_Steven
(40 punti)
3' di lettura

Abbiamo una carrucola a forma di disco con raggio

[math]r[/math]
e massa
[math]M_c[/math]
, con avvolta una fune.

Tiriamo verso il basso un estremità  della fune con una forza di

[math]F[/math]
. All' altra estremità  della corda è attaccata una massa di
[math]m[/math]
.

Si trovi il modulo delle forze che agiscono sul sistema, l'accelerazione angolare del disco e l'accelerazione della massa attaccata.

Il momento di inerzia vale

[math]1/2M_cr^2[/math]

Osserviamo la figura.

Le due forze a noi note sono

[math]\vec{F}[/math]
e
[math]\vec{P}[/math]
.

Dobbiamo trovare le due tensioni.

In realtà  la tensione della fune dalla parte opposta al peso, è uguale a

[math]F[/math]
e contraria.

Diverso sarebbe stato il discorso se al posto della forza

[math]\vec{F}[/math]
ci fosse stato un peso: la massa corrispondente avrebbe aumentato l'inerzia del sistema, la tensione avrebbe agito direttamente su questa massa diminuendo l'accelerazione (e risulta diminuito anche il momento sulla carrucola).

Perciò è

[math]F=T[/math]

Calcoliamo ora

[math]T'[/math]

Per il secondo principio della dinamica (applicato sulla massa

[math]m[/math]
, e prendendo come positive le forze in direzione di
[math]T'[/math]
), risulterà 

[math]T'-P=ma[/math]

Ma considerando la carrucola, vale anche

[math](F-T')r=I \cdot \alpha[/math]
(ho inserito
[math]F[/math]
al posto di
[math]T[/math]
perchè ese sono uguali in modulo.

Infine consideriamo la relazione tra accelerazione lineare a angolare

[math]a=r \cdot \alpha[/math]

Si avrà  dunque il sistema

[math]\begin{cases} T'-P=ma \\ (F-T')r=I \cdot \alpha \\ a=r \cdot \alpha \ \end{cases}[/math]

Sostutuendo

[math]r\alpha[/math]
al posto di
[math]a[/math]

[math]\begin{cases} T'-P=mr \cdot \alpha \\ (F-T')r=I \cdot \alpha \ \end{cases}[/math]

Esplicitando la prima rispetto a

[math]T'[/math]

[math]\begin{cases} T'=mr \cdot \alpha+P \\ (F-T')r=I \cdot \alpha \ \end{cases}[/math]

Sostituendo nella seconda

[math](F-P-m \cdot r \cdot \alpha)r=I \cdot \alpha[/math]

Sostituendo il valore del momento di inerzia

[math](F-P-m \cdot r \cdot \alpha)r=1/2mr^2 \cdot \alpha[/math]

semplificando

[math]r[/math]

[math]F-P-m \cdot r \cdot \alpha=1/2mr \cdot \alpha[/math]

[math]F-P=3/2mr \cdot \alpha[/math]

ovvero

[math]\alpha=2/3(F-P)/(mr)[/math]

Il valore di

[math]a[/math]
(o di
[math]T'[/math]
) può essere trovato facendo qualche conto sostituendo questo valore di
[math]\alpha[/math]
nelle altre relazioni.

FINE