Si consideri una perlina di massa
[math]m[/math]
libera di muoversi su un filo rigido sottile circolare di raggio [math]r[/math]
. La perlina riceve una velocità iniziale [math]V_0[/math]
e il coefficiente di attrito dinamico tra il filo e la perlina è [math]\mu;[/math]
. L'esperienza viene eseguita in un veicolo spaziale alla deriva nello spazio (c'è dunque assenza di gravità ). Dimostrare che la velocità della pallina in funzione del tempo è [math]v(t)=\frac{v_0r}{r+ \mu v_0t}[/math]
Calcoliamo la forza d'attrito. La forza centripeta è:
[math]F_c=m\frac{v^2}{r}[/math]
La forza di attrito è perciò: [math]F_a=\mu\cdot F_c=\mu\cdot m \cdot \frac{v^2}{r}[/math]
L'accelerazione della pallina è dunque, semplificando la massa: [math]a=-\mu\cdot \frac{v^2}{r}[/math]
ovvero [math]\frac{dv}{dt}=-\mu\cdot \frac{v^2}{r}[/math]
Questa equazione differenziale si può risolvere seeparando le variabili Si ottiene: [math]\frac{dv}{v^2}=-\mu \frac{dt}{r}[/math]
Integrando entrambi i membri si ha: [math]\int_{v_0}^v\frac{dv}{v^2}=-\frac{\mu}{r}\int_{0}^t dt[/math]
Sono due integrali facili, abbiamo subito [math]-\frac{1}{v}+\frac{1}{v_0}=\frac{\mu}{r} \cdot t[/math]
Esplicitando rispetto a [math]v[/math]
, otteniamo facilmente la relazione del testo. [math]v=\frac{v_0r}{r+ \mu v_0t}[/math]
FINE
