_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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3' di lettura
Risolvere la seguente equazione logaritmica:

[math] 1/4 \\log_2 (x + 1) + frac(\\log_2 (x - 1))(3) = 1 + frac(\\log_2 (x^2 - 1))(\\log_2 (16)) [/math]

Svolgimento

Prima di tutto, determiniamo le condizioni di esistenza:

[math] C.E. [/math]

[math][/math]
left{
egin{array}{ll}
x + 1 > 0&\
x - 1 > 0&\
x^2 - 1 > 0 &
end{array}
ight.
[math][/math]

Risolviamo le tre disequazioni:

[math] x + 1 > 0 \to x > -1 [/math]

[math] x - 1 > 0 \to x > 1 [/math]

[math] x^2 - 1 > 0 [/math]

Passiamo all'equazione associata:

[math] x^2 - 1 = 0 \to x^2 = 1 \to x = ± 1 [/math]

Poiché la disequazione è maggiore di zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici:

[math] x 1 [/math]

Quindi:

[math][/math]
left{
egin{array}{ll}
x > -1&\
x > 1&\
x 1 &
end{array}
ight.
[math][/math]

Determiniamo le condizioni di esistenza:

[math] x > 1 [/math]

Risolviamo ora l'equazione:

[math] 1/4 \\log_2 (x + 1) + frac(\\log_2 (x - 1))(3) = 1 + frac(\\log_2 (x^2 - 1))(\\log_2 (16)) [/math]

Sapendo che il logaritmo, per definizione, è l'esponente da dare alla base per ottenere l'argomento, abbiamo che:

[math]\\log_2 (16) = \\log_2 (2^4) = 4 [/math]

quindi

[math] 1/4 \\log_2 (x + 1) + frac(\\log_2 (x - 1))(3) = 1 + frac(\\log_2 (x^2 - 1))(4) [/math]

[math] 1/4 \\log_2 (x + 1) + frac(\\log_2 (x - 1))(3) = 1 + 1/4 \\log_2 (x^2 - 1) [/math]

Applichiamo la proprietà dei logaritmi in base alla quale si ha

[math] \\log_a (b^k) = k \\log_a (b)[/math]
:

[math] \\log_2 (x + 1)^{1/4} + \\log_2 (x - 1)^{1/3} = 1 + \\log_2 (x^2 - 1)^{1/4} [/math]

sappiamo che la radice di un numero può essere scritta in questo modo:

[math] \sqrt{a} = a^{1/2} [/math]

quindi:

[math][/math] log_2 (\sqrt[4]{x + 1}) + log_2 (\sqrt[3]{x - 1}) = 1 + log_2 (\sqrt[4]{x^2 - 1}) [math][/math]

sapendo che:

[math]\\log_a (b_1 \cdot b_2 ) = \\log_a (b_1 ) + \\log_a ( b_2 )[/math]

possiamo scrivere

[math][/math] log_2 (\sqrt[4]{x + 1} · \sqrt[3]{x - 1}) = 1 + log_2 (\sqrt[4]{x^2 - 1}) [math][/math]

Poiché

[math]\\log_a (a) = 1 [/math]
, possiamo scrivere:

[math][/math] log_2 (\sqrt[4]{x + 1} · \sqrt[3]{x - 1}) = log_2 (2) + log_2 (\sqrt[4]{x^2 - 1}) [math][/math]

Applichiamo la proprietà precedente:

[math][/math] log_2 (\sqrt[4]{x + 1} · \sqrt[3]{x - 1}) = log_2 (2 · \sqrt[4]{x^2 - 1}) [math][/math]

Poiché i logaritmi hanno la stessa base, possiamo uguagliare gli argomenti:

[math][/math] \sqrt[4]{x + 1} · \sqrt[3]{x - 1} = 2 · \sqrt[4]{x^2 - 1} [math][/math]

[math][/math] \sqrt[4]{x + 1} · \sqrt[3]{x - 1} = \sqrt[4]{ 2^4 · (x^2 - 1)} [math][/math]

Riduciamo le radici allo stesso indice:

[math][/math] \sqrt[12]{(x + 1)^3 · (x - 1)^4} = \sqrt[12]{ (2^4 · (x^2 - 1))^3 } [math][/math]

Togliamo le radici:

[math][/math] left(\sqrt[12]{(x + 1)^3 · (x - 1)^4} \right)^{12} = left(\sqrt[12]{ (2^4 · (x^2 - 1))^3 } \right)^{12} [math][/math]

[math][/math] (x + 1)^3 · (x - 1)^4= (2^4 · (x^2 - 1))^3 [math][/math]

Scomponiamo il secondo membro:

[math][/math] (x + 1)^3 · (x - 1)^4= 2^{12} · ( (x + 1)(x - 1) )^3 [math][/math]

[math][/math] (x + 1)^3 · (x - 1)^4= 2^{12} · (x + 1)^3 · (x - 1)^3 [math][/math]

Possiamo semplificare:

[math] x - 1 = 2^{12} \to x = 2^{12} + 1 [/math]
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