math](P, Q, R, S)[/math]
, deve valere
[math]\phi(D) = S[/math]
, cioè
[math]P-Q+R = -P-Q[/math]
, ovvero
[math]P-Q+2P+2Q=-P-Q[/math]
, cioè
[math]4P+2Q=O[/math]
, quindi esiste una tale trasformazione se e solo se
[math]2P+Q=O[/math]
, dove
[math]O[/math]
indica il vettore nullo.

FINE

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