francesco.speciale
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[math]|2x-5|+4x>=x^2[/math]


[math]|2x-5|>=x^2-4x[/math]

Per risolvere la disequazione dobbiamo distinguere il caso in cui l'espressione

[math]2x-5[/math]

è positiva o nulla da quello in cui è negativa. Infatti
Se
[math]2x-5>=0[/math]
la disequazione è equivalente a
[math]2x-5>x^2-4x[/math]

Se
[math]2x-5 la disequazione è equivalente a
[math]2x-5

In definitiva, per risolvere la disequazione data, dobbiamo risolvere i due sistemi

[math]\begin{cases} 2x-5>=0 \\ 2x-5>=x^2-4x \ \end{cases} vv {(2x-5;

Studiamo il primo sistema

[math]\begin{cases} 2x-5>=0 \\ 2x-5>=x^2-4x \ \end{cases}[/math]
;
[math]\begin{cases} 2x>=5 \\ -x^2+6x-5>=0 \ \end{cases}[/math]
;
[math]\begin{cases} x>=5/2 \\ x^2-6x+5>=0 \ \end{cases}[/math]
;
Studiamo la seconda disequazione
[math]x^2-6x+5>=0[/math]

[math](Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-3)^2-(5 \cdot 1)=9-5=4[/math]

[math]x_(1,2)=(-b/2+-\sqrt{(Delta)/4})/a=(3+-\sqrt4)=(3+-2) => x_1=1 ^^ x_2=5[/math]
.

Siccome il segno del coefficiente di

[math]x^2[/math]
è concorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli esterni, quindi soluzione della disequazione sarà:
[math]x=5[/math]
.
dis_mod_8_1.jpgPertanto
[math]S_1= 5/2

Studiamo ora il secondo sistema

[math]\begin{cases} 2x-5;
[math]\begin{cases} 2x
[math]\begin{cases} x

Studiamo la seconda disequazione

[math]x^2-2x-5

[math](Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-1)^2-((-5) \cdot 1)=1+5=6[/math]

[math]x_(1,2)=(-b/2+-\sqrt{(Delta)/4})/a=(1+-\sqrt6) => x_1=(1-\sqrt6) ^^ x_2=(1+\sqrt6)[/math]
.

Siccome il segno del coefficiente di

[math]x^2[/math]
è discorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli interni, quindi soluzione della disequazione sarà:
[math](1-\sqrt6).
dis_mod_8_2.jpg
Pertanto
[math]S_1=1-\sqrt6

In definitiva quindi la soluzione è data dalle unioni delle due soluzioni, cioè:
dis_mod_8_3.jpg

[math]S=S_1 uu S_2 : 1-\sqrt6.