_Steven
di _Steven
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In questo appunto viene risolto un esercizio contenente delle potenze, per comprendere meglio la risoluzione viene prima proposto un breve ripasso sulle potenze e sui logaritmi.

Potenze – definizione e proprietà

Una potenza è generalmente espressa nella seguente forma:
[math]a^b[/math]

Dove “a” prende il nome di base mentre "b" prende il nome di esponente.

L’espressione

[math]a^b[/math]
equivale a dire che consideriamo il numero “a” e lo moltiplichiamo per sé stesso un numero di volte pari a "b".

Riportiamo ora un esempio che ci permetta di comprendere meglio il significato di potenza.
Consideriamo la potenza

[math]2^4[/math]

Tale potenza equivale a moltiplicare il numero 2 per sé stesso per 4 volte, possiamo quindi scrivere:

[math]2^4=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=16[/math]

In genere se il numero che si trova come base è molto grande o se si trova un esponente molto grande, è molto facile che il risultato della potenza diventi subito un numero molto alto.
Se quindi non si ha a disposizione una calcolatrice è necessario ricorrere alle proprietà delle potenze per poter semplificare alcune espressioni, riportiamo in seguito le principali proprietà delle potenze.

Il prodotto di due potenze con la stessa base è equivalente a una potenza che ha come base la stessa delle due potenze di partenza e ha come esponente la somma degli esponenti.
In forma generale tale proprietà può essere scritta nel seguente modo:

[math]a^b \cdot a^c = a^{b+c}[/math]

Il rapporto di due potenze con la stessa base è equivalente a una potenza che ha come base la stessa delle due potenze di partenza e ha come esponente la differenza degli esponenti.
In forma generale tale proprietà può essere scritta nel seguente modo:

[math]a^b : a^c = a^{b-c}[/math]

La potenza di potenza (una potenza elevata ad un secondo esponente) può essere riscritta come una potenza avente la stessa base della potenza di partenza e avente come esponente il prodotto tra gli esponenti.
In forma generale tale proprietà può essere scritta nel seguente modo:

[math](a^b)^c=a^{b \cdot c}[/math]

Ricordiamo che non esiste alcuna proprietà che riguarda la somma o la differenza tra potenze.
Per ulteriori approfondimenti sulle potenze e sulle loro proprietà vedi anche qua

Logaritmi – definizione e proprietà

Il logaritmo può essere definito come la funzione inversa della potenza; l’espressione generale del logaritmo è:
[math]log_a(b)[/math]

dove "a" prende il nome di base mentre "b" prende il nome di argomento.

Il logaritmo per definizione è: l’esponente da dare alla base per ottenere l’argomento.
Scritto sottoforma di espressione matematica equivale a:

[math]log_a(b)=c[/math]

[math]a^c=b[/math]

Anche per il logaritmo esistono delle proprietà che possono essere utilizzate per semplificare i calcoli nelle espressioni.

La somma di due logaritmi aventi la stessa base equivale ad un logaritmo avente la stessa base dei due logaritmi di partenza ed avente come argomento il prodotto degli argomenti.
In forma generale tale proprietà può essere scritta nel seguente modo:

[math]log_a(b)+log_a(c)=log_a(b \cdot c)[/math]

La differenza di due logaritmi aventi la stessa base equivale ad un logaritmo avente la stessa base dei due logaritmi di partenza ed avente come argomento il rapporto degli argomenti.
In forma generale tale proprietà può essere scritta nel seguente modo:

[math]log_a(b)-log_a(c)=log_a(b:c)[/math]

Se l’argomento del logaritmo è una potenza, allora è possibile trasferire l’esponente della potenza come fattore moltiplicativo del logaritmo.
In forma generale tale proprietà può essere scritta nel seguente modo:

[math]log_a(b^c)=c \cdot log_a(b)[/math]

Risoluzione delle equazioni

Per risolvere delle espressioni o delle equazioni in cui sono presenti delle potenze è necessario utilizzare le proprietà sopra descritte per semplificare l’espressione, una volta fatto ciò è necessario utilizzare le seguenti regole.

L’uguaglianza di due potenze aventi la stessa base equivale all’uguaglianza tra gli esponenti.
Riportiamo ora un esempio; se:

[math]a^b=a^c[/math]

Allora:

[math]b=c[/math]

Nel caso in cui non sia possibile ricondurre l’espressione all’uguaglianza tra due potenze aventi la stessa base, è necessario seguire le seguenti considerazioni.
Dato che il logaritmo è la funzione inversa di una potenza si può affermare che:

[math]e^{lnx}=x[/math]

Dove la lettera “e” corrisponde al numero di Eulero.

Generalmente se si trova un logaritmo senza base si considera che:

  • [math]ln(x)=log_e(x)[/math]

  • [math]log(x)=log_{10}(x)[/math]

Tali convenzioni non sono sempre le stesse ma dipendono dall’autore del libro che si utilizza perciò se si incontrano queste situazioni è bene controllare la convenzione utilizzata dal libro.

Per risolvere una equazione è quindi possibile eseguire la funzione di logaritmo ad entrambi i membri dell’espressione, una volta fatto ciò è possibile utilizzare le proprietà dei logaritmi per risolvere l’espressione e trovare il valore della variabile incognita.
Per ulteriori approfondimenti sui logaritmi e sulle loro proprietà vedi anche qua

Esercizio e risoluzione

Sia da risolvere questa equazione esponenziale:
[math]2^{2x+5} +2 \cdot 3^{x+2}=3^{x+3}+2^{2x+4}[/math]

Applicando le note proprietà  delle potenze, e portando tutti i termini al primo membro, otteniamo

[math]2^{2x} \cdot 2^5+2 \cdot 3^x \cdot 3^2-3^x \cdot 3^3-2^{2x} \cdot 2^4=0[/math]

ora possiamo raccogliere i fattori comuni

[math]2^{2x}[/math]
e
[math]3^x[/math]
, ottenendo
[math]2^{2x} \cdot (2^5-2^4)+3^x \cdot (2 \cdot 3^2-3^3)=0[/math]

Ma

[math]2^5-2^4=2^4[/math]
e
[math]2 \cdot 3^2-3^3=18-27=-9=-3^2[/math]

quindi si ha facilmente

[math]2^4 \cdot 2^{2x}=3^2 \cdot 3^x[/math]

cioè

[math]2^{2{x+2}}=3^{x+2}[/math]

Passando ora ai logaritmi e usando le loro proprietà , abbiamo

[math]2(x+2)\\log(2)=(x+2)\\log3[/math]

Portando ora tutto a sinistra

[math](2\\log2) \cdot (x+2)-(\\log3) \cdot (x+2)=0[/math]

e raccogliendo la parentesi si giunge a

[math](x+2) \cdot (2\\log2-\\log3)=0[/math]

Questa equazione deve essere vista come una del tipo

[math]ax=0[/math]
dal momento che
[math]2\\log2-\\log3[/math]
è un semplice costante.
In definitiva, la quantità  di sinistra vale
[math]0[/math]
solo quando si annulla
[math]x+2[/math]
, quindi la soluzione è
[math]x=-2[/math]
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