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In questo esercizio ci chiede di discutere la derivabilità della funzione data da x uguale a zero per x uguale a zero e x a seconda per il seno di uno su x per x diverso da zero
Notare questo esercizio diverso dal precedente, in quanto qui la funzione di moltiplicazione di su x x al quadrato e non x e questo cambierà le cose.
Il grafico come al solito è abbastanza in questo caso poco indicativo. Studiamo anzitutto la continuità in zero che sembra esserci ancora per i termini del confronto la quantità in zero, cioè il segno generato da uno. Di conseguenza x4 su x tende a zero in quanto sta una funzione infinitesima.
Per quanto riguarda la derivata prima zero, come al solito procediamo con la definizione limite del rapporto incrementale. Il rapporto incrementale è dato da h4 seno di un frutto H in quanto è vero, semplificando, è dato da H persino su H e stavolta l'intervallo di unità risulta essere uguale a zero. Per trovare il confronto vedi esercizio precedente. Quindi si tratta di una funzione derivabile in x uguale a zero.
La derivata prima osserviamo che è data quando x diverso da zero da due x seno di uno su x meno il coseno di uno su x. A conti fatti matrici per x uguale a zero è data da F ed è dato da f primo in zero uguale a zero. Qui è riportato il grafico della derivata prima del grafico. Si vede chiaramente che la derivata prima non ha limite quando x tende a zero, ovvero f primo non è una funzione continua. Quindi ho trovato un esempio di funzione che è derivabile su tutto r2, ma la derivata prima non è continua, in particolare non è continua per x uguale a zero. Quindi questo è un esempio importante da ricordare in quanto si tratta di una funzione derivabile ma non di classe C1.
DERIVATE IN UNA VARIABILE
ESERCIZIO 12
Discutere la derivabilità della seguenti funzione definita su tutto R:
0 x =0
f (x) = 1
2 6
x = 0.
x sin x
Il grafico della funzione data è il seguente:
Soluzione.
La funzione f è continua anche in x = 0; infatti
1
2 2
≤ |x | ≤
0 sin x
x
e si applica nuovamente il Teorema del confronto per i limiti. Andiamo a calcolare,
0
se esiste, f (0) (altrove non ci sono problemi di derivabilità):
1
2
h sin 1
0 h
f (0) = lim = lim h sin = 0.
h h
h→0
h→0 0 6
Ne segue che f è derivabile anche in x = 0. f è data da, per x = 0,
1 1 1 1 1
0 2 − −
f (x) = 2x sin + x cos = 2x sin cos
2
x x x x x
la quale ha grafico: 1