_Steven
di _Steven
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In questo appunto di Fisica si tratta la legge oraria del moto di un punto materiale che si muove di moto rettilineo con velocità variabile nel tempo.

Cinematica del punto materiale

Diremo che un punto materiale si muove oppure è in quiete, se, fissato un sistema di riferimento di origine O, la sua posizione rispetto a tale sistema di riferimento cambia al variare del tempo oppure no.
Al fine di schematizzare il sistema di riferimento si fissa idealmente all’oggetto che viene schematizzato come un punto materiale una terna di assi cartesiani ortogonali, (O, x, y, z) ed individuare la posizione del punto P mediante le sue tre coordinate cartesiane, ossia le distanze orientate del punto dai piani yz, xz, xy.
Se il punto P è in quiete le sue tre coordinate che indicheremo con le lettere x, y, z avranno sempre lo stesso valore al variare del tempo, ossia rimangono costanti nel tempo. Nel caso in cui il punto materiale sia in moto, le sue coordinate variano al variare del tempo secondo una legge ben precisa che dipende dal moto particolare del punto P.
Il parametro tempo, t, costituisce la variabile indipendente di tale legge, mentre la x, la y e la z sono le variabili dipendenti, ossia sono funzioni del tempo.
In generale, per indicare questo tipo di relazione che lega le coordinate del punto materiale P alla variabile tempo, avremo che:
[math]
x = x(t)
[/math]

[math]
y = y(t)
[/math]

[math]
z = z(t).
[/math]

Le tre precedenti espressioni, chiamate anche equazioni parametriche del moto, che esprimono le tre coordinate cartesiane del punto materiale P in un determinato sistema di riferimento al variare del tempo t, descrivono completamente il moto di P nelle tre direzioni principali fissate dal sistema di riferimento.
Un metodo alternativo per descrivere il moto del punto materiale P consiste nell’assegnare:

  • una traiettoria;
  • una equazione oraria.
La traiettoria è il luogo geometrico delle posizioni successivamente assunte dal punto materiale P durante il suo moto. Tale curva, che può essere di qualsiasi genere (rettilinea, curvilinea, aperta, chiusa, ecc.), deve essere sempre riferita ad un ben preciso sistema di riferimento:
al fine di individuare istante per istante la posizione di P si deve fissare una origine, O, ad arbitrio sulla traiettoria ed un verso di percorrenza di tale traiettoria che considereremo positivo e che solitamente si fissa sempre concorde con quello del moto che stiamo studiando o presunto tale: in altri termini fissata l’origine O e stabilita la posizione di P rispetto ad essa, si misura la lunghezza del tratto di curva OP ed a tale tratto si attribuisce segno positivo se P segue O, oppure segno negativo in caso contrario.
Chiamata s la misura, sia in valore che in segno, del tratto di curva percorsa dal punto P:
[math]
s = OP
[/math]

si ha che il moto risulta completamente descritto quando è nota la traiettoria ed il valore di s per ogni istante di tempo t, ossia quando sia nota:

[math]
s = s(t).
[/math]

Tale funzione che esprime lo spazio percorso in funzione del tempo t, viene chiamata equazione oraria o più comunemente legge oraria.
Sia nel caso in cui si adottino come metodo descrittivo del moto le equazioni parametriche oppure la legge oraria si presuppone che siano ben noti i concetti di due grandezze fisiche fondamentali quali il tempo e la lunghezza.

La velocità

Il concetto intuitivo di velocità, che tutti conosciamo, indica come lo spazio s varia più o meno rapidamente nel tempo.
Per esprimere il significato fisico della velocità di un punto materiale P si considerino due istanti di tempo distinti:
[math]
t_i
[/math]
definito come istante iniziale del moto
[math]
t_f
[/math]
definto come istante finale del moto
e siano
[math]
s_i
[/math]
lo spazio percorso da P su una qualunque traiettoria all’istante iniziale
[math]
t_i
[/math]

[math]
s_f
[/math]
lo spazio percorso da P sulla stessa traiettoria all’istante finale
[math]
t_f.
[/math]

Avremo che lo spazio totalmente percorso da P è dato da:

[math]
s_f – s_i
[/math]

e la velocità del punto materiale P per percorre tale parte della sua traiettoria nell’intervallo di tempo

[math]
t_f – t_i
[/math]
è data da:
[math]
v = \frac{s_f – s_i}{t_f – t_i}.
[/math]

La precedente espressione ci dice che la velocità di P è tanto più grande quanto più ampio è il tratto di traiettoria,

[math]
s_f – s_i
[/math]
, percorso dal punto materiale nell’intervallo di tempo
[math]
t_f – t_i
[/math]
: ossia la velocità è tanto più grande quanto più piccolo risulta l’intervallo di tempo necessario per percorrere il tratto
[math]
s_f – s_i.
[/math]

Ovviamente la precedente espressione della grandezza che abbiamo appena definita come velocità, è riferita ad un tratto di traiettoria ed ad un intervallo di tempo precisi. Se il moto del punto materiale P è un moto vario, tale espressione della velocità varia per gli istanti successivi e per i tratti successivi di traiettoria.
Quindi possiamo definire velocità media la seguente grandezza:

