Determina
[math]k[/math]
nellequazione
[math]kx^2 - 2(k + 1)x + 1 + 2k = 0 [/math]
in modo che le sue radici
[math]x_1[/math]
e
[math]x_2[/math]
soddisfino le seguenti condizioni:
[math]x_1 = - x_2 [/math]
;[math](frac(1)(x_1) + frac(1)(x_2))^2 = frac(16)(9)[/math]
;[math] frac(1)(x_1 ^2) + frac(1)(x_2 ^2) = frac(13)(16) [/math]
;[math] 2 x_1 + 3 x_2 = 9 [/math]
;
Svolgimento
Per prima cosa, affinch lequazioni abbia significato, necessario che il suo delta sia maggiore o uguale a zero, quindi:
[math] b^2 - 4ac ?0 [/math]
[math] [- 2(k + 1)]^2 - 4k(1 + 2k) ?0[/math]
[math] [- 2k - 2)]^2 - 4k - 8k^2 ?0[/math]
[math] 4k^2 + 4 + 8k - 4k - 8k^2 ?0[/math]
[math] -4k^2 + 4k + 4 ?0[/math]
[math] -k^2 + k + 1 ?0[/math]
[math] k^2 - k - 1 ?0[/math]
Passiamo allequazione associata e risolviamo con la formula
[math] k = frac(-b \sqrt{b^2 - 4ac})(2a) [/math]
:
[math] k^2 - k - 1 = 0[/math]
[math] k = frac(-(-1) \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot (-1)})(2) = frac( 1 \sqrt(1 + 4))(2) = frac( 1 \sqrt5 )(2) [/math]
[math] k_1 = frac( 1 + \sqrt5 ){2} , k_2 = frac( 1 - \sqrt5 ){2} [/math]
Poich la disequazione minore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli interni alle radici:
[math] frac( 1 - \sqrt5 ){2} ? k ?frac( 1 + \sqrt5 ){2} [/math]
Svolgimento (1)
Affinch le radici siano luna lopposto dellaltra, deve essere che la loro somma sia uguale a zero:
[math] x_1 + x_2 = 0[/math]
Sappiamo che la somma delle radici data dalla formula
[math]- b/a[/math]
:
[math] - b/a = 0 o - frac(-2(k + 1))(k) = 0 [/math]
Poniamo
[math]k ? 0 [/math]
:
[math]2(k + 1) = 0 o k + 1 = 0 o k = - 1[/math]
Dobbiamo tuttavia scartare questa soluzione, poich non compreso nellintervallo delle soluzioni accettabili.
Svolgimento (2)
Calcoliamo il minimo comune multiplo allinterno della parentesi tonda:
[math] (frac(x_2 + x_1)(x_1 x_2))^2 = frac(16)(9) [/math]
Poich la somma delle radici data dalla formula
[math]- b/a[/math]
, mentre il loro prodotto
[math]c/a[/math]
, abbiamo che:
[math] (frac(- b/a)(c/a))^2 = frac(16)(9) [/math]
[math] (- b/a \cdot a/c)^2 = frac(16)(9) [/math]
[math] (- b/c)^2 = frac(16)(9) [/math]
Sostituendo i valori dellequazione abbiamo:
[math] (- frac(-2k - 2)(1 + 2k) )^2 = frac(16)(9) [/math]
[math] frac((2k + 2)^2)((1 + 2k)^2) = frac(16)(9) [/math]
Calcoliamo il minimo comune multiplo, ponendo
[math] 1 + 2k ?0 o k ?- 1/2 [/math]
:
[math] 9 (2k + 2)^2 = 16 (1 + 2k)^2 [/math]
[math] 9 (4k^2 + 4 + 8k) = 16 (1 + 4k^2 + 4k) [/math]
[math] 36k^2 + 36 + 72k = 16 + 64k^2 + 64k [/math]
[math] 36k^2 + 36 + 72k - 16 - 64k^2 - 64k = 0 [/math]
[math] -28k^2 + 8k + 20 = 0 [/math]
[math] 28k^2 - 8k - 20 = 0 [/math]
[math] 7k^2 - 2k - 5 = 0 [/math]
Troviamo le soluzioni con la formula ridotta
[math] k = frac(-b/2 \sqrt{(b/2)^2 - ac})(a) [/math]
:
[math] k = frac(-(-2)/2 \sqrt{((-2)/2)^2 - (-5) \cdot 7})(7) = frac( 1 \sqrt( 1 + 35))(7) = frac(1 6)(7) [/math]
[math] k_1 = frac( 1 + 6 )(7) = 1 , k_2 = frac( 1 - 6 )(7) = - 5/7 [/math]
Poich
[math]- 5/7[/math]
non rientra nellintervallo delle soluzioni accettabili, dobbiamo scartare questa soluzione.
