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Compito di Analisi per la scuola europea di Luxemburg
Scuola Europea - Luxembourg Prèbac 1995
MATEMATICA (5P.)
Problema 1 - (corto: Analisi )
Si consideri la funzione parametrica (parametro reale a) di variabile reale
1
a .
f : x x 3
a x a
3 punti Determinare il parametro a, in modo che f abbia un minimo in x = 1.
A a
Per il seguito del problema si pone a = -2, f = f . Sia F il grafico di f in un
B -2 -2
sistema di riferimento ortonormato xOy.
5 punti Studiare f (dominio, zeri, crescenza, decrescenza, punti estremanti, asintoti) e
a) disegnare F.
Calcolare l’area della parte finita di piano compresa tra F e la retta di equa-
4 punti b) 5
zione .
y 2
12 punti N.B.: Tutti i problemi proposti sono obbligatori!
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MATEMATICA (5P.)
Problema 2 - (corto: Analisi)
É data l’equazione differenziale: dy .
y cos2 x
dx
Determinare l’integrale (la soluzione) generale dell’equazione data.
4 punti a)
4 punti Determinare la soluzione particolare che soddisfa la condizione (dove e
y ( 0
) 2
e
b) é la base dei logaritmi naturali).
Scrivere l’equazione della
4 punti tangente al grafico della soluzione particolare nel suo
c) punto di ascissa x = 0.
12 punti N.B.: Tutti i problemi proposti sono obbligatori!
Scuola Europea - Luxembourg Prèbac 1995
MATEMATICA (5P.)
Problema 3 - (corto: Geometria)
Nello spazio euclideo, munito di un riferimento ortonormato Oxyz, sono dati:
- i piani ,
: x y z 0
1
,
:
2 x y 5
z 9 0
2
- la retta
x 2 4
().
r
: y 1 2
z 0 2
3 punti a) Determinare la retta s = .
1 2
2 punti Mostrare che r e s sono parallele.
b) Determinare un’equazione del piano individuato dalle rette
4 punti r e s.
c)
Trovare l’equazione della proiezione ortogonale di
4 punti d) r sul piano .
1
13 punti N.B.: Tutti i problemi proposti sono obbligatori!
Scuola Europea - Luxembourg Prèbac 1995
MATEMATICA (5P.)
Problema 4 - (corto: Probabilità)
In un certo paese, il 40% della popolazione ha meno di 30 anni.
Tra quelli che hanno meno di 30 anni, il 30% ha la patente di guida (P.G.).
Tra quelli che hanno 30 anni o piú, il 60% ha la P.G.
4 punti Calcolare la probabilità che una persona, scelta a caso, abbia la P.G.
a)
4 punti Calcolare la probabilità che una persona con P.G. abbia meno di 30 anni.
b) Un gruppo di 12 persone di questo paese si distribuisce cosí:
c) - 3 persone hanno P.G e meno di 30 anni
- 4 persone hanno P.G e 30 anni o piú
- 5 persone non hanno P.G.
Si scelgono a caso, nel gruppo, 3 persone.
5 punti Calcolare la probabilità che tutte e 3 abbiano la P.G., con una persona avente meno
di 30 anni.
13 punti N.B.: Tutti i problemi proposti sono obbligatori!
Scuola Europea - Luxembourg Prèbac 1995
MATEMATICA (5P.)
Problema 5 - (lungo: Analisi)
É data la funzione di variabile reale:
2
ax 2 ax , SE x 0
a (a\{0}).
f : x
a 3 x ln x , SE x 0
4 punti Calcolare a in modo che f abbia un minimo relativo di ordinata -1.
A a
Si pone ora a = -1 e si considera la funzione:
B
2
x 2 x , SE x 0
a
f : x
3 x ln x , SE x 0
e sia F il grafico di f in un sistema di riferimento ortonormato xOy.
5 punti Studiare f (zeri, senso di variazione, punti estremanti)
a)
4 punti Studiare la derivabilità di f in x = 0.
b)
4 punti Disegnare F.
c)
4 punti Scrivere le equazioni delle rette tangenti a F che sono parallele alla retta di
d) equazione y = -4x + 1
4 punti Calcolare :
e) k
A f ( x ) dx ( k 2 ) .
k 2
25 punti N.B.: Tutti i problemi proposti sono obbligatori!
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MATEMATICA (5P.)
Problema 6 - (lungo: Geometria)
Nello spazio euclideo, munito di un riferimento ortonormato Oxyz, sono dati i punti:
A(2,-1,3), B(-6,2,2), C(0,1,0),
D(4,1,-4), E(3,3,-1) e P(3,2,1).
,
Scrivere l’equazione del piano
5 punti a) i cui punti sono equidistanti da A e da B (piano
del segmento
assiale AB).
8 punti b) Si considera il piano passante per i punti C, D e E.
1
Scrivere un’equazione del piano perpendicolare alla retta e passante per P.
