Abbiamo una carrucola a forma di disco con raggio
[math]r[/math]
e massa
[math]M_c[/math]
, con avvolta una fune.
Tiriamo verso il basso un estremità della fune con una forza di
[math]F[/math]
. All' altra estremità della corda è attaccata una massa di
[math]m[/math]
.
Si trovi il modulo delle forze che agiscono sul sistema, l'accelerazione angolare del disco e l'accelerazione della massa attaccata.
Il momento di inerzia vale
[math]1/2M_cr^2[/math]
Osserviamo la figura.
Le due forze a noi note sono
[math]\vec{F}[/math]
e
[math]\vec{P}[/math]
.
Dobbiamo trovare le due tensioni.
In realtà la tensione della fune dalla parte opposta al peso, è uguale a
[math]F[/math]
e contraria.
Diverso sarebbe stato il discorso se al posto della forza
[math]\vec{F}[/math]
ci fosse stato un peso: la massa corrispondente avrebbe aumentato l'inerzia del sistema, la tensione avrebbe agito direttamente su questa massa diminuendo l'
accelerazione (e risulta diminuito anche il momento sulla carrucola).
Perciò è
[math]F=T[/math]
Calcoliamo ora
[math]T'[/math]
Per il secondo principio della dinamica (applicato sulla massa
[math]m[/math]
, e prendendo come positive le forze in direzione di
[math]T'[/math]
), risulterà
[math]T'-P=ma[/math]
Ma considerando la carrucola, vale anche
[math](F-T')r=I \cdot \alpha[/math]
(ho inserito
[math]F[/math]
al posto di
[math]T[/math]
perchè ese sono uguali in modulo.
Infine consideriamo la relazione tra accelerazione lineare a angolare
[math]a=r \cdot \alpha[/math]
Si avrà dunque il sistema
[math]\begin{cases} T'-P=ma \\ (F-T')r=I \cdot \alpha \\ a=r \cdot \alpha \ \end{cases}[/math]
Sostutuendo
[math]r\alpha[/math]
al posto di
[math]a[/math]
[math]\begin{cases} T'-P=mr \cdot \alpha \\ (F-T')r=I \cdot \alpha \ \end{cases}[/math]
Esplicitando la prima rispetto a
[math]T'[/math]
[math]\begin{cases} T'=mr \cdot \alpha+P \\ (F-T')r=I \cdot \alpha \ \end{cases}[/math]
Sostituendo nella seconda
[math](F-P-m \cdot r \cdot \alpha)r=I \cdot \alpha[/math]
Sostituendo il valore del momento di inerzia
[math](F-P-m \cdot r \cdot \alpha)r=1/2mr^2 \cdot \alpha[/math]
semplificando
[math]r[/math]
[math]F-P-m \cdot r \cdot \alpha=1/2mr \cdot \alpha[/math]
[math]F-P=3/2mr \cdot \alpha[/math]
ovvero
[math]\alpha=2/3(F-P)/(mr)[/math]
Il valore di
[math]a[/math]
(o di
[math]T'[/math]
) può essere trovato facendo qualche conto sostituendo questo valore di
[math]\alpha[/math]
nelle altre relazioni.
FINE