Svolgimento (3)
Calcoliamo il minimo comune multiplo ed eliminiamo il denominatore, avendo posto
[math] x_1 ?0[/math]
e
[math]x_2 ?0[/math]
:
[math] 16 (x_1 ^2 + x_2 ^2) = 13 (x_1 ^2 x_2 ^2)[/math]
La somma dei quadrati delle radici pu essere scritta in questo modo:
[math] x_1 ^2 + x_2 ^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2 [/math]
Mentre il prodotto dei quadrati delle radici possiamo scriverlo in questo modo:
[math] x_1 ^2 x_2 ^2 = (x_1 x_2)^2 [/math]
Sapendo che la somma delle radici data dalla formula
[math] - b/a [/math]
, mentre il loro prodotto
[math]c/a[/math]
, abbiamo che:
[math] (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2 = (- b/a )^2 - 2 c/a[/math]
[math] (x_1 x_2)^2 = (c/a)^2[/math]
[math] 16 [(- b/a )^2 - 2 c/a] = 13(c/a)^2 [/math]
Risolviamo:
[math] 16 [(- frac(-2k - 2)(k) )^2 - 2 \cdot frac(1 + 2k)(k)] = 13(frac(1 + 2k)(k))^2 [/math]
[math] 16 [(frac(2k + 2)(k) )^2 - frac(2 + 4k)(k)] = 13(frac(1 + 2k)(k))^2 [/math]
Svolgiamo i quadrati:
[math] 16 [frac(4k^2 + 4 + 8k)(k^2) - frac(2 + 4k)(k)] = 13 \cdot frac(1 + 4k^2 + 4k)(k^2) [/math]
[math] 16 frac(4k^2 + 4 + 8k - 2k - 4k^2)(k^2) = frac(13 + 52k^2 + 52k)(k^2) [/math]
[math] 16 frac(4 + 6k)(k^2) = frac(13 + 52k^2 + 52k)(k^2) [/math]
Togliamo il denominatore:
[math] 64 + 96 k = 13 + 52k^2 + 52k [/math]
[math] 64 + 96 k - 13 - 52k^2 - 52k = 0 [/math]
[math] - 52k^2 + 44k + 51 = 0 [/math]
[math] 52k^2 - 44k - 51 = 0 [/math]
Troviamo le soluzioni con la formula ridotta
[math] k = frac(-b/2 \sqrt{(b/2)^2 - ac})(a) [/math]
:
[math] k = frac(-(-44)/2 \sqrt{((-44)/2)^2 - (-51) \cdot 52})(52) = frac(22 \sqrt( 484 + 2652))(52) = [/math]
[math] frac(22 56)(52) [/math]
[math] k_1 = frac( 22 + 56 )(52) = 3/2 , k_2 = frac( 22 - 56 )(52) = - frac(17)(26) [/math]
Poich
[math]- frac(17)(26) [/math]
non rientra nellintervallo delle soluzioni accettabili, dobbiamo scartare questa soluzione.
Svolgimento (4)
In questo caso dobbiamo impostare un sistema, considerando come altra equazione lespressione
[math]x_1 + x_2 = - b/a = - frac(-2(k + 1))(k) = frac(2k + 2)(k) [/math]
[math][/math]
left{ egin{array}{rl}
2 x_1+ 3 x_2 = 9 &\
x_1 + x_2 = frac{2k + 2}{k} &
end{array}
ight.
[math][/math]
Ricaviamo unincognita da una delle due equazioni e risolviamo il sistema per sostituzione:
[math][/math]
left{ egin{array}{rl}
2 x_1+ 3 x_2 = 9 &\
x_1 = frac{2k + 2}{k} - x_2 &
end{array}
ight.
[math][/math]
Lavoriamo sulla prima equazione:
[math] 2 (frac(2k + 2)(k) - x_2) + 3x_2 = 9 [/math]
[math] frac(4k + 4)(k) - x_2 + 3x_2 = 9 [/math]
[math] frac(4k + 4)(k) + x_2 = 9 [/math]
[math] x_2 = 9 - frac(4k + 4)(k) = frac(5k - 4)(k) [/math]
troviamo il corrispondente valore di
[math]x_1[/math]
:
[math] x_1 = frac(2k + 2)(k) - frac(5k - 4)(k) = frac(6 - 3k)(k) [/math]
[math][/math]
left{ egin{array}{rl}
x_2 = frac{5k - 4}{k} &\
x_1 = frac{6 - 3k}{k} &
end{array}
ight.
[math][/math]
Possiamo ora sfruttare unaltra relazione, cio il prodotto delle radici:
[math] x_1 x_2 = c/a = frac(1 + 2k)(k) [/math]
Sostituiamo ora i valori delle radici ottenuti:
[math] frac(5k - 4)(k) \cdot frac(6 - 3k )(k) = frac(1 + 2k)(k) [/math]
[math] frac((5k - 4)(6 - 3k))(k^2) = frac(1 + 2k)(k) [/math]
Svolgiamo il minimo comune multiplo:
[math] 30k - 24 - 15k^2 + 12k = k + 2k^2 [/math]
[math] 30k - 24 - 15k^2 + 12k - k - 2k^2 = 0 [/math]
[math] -17k^2 + 41 k - 24 = 0 [/math]
[math] 17k^2 - 41 k + 24 = 0 [/math]
Troviamo le soluzioni con la formula
[math] k = frac(-b \sqrt{b^2 - 4ac})(2a) [/math]
:
$ k = frac(-(-41) sqrt((-41)^2 - 4*24*17))(34) = frac(41 sqrt(1681 - 1632))(34) =
[math][/math] frac(41 sqrt(49))(34) = frac(41 7)(34) $
[math] k_1 = frac(41 + 7 )(34) = frac(24)(17) , k_2 = frac(41 - 7 )(34) = 1 [/math]
