Dimostrare che vale la seguente proprietà
[math]\\log_(ab) m=frac{\\log_a m \cdot \\log_b m}{\\log_a m+\\log_b m}[/math]
con [math]a,b,m[/math]
tali da garantire l'esistenza del logaritmo e della frazione. Ricordiamo innanzitutto due importanti proprietà dei logaritmi: La prima è sicuramente nota:
[math]\\logx+\\logy=\\log(xy)[/math]
(1) per qualsiasi base positiva diversa da [math]1[/math]
La seconda dice che
[math]\\log_x y=1/(\\log_y x)[/math]
(2) ovvero: un logaritmo in base [math]x[/math]
di [math]y[/math]
è uguale al reciproco del logaritmo con argomento e base scambiati di posto. Iniziamo la dimostrazione sfruttando la prima proprietà (1) citata inserendo i nostri valori
[math]a,b,m[/math]
[math]\\log_m ab=\\log_m a+\\log_m b[/math]
Usando ora la seconda proprietà (2)possiamo scrivere
[math]1/(\\log_(ab) m)=1/(\\log_a m)+1/(\\log_b m)[/math]
Sommiamo le frazioni al secondo membro
[math]1/(\\log_(ab) m)=(\\log_a m+\\log_b m)/(\\log_a m \cdot \\log_b m)[/math]
Ora passiamo ai reciproci (se queste due frazioni sono uguali, anche i loro reciproci devono esserlo)
[math]\\log_(ab) m=(\\log_a m \cdot \\log_b m)/(\\log_a m+\\log_b m)[/math]
Questa era la tesi che si richiedeva, pertanto la dimostrazione, partita da una relazione sicuramente vera (la (1)) è conclusa.
FINE
