[math]\begin{cases} y' = \frac{y}{1 + x^2} + 2x e^{\text{\arctg}(x)} \\ y(1) = 1 \ \end{cases}[/math]
Le ipotesi del teorema di esistenza e unicità sono soddisfatte, pertanto la soluzione a tale problema esiste ed è unica.
Data un'equazione differenziale del primo ordine, del tipo
[math]y' = \alpha(x) y + \beta(x)[/math]
il suo integrale generale è pari a
[math]y = e^{A(x)} [C + \int e^{-A(x)} \beta(x) dx][/math]
dove
[math]A(x)[/math]
è una primitiva di [math]\alpha(x)[/math]
e [math]C \in \mathbb\{R\}[/math]
è una costante arbitraria.Pertanto, in questo caso l'integrale generale è
[math]y = e^{\text{arctg}(x)} [C + \int e^{-\text{arctg}(x)} 2x e^{\text{arctg}(x)} dx] = e^{\text{arctg}(x)} [C + \int 2x dx] = e^{\text{arctg}(x)} [C + x^2][/math]
Imponendo la condizione iniziale:
[math]1 = e^{\frac{\pi}{4}} (C+1)[/math]
[math]C + 1 = e^{-\frac{\pi}{4}} \quad \implies \quad C = e^{-\frac{\pi}{4}} -1[/math]
Quindi la soluzione del problema di Cauchy è
[math]y = e^{\text{arctg}(x)} [e^{-\frac{\pi}{4}} -1 + x^2][/math]
FINE
