_francesca.ricci
di _francesca.ricci
(70 punti)
8' di lettura
Data l'equazione
[math](k - 2) x^2 - 2(k - 2)x + 1 - k = 0 [/math]
, determinare
[math]k[/math]
in modo che
  1. L'equazione abbia soluzioni reali;
  2. Una radice sia l'inverso del triplo dell'altra;
  3. La somma dei quadrati delle radici sia
    [math]1[/math]
    ;
  4. [math]x_1 + 2 x_2 = 1 [/math]
    ;
  5. [math] x_1 ^2 + x_2 ^2 ;

    Svolgimento (1)

    Affinché l'equazione abbia soluzioni reali, dobbiamo porre
    [math]∆ ≥ 0 [/math]
    :

    [math] b^2 - 4ac ≥ 0 [/math]

    [math] [- 2(k - 2)]^2 - 4(k - 2)(1 - k) ≥ 0 [/math]

    [math] [- 2k + 4]^2 - 4(k - k^2 - 2 + 2k) ≥ 0 [/math]

    [math] 4k^2 + 16 - 16k - 4k + 4k^2 + 8 - 8k ≥ 0 [/math]

    [math] 8k^2 - 28k + 24 ≥ 0 [/math]

    [math] 2k^2 - 7k + 6 ≥ 0 [/math]

    Passiamo all'equazione associata e determiniamo le soluzioni con la formula

    [math]k = frac(- b ± \sqrt{b^2 - 4ac})(2a) [/math]
    :

    [math] 2k^2 - 7k + 6 = 0 [/math]

    [math]k = frac(-(-7) ± \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2})(2 \cdot 2) = frac(7 ± \sqrt(49-48))(4) = frac(7 ± 1)(4) [/math]

    [math] k_1 = frac(7 + 1)(4) = 2 , k_2 = frac(7 - 1)(4) = 3/2 [/math]

    Essendo la disequazione maggiore o uguale a zero, le soluzioni saranno date dagli intervalli esterni alle radici:

    [math] k ≤ 3/2 ∨ k > 2 [/math]

    Svolgimento (2)

    Una radice deve essere l'inverso del triplo dell'altra; in questo caso abbiamo che:

    [math]x_1 = frac(1)(3 x_2) [/math]

    Poniamo

    [math]x_2 ≠ 0 [/math]
    e calcoliamo il minimo comune multiplo:

    [math] 3 x_1 x_2 = 1[/math]

    Sapendo che il prodotto delle radici è

    [math]c/a[/math]
    , abbiamo che:

    [math] 3 \cdot c/a = 1[/math]

    [math] 3 \cdot frac(1 - k)(k - 2) = 1[/math]

    Poniamo

    [math]k ≠ 2[/math]
    e risolviamo:

    [math] frac(3 - 3k)(k - 2) = 1 [/math]

    [math] 3 - 3k = k - 2 [/math]

    [math] 3 - 3k - k + 2 = 0 \to k = 5/4 [/math]

    Svolgimento (3)

    La somma dei quadrati delle radici deve essere 1; abbiamo che:

    [math] x_1 ^2 + x_2 ^2 = 1 [/math]

    La somma dei quadrati delle radici può essere scritta in questo modo:

    [math] x_1 ^2 + x_2 ^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2 [/math]

    Sapendo che la somma delle radici è data dalla formula

    [math]- b/a[/math]
    , mentre il loro prodotto è
    [math]c/a[/math]
    , abbiamo che:

    [math] (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2 = (- b/a)^2 - 2 c/a[/math]

    quindi:

    [math] (- b/a)^2 - 2 c/a = 1 [/math]

    [math] (- frac(-2k + 4)(k - 2) )^2 - 2 frac(1 - k)(k - 2) = 1 [/math]

    [math] (frac(2k - 4)(k - 2))^2 - frac(2 - 2k)(k - 2) = 1 [/math]

    [math] frac(4k^2 + 16 - 16k)((k - 2)^2) - frac(2 - 2k)(k - 2) = 1 [/math]

    Svolgiamo il minimo comune multiplo:

    [math]4k^2 + 16 - 16k - (2 - 2k)(k - 2) = (k - 2)^2 [/math]

    [math]4k^2 + 16 - 16k - (2k - 4 - 2k^2 + 4k) = k^2 + 4 - 4k [/math]

    [math]4k^2 + 16 - 16k - (- 4 - 2k^2 + 6k) = k^2 + 4 - 4k [/math]

    [math]4k^2 + 16 - 16k + 4 + 2k^2 - 6k - k^2 - 4 + 4k = 0 [/math]

    [math]5k^2 - 18k + 16 = 0 [/math]

    Troviamo le soluzioni con la formula ridotta

    [math]k = frac(- b/2 ± \sqrt{(b/2)^2 - ac})(a) [/math]

    [math]k = frac( 9 ± \sqrt{9^2 - 5 \cdot 16})(5) = frac(9 ± \sqrt(81-80))(5) = frac(9 ± 1)(5) [/math]

    [math] k_1 = frac(9 + 1)(5) = 2 , k_2 = frac(9 - 1)(5) = 8/5 [/math]

    Entrambe le soluzioni non sono accettabili, poiché non rientrano nell'intervallo delle soluzioni reali, pertanto, non è possibile che la somma dei quadrati delle radici sia

    [math]1[/math]
    .

