Derivate di funzioni in una variabile: esercizio 3.9 con commento audio

Discutere la derivabilità della seguente funzione definita su tutto redatta da f di x quale modulo di x arco tangente del modulo di x

Questa funzione è appunto continua su tutto l'asse reale e risulta anche derivabile in zero.
Nonostante la presenza del modulo della funzione che potrebbe trarre in inganno, questa supposizione fatta dall'andamento grafico fatto al computer, come mostrato in figura, dimostriamo che effettivamente si ha derivabilità per x uguale a zero, che è l'unico punto in cui potrebbe non essere derivabile in quanto altrove il modulo si scioglie e si ha una composizione di funzioni derivabili a destra in zero
è il limite del rapporto incrementale quando l'incremento tende a zero più quando è positivo il rapporto incrementale tra h e tangente dh fratto h, il quale tende a zero zero più, mentre invece quando h è negativo il rapporto incrementale vale meno tangente di meno h fratto h data la disparità della funzione arco tangente.
Questo limite risulta essere ancora zero. Di conseguenza la funzione derivabile risulta zero.