_francesca.ricci
(70 punti)
3' di lettura
Risolvere la seguente equazione logaritmica:

[math] \log(\frac{1 - x}{1 + x} ) + 1/2 ( \log(\frac{1 + 2x}{1 - 2x}) ) = 0 [/math]

Svolgimento (C.E.)

Poniamo le condizioni di esistenza:

[math]C.E.[/math]

[math]
left{ \begin{array}{rl}
\frac{1 - x}{1 + x} > 0 &\
\frac{1 + 2x}{1 - 2x} > 0 &
end{array}\right.
[/math]
[math]
left{\begin{array}{rl}
\frac{1 - x}{1 + x} > 0
\frac{1 + 2x}{1 - 2x} > 0
\end{array}\right.
[/math]

Risolviamo la prima disequazione:

[math] \frac{1 - x}{1 + x} > 0 [/math]

[math] N > 0 \to 1 - x > 0 \to x

[math] D > 0 \to 1 + x > 0 \to x > - 1 [/math]

Studiamo il segno:

studio_del_segno

Prendiamo gli intervalli positivi:

[math] - 1

Passiamo alla seconda disequazione:

[math] \frac{1 + 2x}{1 - 2x} > 0 [/math]

[math] N > 0 \to 1 + 2x > 0 \to x > -1/2 [/math]

[math] D > 0 \to 1 - 2x > 0 \to x

Studiamo il segno:

studio_del_segno

Prendiamo gli intervalli positivi:

[math] -1/2

Torniamo al sistema:

[math]
left{ \begin{array}{rl}
- 1 - \frac{1}{2} end{array}\right.
[/math]

Determiniamo quindi le condizioni di esistenza:

[math] -1/2

Svolgimento (Risoluzione)

Ricordiamo che, quando non è espressa la base del logaritmo, è da considerarsi in base 10.

Applichiamo la proprietà dei logaritmi in base alla quale si ha

[math] \log_a (b^k) = k \log_a (b) [/math]
:

[math] \log(\frac{1 - x}{1 + x} ) + \log(\frac{1 + 2x}{1 - 2x})^{1/2} = 0 [/math]

sappiamo che la radice di un numero può essere scritta in questo modo:

[math] \sqrt{a} = a^{1/2}[/math]

quindi:

[math] \log(\frac{1 - x}{1 + x} ) + \log(\sqrt{\frac{1 + 2x}{1 - 2x}}) = 0 [/math]

sapendo che:

[math] \log_a( b_1 \cdot b_2 ) = \log_a (b_1) + \log_a (b_2) [/math]

possiamo scrivere

[math] \log[ \frac{1 - x}{1 + x} \cdot \sqrt{\frac{1 + 2x}{1 - 2x} } ] = 0 [/math]

Sapendo che

[math] \log(1) = 0 [/math]
, possiamo scrivere:

[math] \log[ \frac{1 - x}{1 + x} \cdot \sqrt{\frac{1 + 2x}{1 - 2x} } ] = \log(1) [/math]

Dal momento che i logaritmo hanno la stessa base, possiamo uguagliare gli argomenti:

[math] \frac{1 - x}{1 + x} \cdot \sqrt{\frac{1 + 2x}{1 - 2x} } = 1 [/math]

Eleviamo al quadrato:

[math] (\frac{1 - x}{1 + x} \cdot \sqrt{\frac{1 + 2x}{1 - 2x} } )^2 = 1^2 [/math]

[math] (\frac{1 - x}{1 + x})^2 \cdot \frac{1 + 2x}{1 - 2x} = 1 [/math]

[math] \frac(1 + x^2 - 2x)(1 + x^2 + 2x) \cdot \frac{1 + 2x}{1 - 2x} = 1 [/math]

Moltiplichiamo e calcoliamo il minimo comune multiplo:

[math] \frac((1 + x^2 - 2x)(1 + 2x) )((1 + x^2 + 2x)(1 - 2x)) = 1 [/math]

[math] (1 + x^2 - 2x)(1 + 2x) = (1 + x^2 + 2x)(1 - 2x) [/math]

[math] 1 + x^2 - 2x + 2x + 2x^3 - 4x^2 = 1 + x^2 + 2x - 2x - 2x^3 - 4x^2 [/math]

[math] 1 + x^2 - 2x + 2x + 2x^3 - 4x^2 - 1 - x^2 - 2x + 2x + 2x^3 + 4x^2 = 0 [/math]

[math] 2x^3 + 2x^3 = 0 \to x = 0 [/math]