[math]
v_m = \frac{s_f – s_i}{t_f – t_i}
[/math]

dove

[math]
\Delta s = (s_f – s_i)
[/math]
è lo spostamento percorso da P (misurato in metri, m)
[math]
\Delta t = t_f – t_i
[/math]
è l’intervallo di tempo necessario a percorrere il precedente spostamento (misurato in secondi, s)
per cui
[math]
v_m = \frac{\Delta s}{\Delta t}.
[/math]

In conclusione, se abbiamo un punto materiale che si muove di moto vario (quindi in cui la velocità varia) lungo una traiettoria assegnata, possiamo calcolarne la velocità media che fornisce la velocità che avrebbe avuto il punto materiale se avesse percorso il tratto di curva

[math]
\Delta s
[/math]
in un intervallo di tempo
[math]
\Delta t
[/math]
, con velocità costante.
Si noti che è molto importante non confondere la velocità media de punto materiale che si muove di moto vario, con la media delle velocità che tale punto può assumere sul tratto di traiettoria studiato.
La velocità media dipende in generale dall’intervallo di tempo prescelto ed inoltre descrive la rapidità con cui il punto si muove nell’intervallo
[math]
\Delta t
[/math]
solo globalmente e non dettagliatamente, istante per istante.
Al fine di avere una descrizione più particolareggiata della velocità, al concetto di velocità media si deve affiancare quello di velocità istantanea.
Si consideri un tratto della curva che costituisce la traiettoria e fissiamo un generico istante t ed a partire da esso vari intervalli
[math]
\Delta t
[/math]
sempre più piccoli.
I corrispondenti rapporti
[math]
\frac{\Delta s}{\Delta t}
[/math]
, ossia i valori della velocità media, quando
[math]
\Delta t
[/math]
tende a zero, tendono ad un valore preciso della velocità che chiameremo velocità istantanea: la velocità istantanea,
[math]
v_i
[/math]
, è il limite cui tende la velocità media quando l’intervallo di tempo tende a zero
[math]
v_i = \lim_{x\to0} v_m
[/math]

ossia

[math]
v_i = \lim_{x\to0} \frac{\Delta s}{\Delta t}.
[/math]

In base alla definizione di derivata di una funzione potremo affermare che
La velocità istantanea è la derivata rispetto al tempo t, dello spazio s:

[math]
v_i = \lim_{x\to0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{ds}{dt} = \dot{s}.
[/math]

Legge oraria di un punto materiale

Un punto materiale P si muove di moto rettilineo e la sua velocità v è direttamente proporzionale all'ascissa x di P sulla retta, calcolata a partire da un punto O, preso come origine del sistema di riferimento.
Si ha quindi
[math]
v = kx
[/math]

dove k è una costante di proporzionalità assegnata che ha le dimensioni di

[math]
s^{-1}.
[/math]

Si vuole determinare la posizione del punto P in funzione del tempo ossia la sua legge oraria, sapendo che, nell'istante

[math]
t = 0
[/math]
la posizione di P sull’asse delle x che coincide con la traiettoria del moto, risulta essere
[math]
x=1.
[/math]

Svolgimento
Dai dati del problema sappiamo che la velocità ha la seguente espressione:

[math]
v(t) = k \cdot{x(t)}.
[/math]

Come abbiamo visto nel precedente paragrafo, la velocità viene definita come la derivata rispetto al tempo dello spazio:

[math]
v(t) = \dot x(t).
[/math]

Per cui, al fine di trovare la legge oraria, ci si riconduce alla risoluzione di una semplice equazione differenziale del primo ordine.
Essendo

[math]
v(t) = k \cdot{x(t)}
[/math]

e

[math]
v(t) = \dot x(t)
[/math]

si ha che

[math]
\dot x(t) = k \cdot{x(t)}
[/math]

ossia

[math]
\dot x(t) - k \cdot x(t) = 0.
[/math]

Si moltiplicano entrambi i membri per

[math]
e^{-kt}
[/math]
ottenendo:
[math]
e^{-kt} \cdot \dot x(t) - k \cdot e^{-kt} \cdot x(t) = 0.
[/math]

La precedente espressione rappresenta la derivata del prodotto:

[math]
e^{-kt} \cdot x(t)
[/math]

quindi avremo che

[math]
\frac{d[e^{-kt} \cdot x(t)]}{dt} = 0.
[/math]

Integrando a precedente relazione in dt si ottiene che:

[math]
e^{-kt} \cdot x(t) = c
[/math]

dove c è la costante di integrazione.
La precedente relazione può essere scritta anche come:

[math]
x(t) = c \cdot e^{kt}
[/math]

dove la costante c può essere trovata in base alle condizioni iniziali fornite dal problema:

[math]
t = 0
[/math]

[math]
x = 1
[/math]

[math]
x(0) = c \cdot e^{k \cdot 0}
[/math]

[math]
1 = c \cdot e^0
[/math]

quindi

[math]
c =1.
[/math]

Possiamo dunque scrivere la legge oraria che caratterizza il moto del punto materiale P in base alle condizioni dettate dal problema:

[math]
x(t) = e^{kt}.
[/math]

per ulteriori approfondimenti sulla cinematica ved anche qua

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