[math]\vec{a}[/math]
e [math]\vec{b}[/math]
costituiscono rispettivamente l'ipotenusa e un cateto di un triangolo rettangolo. Il modulo di [math]\vec{a}[/math]
vale [math]10[/math]
unità e l'altro cateto del triangolo è lungo [math]5,0[/math]
unità. Calcola:- L'ampiezza dell'angolo formato dalle direzioni dei due vettori;
- Il modulo del vettore [math]\vec{b}[/math];
- Il modulo del prodotto vettoriale [math]\vec{a} × \vec{b}[/math];
Svolgimento (2)
Sapendo che il modulo di[math]\vec{a}[/math]
vale [math]10[/math]
unità e l'altro cateto del triangolo è lungo [math]5,0[/math]
unità possiamo calcolare il modulo del vettore [math]\vec{b}[/math]
con il teorema di Pitagora (chiamiamo con c l'altro cateto):
[math]\vec{b} = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5 \sqrt3 = 8,7 [/math]
Svolgimento (1)
Calcoliamo l'area del triangolo, moltiplicando i due cateti e dividendo per due:
[math] A = \frac{b \cdot c}{2} = \frac{5\sqrt3 \cdot 5}{2} = \frac{25 \sqrt3}{2} = 21,75 [/math]
Attraverso la formula inversa, possiamo ricavare la lunghezza dell'altezza relativa all'ipotenusa:
[math] h = \frac{2A}{a} = \frac{2 \cdot 21,75}{10} = 4,35 [/math]
Consideriamo il triangolo rettangolo formato dal cateto
[math]\vec{b}[/math]
e dall'altezza [math]h[/math]
.Possiamo applicare su di esso il teorema fondamentale della trigonometria per risalire all'ampiezza dell'angolo formato dai vettori
[math]\vec{a}[/math]
e [math]\vec{b}[/math]
:
[math] h = b \cdot \\sin (\alpha) \to \\sin (\alpha) = \frac{h}{b}[/math]
[math]\\sin (\alpha) = \frac{4,35}{8,7} = \frac{1}{2}[/math]
Dalla goniometria, sappiamo che se il seno di un angolo è uguale ad
[math]\frac{1}{2}[/math]
, l'angolo ha un'ampiezza di [math]30°[/math]
.Altrimenti, possiamo calcolare, con la calcolatrice, l'angolo a cui corrisponde il seno noto:
[math] \alpha = arc\\sin \frac{1}{2} = 30° [/math]
Svolgimento (3)
Possiamo calcolare il modulo del vettore risultante dal prodotto vettoriale di altri due vettori con la formula
[math]\vec{c} = \vec{a} × \vec{b} = ab \cdot \\sin (\alpha) = 10 \cdot 8,7 \cdot \frac{1}{2} = 43,5 [/math]
