_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Alpha centauri (massa
[math]m = 2,188 \cdot 10^{30} kg [/math]
; diametro
[math]d=1670400 km[/math]
), posta ad appena
[math]4,3[/math]
anni-luce dalla Terra, è la stella a noi più vicina.
  • Calcola il suo raggio di Schwarzschild.
(Il calcolo ha valore solo matematico, poiché in realtà, Alpha Centauri ha una massa troppo piccola per diventare un buco nero)

Svolgimento

Per prima cosa, ricordiamo che cos’è il raggio di Schwarzschild.

Se un corpo celeste mantiene invariata la sua massa ma il suo raggio diminuisce, come accade per esempio nel caso di una stella che sta esaurendo il suo combustibile, la velocità di fuga da esso aumenta.

La velocità di fuga, cioè la velocità minima che permette di sfuggire all’attrazione di un pianeta e di giungere a distanza infinita con velocità nulla, è data dalla formula:

[math] v = \sqrt{ \frac{2 GM}{R} } [/math]

Se, però, il raggio continua a diminuire la velocità aumenta fino a raggiungere la velocità della luce, potendo perfino superarla.

Poiché, pero, secondo la teoria della relatività di Einstein stabilisce che nessun oggetto può muoversi a velocità maggiore di quella della luce, è impossibile che un oggetto possa allontanarsi da questo corpo celeste, che si è trasformato in un buco nero.

Riassumendo, quindi, il valore di R per cui, dato un corpo celeste di massa

[math]M[/math]
, si ha che la velocità di fuga da esso è uguale alla velocità della luce, è detto raggio di Schwarzschild.

Trasformiamo i dati fornitici dal problema nelle giuste unità di misura:

[math]d=1670400 km = 1670400000 m [/math]

[math] r = d/2 = \frac{1670400000}{2} m = 835200000 m = 8,35 \cdot 10^8 m [/math]

Sappiamo che

[math]G[/math]
, la costante di gravitazione universale, vale
[math] 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{N \cdot m^2}{kg^2}[/math]
.

La velocità della luce, corrispondente in questo caso v, cioè alla velocità di fuga, vale

[math] 300000 km/s = 3,00 \cdot 10^5 km/s = 3,00 \cdot 10^8 m/s [/math]
.

Ricaviamo il raggio dalla formula della velocità di fuga:

[math] v = \sqrt{ \frac{2 GM}{R} } [/math]

[math] v^2 = \frac{2 GM}{R} [/math]

[math] R v^2 = 2 GM \to R = \frac{2 GM}{v^2} [/math]

Determiniamo il valore di

[math]R[/math]
:

[math] R = \frac{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{N \cdot m^2}{kg^2} \cdot 2,188 \cdot 10^{30} kg }{(3,00 \cdot 10^8 m/s)^2} = [/math]

[math] 3,24 \cdot \frac{ 10^{-11} \cdot 10^{30} }{ 10^{16}} m/s = 3,24 \cdot 10^3 m/s = 3,24 km/s [/math]
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