    Svolgimento (4)

    [math] x_1 + 2 x_2 = 1 [/math]
    ;

    In questo caso dobbiamo impostare un sistema, considerando come altra equazione l'espressione

    [math] x_1 + x_2 = - b/a = frac(2(k - 2))(k - 2) = 2[/math]

    [math][/math]
    left{ \begin{array}{rl}
    x_1 + 2 x_2 = 1 &\
    x_1 + x_2 = 2 &
    end{array}\right.
    [math][/math]

    Ricaviamo un'incognita da una delle due equazioni e risolviamo il sistema per sostituzione:

    [math][/math]
    left{ \begin{array}{rl}
    x_1 = 1 - 2 x_2 &\
    x_1 + x_2 = 2 &
    end{array}\right.
    [math][/math]

    Sostituiamo nella seconda equazione:

    [math] 1 - 2 x_2 + x_2 = 2 \to x_2 = -1 [/math]

    Otteniamo quindi:

    [math] x_1 = 3 , x_2 = - 1 [/math]

    Ora, sapendo che il prodotto delle radici è

    [math]c/a[/math]
    , possiamo scrivere che:

    [math] frac(1 - k)(k - 2) = x_1 x_2 [/math]

    Conoscendo il valore delle due radici, possiamo ricavare il valore di

    [math]k[/math]
    :

    [math] frac(1 - k)(k - 2) = -1 \cdot 3 [/math]

    [math] 1 - k = -3k + 6 [/math]

    [math] 1 - k + 3k - 6 = 0 \to k = 5/2 [/math]

    Svolgimento (5)

    [math]x_1 ^2 + x_2 ^2

    Sappiamo che la somma dei quadrati delle radici può essere scritta in questo modo:

    [math] x_1 ^2 + x_2 ^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2 [/math]

    Poiché la somma delle radici è data dalla formula

    [math]- b/a[/math]
    , mentre il loro prodotto è
    [math]c/a[/math]
    , abbiamo che:

    [math](x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2 = (- b/a)^2 - 2 c/a[/math]

    quindi:

    [math](- b/a)^2 - 2 c/a

    [math](- frac(-2k + 4)(k - 2))^2 - 2 \cdot frac(1 - k)(k - 2)

    [math](frac(2k - 4)(k - 2))^2 - frac(2 - 2k)(k - 2)

    [math]frac(4k^2 + 16 - 16k)((k - 2)^2) - frac(2 - 2k)(k - 2)

    Calcoliamo il minimo comune multiplo :

    [math]frac(3(4k^2 + 16 - 16k) - 3(2 - 2k)(k - 2) )(3(k - 2)^2)

    [math]frac(3(4k^2 + 16 - 16k) - 3(2 - 2k)(k - 2) )(3(k - 2)^2) - frac(16(k - 2)^2)(3(k - 2)^2)

    [math]frac( 12k^2 + 48 - 48k + 12 + 6k^2 - 18k - 16k^2 - 64 + 64k)(3(k - 2)^2)

    [math]frac( 2k^2 - 2k - 4 )(3(k - 2)^2)

    [math] N > 0[/math]

    [math] 2k^2 - 2k - 4 > 0[/math]

    [math] k^2 - k - 2 > 0[/math]

    Passiamo all'equazione associata e risolviamo con la formula

    [math]k = frac(- b ± \sqrt{b^2 - 4ac})(2a) [/math]
    :

    [math] k^2 - k - 2 = 0[/math]

    [math]k = frac(-(-1) ± \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot (-2)})(2) = frac(1 ± \sqrt(1+8))(2) = frac(1 ± 3)(2) [/math]

    [math] k_1 = frac(1 + 3)(2) = 2 , k_2 = frac(1 - 3)(2) = - 1 [/math]

    Poiché la disequazione è maggiore di zero, prendiamo come risultati gli intervalli esterni alle radici:

    [math] k 2 [/math]

    Studiamo il segno del denominatore:

    [math] D > 0[/math]

    [math] 3(k - 2)^2 > 0 \to ∀ k ∈ ℜ, k ≠ 2 [/math]

    Studiamo il segno fra numeratore e denominatore:

    studio_del_segno

    Essendo la disequazione di partenza minore di zero, prendiamo gli intervalli negativi:

    [math] - 1

    Poiché però, affinché l'equazione abbia soluzioni reali

    [math]k[/math]
    deve essere compreso nell'intervallo
    [math] ( - ∞ ; 3/2 ] ∪ ( 2 ; + ∞ ) [/math]
    , avremmo che la soluzione sarà:

    [math] - 1
Vuoi approfondire Algebra – Esercizi e Appunti di Algebra con un insegnante esperto?
Trovalo su Ripetizioni.it