_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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5' di lettura
Determina il valore di
[math]k[/math]
in modo che l'equazione
[math] kx^2 - (2k + 1)x + k - 5 = 0[/math]
abbia:
  • Soluzioni reali;
  • Somma delle radici uguale a 2;
  • Somma dei reciproci delle radici uguale a 1;
  • Somma dei quadrati delle radici uguale a zero;
  • Somma delle radici maggiore del loro prodotto.

Nello svolgimento ci riferiremo all'equazione come considerando l'espressione generica di un'equazione di secondo grado:

[math] ax^2 + bx + c = 0[/math]

Risoluzione (1)

Affinché l'equazione abbia soluzioni reali, è necessario che il suo
[math]Δ[/math]
sia maggiore o uguale a zero.

Per prima cosa, troviamo il delta dell'equazione:

[math] kx^2 - (2k + 1)x + (k - 5) = 0[/math]

[math] Δ = b^2 - 4ac [/math]

[math] Δ = (2k + 1)^2 - 4 \cdot k \cdot (k - 5) = 4k^2 + 1 + 4k - 4k^2 + 20k = 1 + 24k[/math]

Imponiamo quindi che

[math]Δ ≥ 0 \to 1 + 24k ≥ 0 \to k ≥ - 1/(24) [/math]

Risoluzione (2)

Per far sì che la somma delle radici sia 2, è necessario imporre che

[math] x_1 + x_2 = 2 \to - b/a = 2 [/math]

[math] - frac(-(2k + 1))(k) = 2[/math]

Poniamo

[math] k ≠ 0[/math]
e risolviamo l'equazione:

[math] frac(2k + 1)(k) = 2[/math]

[math] frac(2k + 1)(k) - 2 = 0[/math]

[math] frac(2k + 1 - 2k)(k) = 0 [/math]

[math] 1 = 0 \to [/math]
IMPOSSIBILE

Non esistono quindi valori di k affinché la somma delle radici dell'equazione sia 2.

Risoluzione (3)

Poiché il reciproco di un numero
[math]a[/math]
è
[math] 1/a[/math]
, la somma dei reciproci delle radici sarà
[math] 1/(x_1) + 1/(x_2)[/math]
.

Abbiamo quindi che:

[math] 1/(x_1) + 1/(x_2) = 1[/math]

Minimo comune multiplo:

[math] frac(x_1 + x_2)(x_1 \cdot x_2) = frac(x_1 \cdot x_2)(x_1 \cdot x_2)[/math]

Togliamo il denominatore:

[math] x_1 + x_2 = x_1 \cdot x_2[/math]

La somma delle radici è data da

[math] - b/a[/math]
, mentre il loro prodotto da
[math] c/a[/math]
, quindi:

[math] - b/a = c/a [/math]

[math] - frac(- (2x + 1))(k) = frac(k -5)(k) [/math]

Poniamo

[math] k ≠ 0[/math]
:

[math] 2k + 1 = k - 5 \to k = - 6[/math]

Considerando il segno del discriminante, non possiamo accettare le soluzioni che siano minori di

[math] - 1/(24) [/math]
:

Di conseguenza, la soluzione

[math] k = - 6[/math]
non è accettabile.

Risoluzione (4)

[math] x_1 ^2 + x_2 ^2 = 0[/math]

Per poter calcolare questa somma di quadrati, passiamo per il quadrato del binomio costituito dalla somma delle radici, al quale sottrarremo il doppio prodotto del primo per il secondo termine:

[math] x_1 ^2 + x_2 ^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x-1 x_2[/math]

Se svolgessimo il quadrato avremmo infatti:

[math] (x_1 + x_2)^2 - 2x-1 x_2 = x_1 ^2 + x_2 ^2 + 2x-1 x_2 - 2x-1 x_2 = x_1 ^2 + x_2 ^2 [/math]

Procediamo ora sostituendo alla somma

[math] - b/a[/math]
e al prodotto
[math] c/a[/math]
:

[math] (x_1 + x_2)^2 - 2x-1 x_2 = 0[/math]

[math] (- b/a)^2 - 2 \cdot c/a = 0[/math]

[math] b^2/a^2 - (2c)/a = 0[/math]

[math] [- (2k + 1)]^2/k^2 - (2(k - 5))/k = 0[/math]

Poniamo le condizioni di esistenza e risolviamo l'equazione:

[math] C.E.
: k ≠ 0 [/math]

[math] [- (2k + 1)]^2/k^2 - (2k - 10))/k = 0[/math]

[math] (4k^2 + 1 + 4k)/k^2 - (2k - 10))/k = 0[/math]

Calcoliamo il minimo comune multiplo e togliamo il denominatore:

[math] frac(4k^2 + 1 + 4k - k \cdot (2k - 10) )(k^2) = 0[/math]

[math] frac(4k^2 + 1 + 4k - 2k^2 + 10k ))(k^2) = 0[/math]

[math] 2k^2 + 14k + 1 = 0[/math]

Troviamo le soluzioni con la formula

[math] k = frac(-b/2 ± \sqrt{(b/2)^2 - ac})(a)[/math]
:

[math] k = frac(-(14)/2 ± \sqrt{((14)/2)^2 - 1 \cdot 2})(2) = frac(-7 ± \sqrt(7^2 - 2))(2) = [/math]

[math] frac(-7 ± \sqrt{47})(2)[/math]

Considerando il segno del discriminante, non possiamo accettare le soluzioni che siano minori di

[math] - 1/(24) [/math]
.

La soluzione

[math] frac(-7 + \sqrt{47})(2)[/math]
, che corrisponde a circa
[math]-0,07[/math]
, non è accettabile, poiché
[math] - 1/(24) = - 0,04 [/math]
.

Dobbiamo scartare anche la soluzione

[math] frac(-7 + \sqrt{47})(2) = - 6,92 [/math]
.

Risoluzione (5)

[math] x_1 + x_2 > x_1 x_2 [/math]

La somma delle radici è data da

[math] - b/a[/math]
, mentre il loro prodotto da
[math]c/a[/math]
, quindi:

[math] - b/a > c/a [/math]

[math] - (-(2k + 1))/k > (k - 5)/k [/math]

Risolviamo la disequazione:

[math] (2k + 1)/k - (k - 5)/k > 0[/math]

[math] (2k + 1 - k + 5)/k > 0[/math]

[math] (k + 6)/k > 0[/math]

[math] N > 0 \to k + 6 > 0 \to k > - 6[/math]

[math] D > 0 \to k > 0 [/math]

Studiamo il segno:

Dato che la disequazione è maggiore di zero, prendiamo gli intervalli positivi:

[math] k 0[/math]
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