Determina le soluzioni della seguente disequazione irrazionale:
[math] 1 + 2\sqrt{1 - 2/3 x} = \sqrt(2x + 1) [/math]
Svolgimento
Scegliamo di risolvere lequazione con il metodo della verifica delle soluzioni, quindi non poniamo le condizioni di esistenza.Calcoliamo il minimo comune multiplo allinterno della radice:
[math] 1 + 2\sqrt{frac(3 -2x)(3)} = \sqrt(2x + 1) [/math]
Portiamo sotto radice il 2:
[math] 1 + \sqrt{frac(4 (3 - 2x))(3)} = \sqrt(2x + 1) [/math]
[math] 1 + \sqrt{frac(12 - 8x)(3)} = \sqrt(2x + 1) [/math]
Per comodit, portiamo l1 al secondo membro:
[math] \sqrt{frac(12 - 8x)(3)} = \sqrt(2x + 1) - 1[/math]
Ora eleviamo tutto al quadrato:
[math] (\sqrt{frac(12 - 8x)(3)} )^2= (\sqrt(2x + 1) - 1)^2[/math]
[math] frac(12 - 8x)(3) = (\sqrt{2x + 1})^2 + 1 - 2 \sqrt{2x + 1}[/math]
[math] frac(12 - 8x)(3) = 2x + 1 + 1 - 2 \sqrt{2x + 1}[/math]
[math] frac(12 - 8x)(3) = 2x + 2 - 2 \sqrt{2x + 1}[/math]
Calcoliamo il minimo comune multiplo:
[math] frac(12 - 8x)(3) = frac(6x + 6 - 6 \sqrt{2x + 1})(3)[/math]
[math] 12 - 8x = 6x + 6 - 6 \sqrt{2x + 1}[/math]
[math] 12 - 8x - 6x - 6 = - 6 \sqrt{2x + 1}[/math]
[math] 6 - 14x = - 6 \sqrt{2x + 1}[/math]
Dividiamo tutto per due:
[math] 3 - 7x = - 3 \sqrt{2x + 1}[/math]
Eleviamo nuovamente al quadrato:
[math] (3 - 7x)^2 = (- 3 \sqrt{2x + 1})^2[/math]
[math] 9 + 49x^2 - 42x = 9 (2x + 1)[/math]
[math] 9 + 49x^2 - 42x = 18x + 9[/math]
[math] 9 + 49x^2 - 42x - 18x - 9 = 0[/math]
[math] 49x^2 - 60x = 0[/math]
Raccogliamo la x e risolviamo mediante la legge dellannullamento del prodotto:
[math] (49x - 60) x = 0[/math]
[math] x = 0[/math]
[math] 49x - 60 = 0 o x = (60)/(49)[/math]
Per verificare le soluzioni e accertarci che siano accettabili, dobbiamo sostituire i valori allincognita nellequazione di partenza; se otteniamo unuguaglianza, la soluzione accettabile.
[math] x = 0[/math]
[math] 1 + 2\sqrt{1 - 2/3 \cdot 0} = \sqrt(2 \cdot 0 + 1) [/math]
[math] 1 + 2\sqrt{1} = \sqrt{1} [/math]
[math] 1 + 2 = 1 o 3 = 1 [/math]
Non abbiamo ottenuto unuguaglianza, quindi la soluzione
[math]x=0[/math]
non accettabile; proviamo con l'altro risultato:
[math] x = (60)/(49)[/math]
[math] 1 + 2\sqrt{1 - 2/3 \cdot (60)/(49)} = \sqrt(2 \cdot (60)/(49) + 1) [/math]
[math] 1 + 2\sqrt{1 - (40)/(49)} = \sqrt((120)/(49) + 1) [/math]
[math] 1 + 2\sqrt{(49 - 40)/(49)} = \sqrt((120 + 49)/(49)) [/math]
[math] 1 + 2\sqrt{(9)/(49)} = \sqrt((169)/(49)) [/math]
[math] 1 + 2 \cdot (3)/(7) = (13)/(7) [/math]
[math] 1 + (6)/(7) = (13)/(7) [/math]
[math] (7 + 6)/(7) = (13)/(7) [/math]
[math] (13)/(7) = (13)/(7) [/math]
La soluzione
[math] x = frac(60)(49)[/math]
quindi accettabile.
