_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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3' di lettura
Risolvere la seguente disequazione con valore assoluto:

[math] | x^2 - x |

Svolgimento

Distinguiamo due casi e impostiamo due sistemi; cominciamo dal primo caso:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
x^2 - x ≥ 0 &\
x^2 - x end{array}\right.
[math][/math]

Il secondo sistema sarà quindi:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
x^2 - x - x^2 + x end{array}\right.
[math][/math]

Cominciamo dal primo sistema e risolviamo la prima disequazione:

[math]x^2 - x ≥ 0 [/math]

[math]x^2 - x = 0 [/math]

[math] x (x - 1) = 0 [/math]

[math]x = 0[/math]

[math]x - 1 = 0 x = 1 [/math]

Prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici:

[math] x ≤ 0 ∨ x ≥ 1 [/math]

Passiamo ora alla seconda disequazione:

[math] x^2 - x

[math] x^2 - x - 2x^2 - 3x + 1

[math] - x^2 - 4x + 1

Cambiamo segno e passiamo all'equazione associata:

[math] x^2 + 4x - 1 > 0 [/math]

[math] x^2 + 4x - 1 = 0 [/math]

Troviamo le soluzioni con la formula

[math] x = frac(- b/2 ± \sqrt{(b/2)^2 - ac})(a) [/math]

[math] x = frac(- 4/2 ± \sqrt{(4/2)^2 - (-1)})(1) = -2 ± \sqrt(4 + 1) = - 2 ± \sqrt5 [/math]

[math] x = - 2 + \sqrt5 ∨ x = - 2 - \sqrt5 [/math]

La disequazione è maggiore di zero, quindi prendiamo gli intervalli esterni alle radici:

[math] S : x - 2 + \sqrt5 [/math]

Il primo sistema sarà quindi:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
x ≤ 0 ∨ x ≥ 1 &\
x - 2 + \sqrt5 &
end{array}\right.
[math][/math]

Determiniamo le soluzioni:

[math] S : x

Passiamo al secondo sistema.

Abbiamo già trovato in precedenza le soluzioni dell'equazione associata della prima disequazione; questa volta però, poiché la disequazione è minore di zero, dobbiamo prendere gli intervalli interni alle radici:

[math]x^2 - x

[math] S : 0

Passiamo alla seconda:

[math] - (x^2 - x)

[math] - x^2 + x

[math] -3x^2 - 2x + 1

Cambiamo segno e passiamo all'equazione associata:

[math] 3x^2 + 2x - 1 > 0 [/math]

[math] 3x^2 + 2x - 1 = 0 [/math]

Troviamo le soluzioni con la formula

[math] x = frac(- b/2 ± \sqrt{(b/2)^2 - ac})(a) [/math]

[math] x = frac(- 2/2 ± \sqrt{(2/2)^2 - 3 \cdot (-1)})(3) = frac(- 1 ± \sqrt(1 + 3))(3) =[/math]

[math] x = frac(- 1 ± \sqrt4){3} = frac(- 1 ± 2){3} [/math]

[math] x = frac(- 1 + 2)(3) = 1/3 ∨ x = frac(- 1 - 2)(3) = -1 [/math]

La disequazione è maggiore di zero, quindi prendiamo gli intervalli esterni alle radici:

[math] S : x 1/3 [/math]

Il secondo sistema sarà quindi:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
0 x 1/3 &
end{array}\right.
[math][/math]

Determiniamo le soluzioni:

[math] S : 1/3

La soluzione finale della disequazione iniziale è data dall'unione dei due sistemi, cioè:

[math] S : x

La soluzione finale sarà quindi:

[math] S : x 1/3 [/math]
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