2 1
Scrivere un’equazione del piano
8 punti c) parallelo alla retta e passante per i punti
3 1
P (4,3,-3) e P (2,-2, p) .
1 2 1
Si scriverà sia sotto forma parametrica che sotto forma cartesiana.
3
4 punti d) Verificare se i punti A e B si trovano dalla stessa parte, o no, rispetto al piano .
1
25 punti N.B.: Tutti i problemi proposti sono obbligatori! Pagina 1
Scuola Europea - Luxembourg Prèbac 1995
MATEMATICA (5P.)
Problema 1
Soluzione :
A a 0
1
1
a
Si ha: ; inoltre .
f '(
1
) 0 1 0
f ': x 1
a a
2 2 a 2
x a 1 a
2
a
Essendo , si ha ancora e ; dunque in
f '': x f ''(
1
) 2 0 f ''(
1
) 2 0
0 2
a 3
x a
x = 1 si ha una minimo relativo quando a = 0 (e un massimo relativo quando a = -2) .
1 1 2
B
a a a
Si ha: f : x x 3 , f ': x 1 , f '': x
2 3
x 2 x 2 x 2
a) m 5
1 21
\{2},
D = , .
f ( x ) 0 ( x 3
)( x 2 ) 1 0 x f ( 0
) 2
2
lim f ( x ) , dunque la retta x = 2 é asintoto verticale di F
x 2
lim f ( x ) lim ( x 3
) , dunque la retta y = x + 3 è asintoto obliquo di F
x x
2 2
f '( x ) 0 ( x 2
) 1 x 4 x 3 0 x ,
1 3
,
f strettamente decrescente quando .
x 1
,
3
f strettamente crescente quando x ,
1 3
,
Massimo relativo M(1,3), minimo relativo m(3, 7).
Risolvendo il sistema
1
y x 3
x 2
,
5
y
2 3
si trova .
x 0 x 2
Si ha:
b) 3 / 2
3 / 2
2
1 5 x 1 9 3 15
2
A x 3 dx x ln x 2 2 ln 2 2 ln 2 0
.
489 u
x 2 2 2 2 8 4 8
0 0
R. SANTORO: Correzione Prèbac Matematica 5p./sett. (A.S. 1994/95) Pagina 2
Problema 2
Soluzione :
a) dy
Da , si ha (separando le variabile x e y):
y cos2 x
dx 1
dy dy 1 sin 2 x
2
y Ce
cos 2 x dx cos 2 x dx ln y sin 2 x ln C
y y 2
b) 1
sin 2 x 1
2
y 2 e
y ( 0
) 2
e 2
e C
Dall’equazione differenziale data si ha subito:
c) ,
y '( 0
) y ( 0
) cos 2 0 2
e
Dunque l’equazione della tangente è: y 2
e
( x 1
)
Problema 4
Soluzione : 60 40
100 100
30 anni < 30 anni
60 40 30 70
100 100 100 100
P.G. no P.G. P.G. no P.G.
40 30 60 60 48
a)
p(P.G.) 0
.
48
100 100 100 100 100 40 30
b)
p(meno di 30 a. e P.G.) 12 1
100 100
p(meno di 30 a. se con P.G.) 0
.
25
48
p(P.G.) 48 4
100
4 3 3 9
c)
p(3 P.G. e 1 meno di 30 a.) .
3 0
.
0818 818%
.
12 11 10 110
R. SANTORO: Correzione Prèbac Matematica 5p./sett. (A.S. 1994/95) Pagina 3
Problema 3
Soluzione :
a) x 3 2
x y z 0 3 x 6 z 9 0
Si ha: , da cui risulta che la retta s passa
s
: s
: s
: y 3
2 x y 5
z 9 0 y x z
z
2
per il punto B(3,-3,0) ed ha come vettore direttore il vettore .
v 1
1
b) 4 2
u 2 2 1 2
v
Il vettore direttore della retta r è , dunque le rette r e s dono parallele.
2 1
c)
Il piano individuato dalle rette r e s è il piano , dove A(-2,1,0) è un punto della retta r;
( B
, BA
, v )
3
dunque si ha:
x 3 y 3 z
.
: 5 4 0 0 4 ( x 3
) 5
( y 3
) 3
z 0 4 x 5 y 3
z 3 0
3
2 1 1 r
u
A s
v
B
d) Essendo r//s e s = , anche r// ; dunque anche la proiezione ortogonale di r su (sia questa
1 2 1 1
r
r ) avrà lo stesso vettore direttore di r. Basta allora trovare la proiezione ortogonale A di Ar
1 1 1
sul piano :
1 5
x
3 5
x 2 t x 2 t 4
3
x 2
y
y 1 t y 1 t 4
3
A : A : A : r : y 1
1 1 1 1
z t z t 1 3
z
z 1
1
3
x y z 0 2 t 1 t t 0
3
1
t
3
r
A r
1
A
1
1
R. SANTORO: Correzione Prèbac Matematica 5p./sett. (A.S. 1994/95)
