Verrà anche proposto un esempio con la Regola di Ruffini. Prima di concentrarci sull’argomento principale di questo appunto verrà fatta una breve introduzione ai polinomi.
Che cosa sono i polinomi? Definizione
Si chiama polinomio quell’espressione nella quale compaiono monomi sommati o sottratti tra loro.Ciascun monomio che compone il polinomio prende il nome di termine del polinomio.
Un polinomio, ridotto in forma normale, cioè privo di monomi simili tra loro, può essere chiamato in diversi modi a seconda di quanti termini è formato:
- Monomio: se il polinomio è formato da un termine;
- Binomio: se il polinomio è formato da due termini;
- Trinomio: se il polinomio è formato da tre termini;
- Quadrinomio: se il polinomio è formato da quattro termini.
In un polinomio, ridotto in forma normale, si ha che:
- Il grado di un polinomio rispetto ad una lettera è rappresentato dal più grande esponente posseduto dalla lettera nel polinomio;
- Il grado di un polinomio è rappresentato dal grado massimo posseduto da uno dei termini che lo compongono.
Un polinomio si può chiamare:
- Polinomio omogeneo: se tutti i i monomi che lo compongono hanno lo stesso grado;
- Polinomio ordinato: un polinomio è ordinato, rispetto ad una sua lettera, quando gli esponenti della lettera sono disposti in ordine crescente o decrescente;
- Polinomio completo: quando dopo averlo ordinato gli esponenti di quella lettera compaiono tutti dal maggiore al minore o viceversa, compreso il termine noto.
Per ulteriori approfondimenti sui polinomi vedi anche qua
Divisione tra polinomi
Un polinomio è divisibile per un altro polinomio quando non abbiamo resto.La definizione corretta è la seguente: “si dice che un polinomio
[math]A[/math]
è divisibile per un polinomio [math]B[/math]
quando esiste un polinomio [math]C[/math]
che moltiplicato per il polinomio [math]B[/math]
dà come risultato il polinomio [math]A[/math]
”.
Ora studiamo l’algoritmo per la determinazione del quoziente e del resto:
- Scrivere il dividendo e il divisore in modo ordinato e completo;
- Costruire una tabella nella quale porre sulla sinistra il dividendo, sulla destra il divisore e sotto il divisore quello che diventerà il quoziente;
- Dividere il primo termine del dividendo con il primo termine del divisore;
- Scrivere il risultato ottenuto nella parte dedicata al quoziente;
- Moltiplicare ogni termine del divisore per il quoziente appena ottenuto e cambiarlo di segno, avendo cura di scriverlo al di sotto di ogni monomio simile;
- Sommare monomio a monomio, facendo attenzione che il primo deve dare assolutamente valore zero;
- Dividere il primo termine del nuovo dividendo per il primo termine del divisore;
- Continuare con il procedimento appena elencato fino a che il primo termine del nuovo dividendo non sarà minore del divisore, ciò che rimarrà prederà il nome di resto della divisione.
Quello che abbiamo appena descritto prende il nome di Teorema del resto.
Per ulteriori approfondimenti sul teorema del resto vedi anche qua
Regola di Ruffini
La Regola di Ruffini è un procedimento utilizzato per dividere due polinomi in cui il divisore sia un binomio di primo grado.L’iter da seguire è il seguente:
- Si ordinano i polinomi secondo le potenze decrescenti delle variabili e si completa, se necessario, il polinomio dividendo;
- Si crea la griglia formata da due righe e tre colonne; nella prima riga e seconda colonna si mettono tutti i coefficiente del polinomio dividendo. E nella prima riga e prima colonna si scrive l’opposto del termine noto del polinomio divisore;
- Si riscrivere nella seconda riga e seconda colonna il primo coefficiente del polinomio;
- Si moltiplica il primo coefficiente del polinomio per il termine scritto nella prima colonna e prima riga, e si scrivere il risultato nella seconda colonna e prima riga sotto il secondo termine del polinomio;
- Si sommano i numeri del secondo coefficiente del polinomio nella seconda colonna e prima riga, e si scrive il risultato nella seconda colonna e seconda riga;
- Si moltiplica la somma ottenuta per il termine scritto nella prima colonna e prima riga e si scrive il risultato nella seconda colonna e prima riga sotto il terzo termine del polinomio;
- Si sommano i numeri del terzo coefficiente del polinomio nella seconda colonna e prima riga, e si scrive il risultato nella seconda colonna e terza riga;
- Si moltiplica la somma ottenuta per numero scritto nella prima colonna e prima riga e si scrive il risultato nella terza colonna e prima riga;
- Si sommano i numeri sulla terza colonna e prima riga e il risultato che si ottiene si scrive nella terza colonna e seconda riga e prenderà il nome di resto della divisione;
- I numeri scritti nella seconda colonna e seconda riga rappresenta nell’ordine i coefficienti del polinomio risultato detto quoziente.
Esso sarà un polinomio di un grado inferiori rispetto al polinomio dividendo.
Per definizione della divisione si ha che:[math] Dividendo = Quoziente \cdot Divisore + resto [/math]
Per ulteriori approfondimenti sulla Regola di Ruffini vedi anche qua
Esempio seguendo la Regola di Ruffini
Di seguito viene riportato un breve esempio su come risolvere una divisione fra polinomi seguendo la Regola di Ruffini.
